鼠籠式彈性支承的柔度計(jì)算及影響因素分析

白孝棟，蔚奪魁，馮國(guó)全

（中國(guó)航發(fā)沈陽發(fā)動(dòng)機(jī)研究所，沈陽 110015）

0 引言

鼠籠式彈性支承常用于日益趨于柔性化的現(xiàn)代航空發(fā)動(dòng)機(jī)和燃?xì)廨啓C(jī)，以實(shí)現(xiàn)調(diào)整臨界轉(zhuǎn)速和振動(dòng)抑制[1]。為了使發(fā)動(dòng)機(jī)具有先天優(yōu)良的振動(dòng)特性，目前普遍的作法是采用帶有彈性支承的轉(zhuǎn)子方案[2]。工程研制實(shí)踐表明，鼠籠式彈性支承典型的故障模式為疲勞破壞[2-3]。整體加工的鼠籠式彈性支承由于存在較大的應(yīng)力集中，容易出現(xiàn)疲勞裂紋，甚至發(fā)生籠條斷裂，從而造成災(zāi)難性事故[2]。彈性支承的柔度特性對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)可靠性影響很大[4]，其柔度及疲勞問題很早就引起了工程界和學(xué)術(shù)界的高度關(guān)注。

目前，鼠籠式彈性支承柔度的理論計(jì)算主要基于非籠條部分剛化的懸臂梁理論推導(dǎo)得出。馮國(guó)全等[2，4]考慮了鼠籠籠條截面主彎曲方向與籠條受力方向不平行的特點(diǎn)，完善了鼠籠式彈性支承柔度計(jì)算的理論公式，在一定程度上提高了理論公式的精確性。理論公式在計(jì)算低剛性即大柔度的彈性支承時(shí)較準(zhǔn)確[5-7]，但對(duì)于籠條數(shù)很多的高剛性的鼠籠彈性支承，實(shí)際柔度值與理論計(jì)算值存在一定的誤差[8-9]。原因是在理論公式推導(dǎo)過程中，不可避免地存在了基本假設(shè)，即沒有考慮籠條根部倒圓和非籠條部分的變形影響。在工程設(shè)計(jì)中，如果出現(xiàn)現(xiàn)柔度設(shè)計(jì)不準(zhǔn)問題，會(huì)導(dǎo)致：（1）臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算存在一定誤差；（2）對(duì)轉(zhuǎn)子較重的發(fā)動(dòng)機(jī)，由于重力下沉導(dǎo)致的擠壓油膜阻尼器的油膜環(huán)與油膜軸頸處于不同心狀態(tài)，使用有相對(duì)誤差的柔度值做預(yù)調(diào)同心不準(zhǔn)確，從而導(dǎo)致擠壓油膜阻尼器失效[10-11]而表現(xiàn)出非線性[12]。上述2 種問題都可在一定程度上引起整機(jī)振動(dòng)問題[13]，進(jìn)而影響整個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)的可靠性[14-15]。因此對(duì)于籠條數(shù)很多的高剛性的鼠籠式彈性支承有必要對(duì)其柔度的數(shù)值仿真計(jì)算展開研究并分析其影響因素[8]。

本文基于有限元數(shù)值計(jì)算探討了鼠籠式彈性支承柔度數(shù)值計(jì)算的邊界條件，分析了籠條根部倒圓、非籠條鼓筒、籠條截面為矩形與扇形差異等因素的影響，并將有限元數(shù)值結(jié)果與理論公式結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

1 鼠籠式彈性支承結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介

某發(fā)動(dòng)機(jī)采用的鼠籠式彈性支承結(jié)構(gòu)如圖1 所示。在金屬套筒上銑削加工成若干籠條，通過改變籠條的長(zhǎng)度L、寬度b、壁厚h和籠條數(shù)量N來調(diào)整柔度，從而調(diào)整臨界轉(zhuǎn)速、降低振動(dòng)響應(yīng)。鼠籠主要結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1 ，材料力學(xué)性能參數(shù)見表2。

表1 鼠籠主要結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2 材料力學(xué)性能參數(shù)

2 鼠籠式彈性支承柔度的理論計(jì)算

基于梁的非對(duì)稱彎曲變形理論，結(jié)合鼠籠式彈性支承受力分析，考慮了彈性支承主彎曲方向與籠條受力方向不平行特點(diǎn)，對(duì)鼠籠彈支展開力學(xué)建模?；\條兩端鋼環(huán)的剛性遠(yuǎn)大于籠條的剛性，因此將籠條簡(jiǎn)化為一端固支、另一端可移動(dòng)、不可轉(zhuǎn)動(dòng)的梁，籠條截面是近似矩形截面，主彎曲方向?yàn)閺较颍╮方向）和切向（t方向），鼠籠彈支在橫向載荷作用下產(chǎn)生橫向變形，且各籠條端部的位移相同，如圖2所示。

圖2 籠條受力分析

假設(shè)鼠籠式彈性支承受垂直向上的力F，第i個(gè)籠條與位移u的夾角為i，則第i個(gè)籠條在主軸方向的變形為

與一般的矩形截面Ir、It不同，此時(shí)u與Fi方向并不相同。Fi在u方向的合力為

籠條沿圓周均勻分布，則

彈性支承端部的位移即為各籠條端部位移u，力為所有籠條端部u方向的合力，即

所以彈性支承的柔度系數(shù)為

按照式（6）即可計(jì)算鼠籠式彈性支承的柔度。

3 鼠籠式彈性支承柔度的數(shù)值仿真計(jì)算方法

3.1 連接關(guān)系

鼠籠式彈支結(jié)構(gòu)連接關(guān)系如圖3所示，法蘭面（A面）通過均勻分布螺栓與機(jī)匣連接。B面承受軸承載荷，其與軸承外環(huán)接觸，載荷通過軸承外環(huán)作用于B 面。

圖3 鼠籠式彈支結(jié)構(gòu)連接關(guān)系

3.2 邊界條件和載荷模擬方法

B面軸承載荷的模擬方式如圖3 所示。法蘭面與機(jī)匣通過均勻分布的螺栓連接，不妨采用全約束模擬法蘭面約束。作用于軸承的載荷通過滾動(dòng)體由1個(gè)套圈傳到另一個(gè)套圈作用于鼠籠內(nèi)圈B 面?；贏nsys Workbench 平臺(tái)，軸承載荷施加主要有3 種方法，分別為remote force、bearing load 以及余弦載荷分布的壓力，以下對(duì)3種施加方法進(jìn)行說明。

（1）Remote force。通過remote force 施加軸承載荷，其相當(dāng)于在軸承中心建立pilot節(jié)點(diǎn)與套圈表面的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行耦合。耦合方法可設(shè)置為rigid，deformable以及couple。

（2）Bearing load。bearing load 假設(shè)軸承徑向間隙為零，即沿徑向載荷作用線半圈滾動(dòng)體受力，半圈滾動(dòng)體不受力，通過在單元上施加面壓力的方法施加軸承載荷，壓力方向與徑向載荷作用方向一致，與載荷作用線夾角（處的壓力大小為

（3）bearing load。在施加壓力時(shí)，根據(jù)單元坐標(biāo)按式（7）進(jìn)行插值，根據(jù)力平衡條件

采用積分形式表示，則徑向載荷

將式（1）帶入式（2）、（3），峰值壓力載荷為

式中：R為套圈半徑；H為套圈寬度。

余弦載荷通過pressur 單元實(shí)現(xiàn)施加面壓力等效軸承載荷，壓力方向沿單元法向，壓力分布可以通過函數(shù)控制。在工程應(yīng)用時(shí)，一般假設(shè)壓力按余弦分布，徑向游隙為零，套圈有半圈受力，此時(shí)，方向載荷Pφ為

根據(jù)力平衡條件，徑向載荷

因此，峰值壓力載荷為

3.3 不同載荷邊界條件對(duì)比

研究不同的約束以模擬軸承分布載荷對(duì)柔度計(jì)算值的影響?，F(xiàn)考慮remote force（分rigid、deformationz 2 種耦合方式）、bearing load 及余弦載荷（分直接在鼠籠內(nèi)表面加載、考慮軸承外環(huán)的線性接觸和非線性接觸3 種方式）不同的約束方式，以研究其對(duì)柔度計(jì)算值的影響。

有限元計(jì)算得到了在不同方式施加載荷時(shí)的鼠籠柔度值（見表3）。鼠籠式彈性支承實(shí)際傳遞力的路徑是載荷通過軸承傳遞到鼠籠內(nèi)表面，加載方式（f）較為合理地模擬了實(shí)際的力傳遞。由于軸承組件的支承剛度一般很大，并且滾棒軸承剛度要比滾珠軸承的剛度大，因此，對(duì)于具有彈性支承的支點(diǎn)大多可以忽略軸承剛度的影響[8，10]。

表3 軸承載荷施加方法對(duì)比

不同約束以模擬軸承分布載荷作用下鼠籠的變形量（表3）的提取方法為鼠籠內(nèi)表面最大的變形量和平均變形量。根據(jù)計(jì)算結(jié)果，加載方式（a）中，加載面變形量與平均變形量（pilot節(jié)點(diǎn)變形）基本一致，其他加載方式下，加載面變形量與平均變形量都存在一定差值，是因?yàn)榧虞d方式（a）采用了剛體耦合，即假定加載表面為剛性，不發(fā)生局部變形。在其他加載方式下，發(fā)生了加載面的局部變形。多數(shù)文獻(xiàn)及資料表明[2，4]，軸承載荷的傳遞為余弦式分布，考慮到鼠籠式彈性支承與軸承的配合接觸關(guān)系，所以加載方式（f）較為合理地模擬軸承載荷分布及力的傳遞關(guān)系，其考慮了軸承外環(huán)模型下的接觸分析，涉及非線性問題。加載方式（e）在（f）的基礎(chǔ)上，軸承外環(huán)與鼠籠采用線性接觸，可在有效模擬力的傳遞的情況下，較快地計(jì)算出結(jié)果，工程計(jì)算時(shí)可以提高計(jì)算效率。當(dāng)模型不考慮軸承外環(huán)時(shí)，所得到的柔度值略偏高于模型考慮軸承外環(huán)時(shí)的柔度值。具體相對(duì)誤差見表3。

3.4 基于理論公式的有限元數(shù)值仿真方法驗(yàn)證

鼠籠式彈性支承的柔度和疲勞應(yīng)力的理論計(jì)算公式基于非籠條部分剛化的懸臂梁理論推導(dǎo)得出。鼠籠非籠條部分剛化模型如圖4 所示。從圖4（a）中可見，公式推導(dǎo)基于假定非籠條部分兩端絕對(duì)剛化。按照理論公式推導(dǎo)的假定，在有限元數(shù)值計(jì)算中，將非籠條兩端部分彈性模量加大以模擬非籠條部分絕對(duì)剛化的假定，以驗(yàn)證有限元數(shù)值計(jì)算的結(jié)果。從圖4（b）中可見，非籠條部分彈性模量加大。倒圓半徑為0。

圖4 鼠籠非籠條部分剛化模型

對(duì)比圖4 非籠條兩端加大彈性模量的有限元計(jì)算與理論公式結(jié)果，有限元結(jié)果與理論公式精確解吻合很好（見表4），說明表3 的計(jì)算結(jié)果可信?？捎么朔椒?yàn)證有限元的計(jì)算結(jié)果。

表4 非籠條兩端加大彈性模量的有限元計(jì)算與理論公式結(jié)果對(duì)比

4 彈支柔度的影響因素分析

4.1 鼓筒的影響分析

在第3.4 節(jié)模型的基礎(chǔ)上，將非籠條兩端的彈性模量修改為實(shí)際的彈性模量，即可研究理論公式未考慮的非籠條鼓筒部分的影響。鼓筒部分對(duì)柔度的影響對(duì)比見表5。

表5 鼓筒部分對(duì)柔度的影響對(duì)比

從表中可見，鼓筒部分剛化處理，鼠籠的柔度是47.178 nm/N，理論公式計(jì)算沒有考慮籠條根部的倒圓且基于兩端絕對(duì)剛化假設(shè)計(jì)算得到，其結(jié)果是47.62 nm/N。在有限元計(jì)算中，為了滿足理論公式的假定及非籠條部分剛化且不考慮倒圓，將模型去除倒圓且將兩端做剛性化處理，即將非籠條兩端的彈性模量增大。有限元計(jì)算得到鼠籠的柔度為47.178 nm/N，此結(jié)果非常接近理論計(jì)算值。如果只做倒圓滿足理論模型，即不考慮非籠條兩端的絕對(duì)剛性，有限元數(shù)值計(jì)算得到柔度為62.049 nm/N，此結(jié)果與理論公式計(jì)算結(jié)果對(duì)比，誤差在31.25%，即僅考慮非籠條鼓筒部分的影響時(shí)，理論公式得到的柔度偏小。其原因是，實(shí)際情況下，籠條發(fā)生彎曲變形時(shí)，籠條根部發(fā)生了一定的撓度角。由于公式推導(dǎo)中認(rèn)為支承兩端為絕對(duì)剛性，因此，理論公式在計(jì)算低剛性即大柔度的彈性支承時(shí)較準(zhǔn)確，對(duì)于籠條數(shù)很多的高剛性的鼠籠支承，應(yīng)采用有限元方法計(jì)算支承剛度。

4.2 倒圓的影響分析

在第3.4、4.1 節(jié)模型中，其倒圓為0，即滿足理論公式的假設(shè)。為了研究理論公式未考慮的倒圓影響，現(xiàn)在模型中加入半徑分別為R=1、2、3 mm 的籠條根部倒圓展開研究?；\條根部有無倒圓模型如圖5 所示。這里考慮非籠條部分的作用即非籠條部分為可變性。

圖5 籠條根部有無倒圓模型

不同籠條根部倒圓半徑（R=0、1、2、3 mm）對(duì)鼠籠彈性支承柔度的影響見表6，模型考慮了非籠條鼓筒的影響。當(dāng)?shù)箞A為0 時(shí)，即為籠條的有效長(zhǎng)度。不妨按照鼠籠彈支柔度計(jì)算的理論公式，定義有效長(zhǎng)度縮減率K=其中，δRi表示帶籠條根部倒圓對(duì)應(yīng)的柔 度 值，R=i（i=1、2、3 mm），δR0表示籠條根部無倒圓對(duì)應(yīng)的柔度值。由定義的有效長(zhǎng)度縮減率K，就可以研究不同籠條根部倒圓對(duì)鼠籠彈支柔度的影響（表6）。增大籠條根部倒圓，可降低鼠籠彈支的柔度，其柔度減小的原因在于倒圓縮減了籠條的有效長(zhǎng)度。如采用3 mm 的倒圓時(shí)，假定籠條設(shè)計(jì)的長(zhǎng)度L=50 mm，按照3 mm的有效長(zhǎng)度縮減率為0.961，最終籠條的有效長(zhǎng)度為48.05 mm。在工程設(shè)計(jì)時(shí)，前期考慮倒圓縮減率的影響，可提高設(shè)計(jì)的精度，以便達(dá)到設(shè)計(jì)要求。

表6 不同籠條根部倒圓對(duì)鼠籠彈支柔度的影響

4.3 籠條截面為扇形與矩形的差異分析

鼠籠彈性支承的籠條是金屬套筒上銑削加工而成，通常銑削去除部分的截面形狀為扇形即剩余籠條部分截面形狀為矩形?，F(xiàn)考慮由于簡(jiǎn)化工藝，使得銑削去除部分為矩形，其中矩形的寬度分別為原本扇形截面內(nèi)表面、中間、外表面寬度尺寸3 種情況，即剩余籠條部分為扇形。不同形狀的籠條截面如圖6 所示，分為矩形籠條截面和扇形籠條截面。

圖6 不同形狀的籠條截面

不同截面形狀的籠條對(duì)彈支柔度的影響見表7。其中矩形為設(shè)計(jì)截面，即銑削去除部分為扇形。扇形1 至扇形3 為考慮由于簡(jiǎn)化工藝所致的截面形狀，考慮加工時(shí)，原本計(jì)劃銑削去除的扇形銑削為矩形，矩形寬度的尺寸分別為計(jì)劃銑削扇形內(nèi)、中間、外表面的寬度。

表7 不同截面形狀的籠條對(duì)彈支柔度的影響

當(dāng)銑削矩形的尺寸按照計(jì)劃銑削扇形的內(nèi)表面寬度考慮時(shí)，即籠條截面為扇形1 時(shí)，柔度降為50.42 nm/N，與設(shè)計(jì)截面相比，柔度降低了8.47%，降低的原因在于籠條截面了慣性矩增大，從而剛度增大；當(dāng)銑削矩形寬度按照設(shè)計(jì)銑削扇形中間寬度考慮時(shí)，即籠條保留截面為扇形2 時(shí)，柔度為54.79 nm/N，與設(shè)計(jì)截面基本相同，可以按照設(shè)計(jì)銑削扇形的中間截面尺寸簡(jiǎn)化工藝銑削去除為矩形截面，保留籠條截面為扇形截面；當(dāng)銑削矩形寬度按照設(shè)計(jì)銑削扇形外表面寬度考慮時(shí)，即籠條保留截面為扇形3 時(shí)，柔度為59.30 nm/N，與設(shè)計(jì)截面相比，柔度增大了7.64%，原因在于按照設(shè)計(jì)扇形外表面寬度的尺寸為矩形寬度切削時(shí)，實(shí)際切削部分比設(shè)計(jì)切削部分的橫截面積大，故籠條的實(shí)際橫截面慣性矩減小。

5 結(jié)論

（1）探討了鼠籠彈支數(shù)值計(jì)算的邊界條件。結(jié)果顯示，考慮軸承外環(huán)線性接觸式的軸承力加載方式，即可在一定精確范圍內(nèi)滿足加載邊界條件，其精度與考慮非線性接觸的精度基本一致，由于不涉及非線性計(jì)算從而有效地提升了計(jì)算效率，適合工程計(jì)算。

（2）研究了鼠籠式彈支柔度的影響因素。結(jié)果顯示，理論公式未考慮的鼓筒部分對(duì)柔度存在一定的影響。對(duì)于籠條數(shù)較多，高剛度的鼠籠彈支結(jié)構(gòu)，應(yīng)采用有限元數(shù)值計(jì)算其柔度。

（3）探討了籠條根部倒圓的影響，提出了有效長(zhǎng)度縮減率K；研究了簡(jiǎn)化加工工藝，對(duì)扇形與矩形截面的差異分析可知，在保持橫截面慣性矩不變的情況下，可以簡(jiǎn)化加工工藝，矩形截面可以加工為扇形截面。

（4）采用有限元數(shù)值仿真方法進(jìn)行彈支結(jié)構(gòu)的柔度設(shè)計(jì)，可以克服理論解析方法無法考慮倒角等結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)特征影響的局限性，從而獲得更逼近真實(shí)條件的鼠籠式彈性支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案。