余磊 楊明正

在高三進(jìn)行不等式專題復(fù)習(xí)教學(xué)的時(shí)候，因?yàn)橐粋€(gè)學(xué)生的意外發(fā)言，打亂了筆者先前設(shè)計(jì)的教學(xué)思路，教學(xué)也因此“誤入歧途”，好在通過師生的共同努力最終“柳暗花明”，同時(shí)收獲了很多美好.這是一次難忘的經(jīng)歷，于是決定整理出來與大家分享.

1 生成背景

復(fù)習(xí)比較大小問題時(shí)，給出了如下例題：

A.M=N

B.M

C.M≤N

D.M>N

設(shè)計(jì)目的：復(fù)習(xí)比較大小的常用方法，如作差法、作商法、單調(diào)性法和特殊值驗(yàn)證法.通過此題掌握解決比較大小問題的常用方法.

預(yù)設(shè)：大部分學(xué)生會(huì)采用作差法解答，考慮到小題小做，也應(yīng)該會(huì)有學(xué)生取特殊值驗(yàn)證快速解決.（此處作差法解答過程略，運(yùn)算量偏大.）

生成：筆者正要準(zhǔn)備復(fù)習(xí)下一個(gè)問題的時(shí)候，學(xué)生1舉手說他可以提供一種新的解決辦法.過程如下：

所以答案為選項(xiàng)B.

2 問題探源

學(xué)生1解釋說這一步用到了“糖水不等式”的知識(shí)，以前老師在教學(xué)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，他覺得“糖水不等式”非常有意思，曾經(jīng)特別關(guān)注過，所以印象深刻，并且知道在課本里的具體位置.

（1）出處

人教普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版（2019年）數(shù)學(xué)必修一第43頁有這樣一道課后練習(xí)題：已知b g糖水含有a g糖（b>a>0），再添加m g糖（m>0）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了，請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式成立.

（2）證法

教師：大家還知道怎么證明此不等式嗎？

學(xué)生2：此不等式的證明其實(shí)也就是不等號(hào)兩邊比較大小的問題，作差法可以解決.

學(xué)生3：作商法也可以.

教師：其實(shí)關(guān)于此不等式的證明方法有很多種，每種方法都蘊(yùn)含有豐富的數(shù)學(xué)思想方法，大家課后去研究、收集和整理，老師也給大家提供一些資料供參考[1]，另擇時(shí)間一起分享交流.

（3）探究

其實(shí)這個(gè)簡單而平凡的不等式有著廣泛的應(yīng)用，在高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、高校自主招生考試及高考試題中，可以找到不少它的身影，所以決定臨時(shí)改變先前的復(fù)習(xí)計(jì)劃，就“糖水不等式”進(jìn)行重點(diǎn)挖掘和講解.筆者從題庫里挑選了兩道題與學(xué)生一起探究：

探究1 （2020年全國卷Ⅲ，12）已知55<84，134<85.設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（）.

A.a

B.b

C.b

D.c

學(xué)生1：“糖水不等式”是分式的形式，所以我們要把題中的a，b，c通過換底公式轉(zhuǎn)化成分式形式.

在學(xué)生1的思路導(dǎo)引下，學(xué)生先在草稿紙上嘗試解答.1分鐘不到還是學(xué)生1搶先舉手說選A.（接下來學(xué)生1口述，老師板書.）

學(xué)生1：先來比較a與b的大小.

學(xué)生1既尷尬又困惑.其他學(xué)生也陷入沉思，難道此法解決不了此題？

片刻之后，有三位學(xué)生舉手，筆者隨機(jī)請(qǐng)學(xué)生4來發(fā)表觀點(diǎn).

學(xué)生4：可以嘗試比較a與c的大小.

學(xué)生4還說：比較大小不要盲目比較，要注意選項(xiàng)的設(shè)置.當(dāng)a

反觀以上過程，本題利用“糖水不等式”來比較大小，起到了出奇制勝的效果，甚至連題目中的已知條件都沒有用到就把題目解決了.學(xué)生都覺得解法非常巧妙，“糖水不等式”很不簡單，功能強(qiáng)大.

探究2 證明：logn（n+1）>logn+1（n+2）（n>1且n∈N）.

有了探究1的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很快就有了本題的思路.

學(xué)生5的證明：

正當(dāng)準(zhǔn)備進(jìn)行課時(shí)小結(jié)和布置作業(yè)的時(shí)候，還是學(xué)生1提出：我覺得這個(gè)不等式的結(jié)構(gòu)很有特點(diǎn)，與“糖水不等式”有相似之處，但是又說不清道不明.“糖水不等式”是分式的分子分母同時(shí)加一個(gè)正數(shù)，而這個(gè)不等式的右邊相對(duì)于左邊是對(duì)數(shù)的真數(shù)和底數(shù)同時(shí)加了一個(gè)數(shù)1，它們之間有點(diǎn)說不清楚的關(guān)聯(lián)，可以稱之為“對(duì)數(shù)糖水不等式”嗎？

此時(shí)下課鈴響起，筆者覺得學(xué)生1非常有靈感，順著他的思路提出：如果對(duì)數(shù)的真數(shù)和底數(shù)同時(shí)加的不是1而是其他的一個(gè)正數(shù)呢？就是說不等式logn（n+1）>logn+k（（n+1+k）（n>1且n∈N，k>0）是否成立？若成立，寫出證明過程，并嘗試推廣.這也是今天的家庭作業(yè).

3 靈活運(yùn)用

學(xué)生的付出肯定會(huì)有回報(bào).有了上面的心路歷程，學(xué)生對(duì)“糖水不等式”的理解更加深刻，不再是簡單的記公式，很多學(xué)生已經(jīng)能靈活運(yùn)用了.在緊接下來的幾次模擬練習(xí)和考試中，得到了很好的印證.

（1）（2022年河南省普通高中畢業(yè)班高考適應(yīng)性測試?yán)砜凭恚?1）已知a=log32，b=log115，c=lg 4.則a，b，c的大小關(guān)系是（）.

A.a

B.c

C.c

D.a

評(píng)注：本題涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，考查了運(yùn)算求解能力.比較a，b大小的中間量不太好找，此時(shí)學(xué)生能夠想起來運(yùn)用“糖水不等式”解決，筆者非常欣慰.

（2）（“四省八?！?022屆高三第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測考試，12）若n>3且n∈N，則下列選項(xiàng)中正確的是（）.

A.logn（n+1）

故答案為選項(xiàng)C.

評(píng)注：本題考查了不等式證明的一些常用方法，如特殊值法、作差法、構(gòu)造函數(shù)法、利用基本不等式放縮法等.題雖小但考查的方法很全面，如能靈活借助“糖水不等式”的相關(guān)知識(shí)，就可輕易解決.

A.x>y>z

B.x>z>y

C.z>x>y

D.y>x>z

解析：由21y=22，20z=21，得y=log2122，z=log2021，由探究2，易知z>y.

故答案為選項(xiàng)B.

評(píng)注：本題主要考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化、對(duì)數(shù)值大小的比較，并構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決問題，結(jié)合“對(duì)數(shù)糖水不等式”提高解題效率.

（4）〔2022屆炎德英才長郡十五校聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考（全國卷）數(shù)學(xué)文科，12〕已知a=log316，b=log25，c=log535，則a，b，c的大小關(guān)系為（）.

A.b>c>a

B.a>c>b

C.b>a>c

D.a>b>c

解析：因?yàn)閍=2log34，b=log25=log425=2log45，

由探究2，易知log34>log45>log56，所以2log34>2log45>2log56.

所以a>b>log536>c.故答案為選項(xiàng)D.

評(píng)注：本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及推理能力和計(jì)算能力，利用“糖水不等式”問題瞬間被秒殺.

4 一點(diǎn)啟示

不等式是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，同時(shí)也是難點(diǎn)之一.不少不等式問題處理起來比較棘手，但若能巧妙運(yùn)用一些著名不等式，或許可以有效地解決關(guān)鍵步驟，給人一種舉重若輕的感覺.平時(shí)不少教師對(duì)基本不等式、絕對(duì)值不等式、柯西不等式等比較重視，帶領(lǐng)學(xué)生研究的比較多，而可能忽視了對(duì)一些常規(guī)不等式的價(jià)值挖掘.通過以上對(duì)近年來的高考題和質(zhì)檢模擬題的分析，可見“糖水不等式”的使用越來越多，尤其是2022年更加頻繁，有愈演愈烈之勢，所以筆者認(rèn)為，重視“糖水不等式”深層次探究和理解應(yīng)用很有必要，要引起我們一線教師的高度重視.

經(jīng)過這樣一次的復(fù)習(xí)課教學(xué)，一方面學(xué)生能把數(shù)學(xué)與生活進(jìn)行聯(lián)系，另一方面激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究動(dòng)力，這是比知識(shí)本身更重要的東西.前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家奧加涅相說過：“必須重視很多習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展其數(shù)學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可行性.”課本的例題和習(xí)題具有很好的示范引領(lǐng)作用，它們或者是重要的結(jié)論，或者體現(xiàn)某種數(shù)學(xué)思想方法.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)努力探究教材中的例、習(xí)題并加以延伸或拓展，激活教材例、習(xí)題，構(gòu)建深度教學(xué)，幫助學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，提升數(shù)學(xué)能力，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).當(dāng)然，探究應(yīng)結(jié)合教材的內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際，并在教師的啟發(fā)和指導(dǎo)下由學(xué)生討論完成.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉彥永.“糖水不等式”的23種證法及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（6）：73-75.