肖 軍 周逸倫 張宇航 劉曉明 李奉譽 孫永瑞 劉小民,*

（1.合肥通用機械研究院有限公司壓縮機技術(shù)國家重點實驗室；2.西安交通大學能源與動力工程學院；3.沈鼓集團股份有限公司）

0 引言

高轉(zhuǎn)速離心壓縮機在航空航天、石油化工、渦輪增壓和燃料電池等領(lǐng)域有著廣泛的應用。高轉(zhuǎn)速離心壓縮機的性能曲線十分陡峭，實際運行中極端非穩(wěn)的邊界條件使壓縮機流動大尺度劇烈變化，流場的動態(tài)響應呈現(xiàn)高度復雜的非定常特性，開展不同背壓的流場響應特性研究對保證高轉(zhuǎn)速離心壓縮機安全穩(wěn)定運行具有重要的理論意義和實際應用價值。

關(guān)于高轉(zhuǎn)速離心壓縮機流場對邊界條件變化的瞬態(tài)響應問題，目前的研究仍開展較少。早期的研究主要以軸流壓縮機為對象，Wenzel[1]在某渦扇發(fā)動機進氣道中反向噴入射流對進氣壓力進行脈沖降壓，結(jié)果表明壓縮機失速所需脈動幅度與脈沖持續(xù)時間成反比。吳虎等[2]對某四級跨音壓縮機和八級跨音壓縮機進氣突變的計算研究表明，進氣壓力突增可延遲失穩(wěn)，壓力突降則增大失穩(wěn)的可能性。王小峰[3]對某型發(fā)動機壓氣機的研究亦表明進氣壓力突降時，穩(wěn)定工作邊界下移，喘振可能性增大。近年來，已有學者開展了離心壓縮機流場在非穩(wěn)邊界條件下的流場響應研究，如Zemp[4]對某離心壓縮機進口施加實測的畸變分布邊界條件，計算了進氣畸變通過壓縮機全場的非定常過程。肖軍[5]開展了某徑向葉輪流場對進口壓力脈沖的響應特性研究。以高轉(zhuǎn)速離心壓縮機為對象的研究主要針對車用渦輪增壓器壓縮機在出口背壓脈動下的響應特性展開[6-9]。Marelli[6-7]的研究表明，背壓脈動條件下渦輪增壓器離心壓縮機的瞬態(tài)工作點偏離并包裹了定常工況性能曲線，試驗發(fā)現(xiàn)壓縮機性能遲滯回線的尺寸隨著脈動頻率的增加和壓縮機轉(zhuǎn)速的提高而增大，背壓脈動條件下壓縮機的喘振裕度得到改善。Galindo[8]的研究表明，背壓脈動條件下離心壓縮機的喘振流量降低了約15%。Barrera-Medrano[9]對一臺渦輪增壓器壓縮機的試驗亦表明，當壓縮機在背壓脈動條件下運行時，喘振邊界被推至更小流量區(qū)間。Shu[10]通過某高速小流量離心壓縮機的實驗研究發(fā)現(xiàn)背壓脈動對喘振頻率影響很小，但在一定程度上削弱了喘振強度。然而上述研究均采用試驗手段，側(cè)重于對離心壓縮機外特性的測試分析，目前少有通過計算流體力學手段開展背壓脈動下流場響應機理的研究。

動態(tài)模態(tài)分解是近年發(fā)展起來的一種重要的數(shù)據(jù)降維方法，由Schimd[11-12]提出，可用于提取流場仿真和實驗數(shù)據(jù)的模態(tài)特征，描述時間序列數(shù)據(jù)的演化過程及機制。已有較多學者采用DMD 方法對非定常流動過程展開了研究，如Liu 等[13]采用DMD 方法分析了某跨聲速空腔湍流的壓力波動過程，識別出不同頻率的流場模態(tài)結(jié)構(gòu)。李康迪等[14]采用DMD 方法對某跨聲速壓氣機的流固耦合流場進行分析，得到了壓力和速度的模態(tài)場，通過模態(tài)等值線圖發(fā)現(xiàn)了近失速點突尖型失速的早期表現(xiàn)。張人會等[15]針對某軸流式油氣混輸泵導葉內(nèi)的非定常流動采用DMD方法獲得了反映速度場特征的前幾階模態(tài)場的信息，結(jié)果顯示基于主要模態(tài)場的降階重構(gòu)能夠較精確地實現(xiàn)時變流場的預測。Kou[16]提出了一種根據(jù)模態(tài)對時間系數(shù)的積分選擇流場主模態(tài)的準則，該準則考慮了各模態(tài)在整個采樣空間內(nèi)的演化，并根據(jù)其對所有樣本的貢獻進行排序，使用該準則可用較少的模態(tài)準確重建時變系統(tǒng)的流場結(jié)構(gòu)。本文研究的超高速離心壓縮機背壓脈動流場是高頻時變流場，而目前流場的DMD 分析較少涉及高頻時變流場特征的研究。

本文采用自主編寫的離心葉輪流場數(shù)值分析程序，針對高速離心葉輪流場進行了不同背壓脈動下的非定常響應計算及分析。然后采用DMD方法開展了不同背壓脈動條件下流場響應的模態(tài)分析。結(jié)果表明：不同脈動頻率下非定常流場均包含轉(zhuǎn)頻諧波的極限環(huán)振蕩模態(tài)及非諧波的衰減模態(tài)。非定常流場可通過基本模態(tài)和前幾個諧波模態(tài)進行較準確的重構(gòu)，相較于基本模態(tài)，其它模態(tài)的幅值較小。不同背壓脈動頻率下一階諧波模態(tài)的幅值均為除基本模態(tài)外最高，反映背壓脈動誘發(fā)的非定常流場變化主要表現(xiàn)為基頻響應。

1 數(shù)值方法

1.1 流場計算方法

基于多塊結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格開發(fā)了非定常流場分析程序，主方程和湍流方程的離散方法以及非定常流場的時間推進方法參見文獻[17-18]。使用多重網(wǎng)格方法加速流場計算，湍流輸運方程僅在最細層網(wǎng)格求解。多核多線程并行計算是加速流場計算的最有效途徑，本文數(shù)值計算采用基于共享內(nèi)存的OpenMP 并行編譯技術(shù)，在源代碼中添加并行編譯偽指令將程序執(zhí)行并行化，最大限度地降低離心葉輪非定常流場模擬的計算時間。

針對離心壓縮機葉輪，數(shù)值計算中葉輪進口邊界設(shè)定總壓、總溫及湍流度邊界條件，邊界內(nèi)側(cè)格點的軸向速度外插，出口采用壓力邊界條件，給定平均背壓，速度分量采用一維特征關(guān)系外插。固壁采用無滑移邊界條件且給定法向壓力梯度為零。

1.2 DMD方法

本文研究采用的動態(tài)模式分解（Dynamic Mode Decomposition，DMD）是一種有效的數(shù)據(jù)分解方法，允許從實驗或仿真獲得的時間序列數(shù)據(jù)中提取動態(tài)特征。對于非定常流場，各時間步的流場數(shù)據(jù)可表示為一個快照矢量，這些矢量的時間序列構(gòu)成快照矩陣V1,n，即

式中，vi為第i個快照矢量，n為時間序列的步數(shù)，相鄰快照時間間隔為Δt。DMD 方法通過計算近似快照間映射的低維矩陣的特征值和特征向量，生成描述時間序列中包含的流場動態(tài)過程信息。對于非線性的流體動力系統(tǒng)，假設(shè)相鄰流場快照間存在近似線性映射A，使

A為m×m的高維矩陣，m為快照矢量空間維度，流體系統(tǒng)的動態(tài)特性包含于A的特征值和特征向量中。為獲取流場的主要動態(tài)特性，必須對高維矩陣A進行降階。當快照數(shù)量足夠多時，快照矩陣產(chǎn)生線性相關(guān)組，即

表明進一步添加流場快照無法增加流場信息，此時可用A的伴隨矩陣S作為其低維近似矩陣

對V1,n-1做QR 分解并根據(jù)上式可得到S最后一列，但該算法易導致病態(tài)矩陣[11]。

對時間序列V1,n-1進行奇異值分解得到

Σ為包含奇異值的對角矩陣，UTU=I且WTW=I，I為單位陣。通常前面幾個奇異值的和即占全部奇異值和的99%以上，可對式(6)取前r階非零奇異值做截斷得到

流場動力系統(tǒng)的動態(tài)模態(tài)矩陣定義為

式中ω為的右特征矩陣，即

λi為的特征值。

上式表明b的物理意義為模態(tài)振幅，其算式為

由式(11)可知，特征值λi的虛部反映第i模態(tài)的頻率fi，特征值的模反映該模態(tài)隨時間的變化率ηi，具體地

θi為λi的相角，若變化率ηi為正，則相應模態(tài)發(fā)散，為負則衰減，為零表示極限環(huán)模態(tài)。

2 背壓脈動的流場響應及其DMD分析

2.1 流場響應分析

高轉(zhuǎn)速離心壓縮機頻繁經(jīng)歷著工況參數(shù)和邊界條件變化，動態(tài)變化的工況導致離心壓縮機內(nèi)流場呈現(xiàn)復雜的響應特征。研究對象為某高轉(zhuǎn)速小流量離心壓縮機葉輪的內(nèi)部流場，壓縮機葉輪有8個主葉片和8個分流葉片，轉(zhuǎn)速為90000r/min，模型如圖1(a)所示，幾何及氣動設(shè)計參數(shù)如表1所示。

表1 離心壓縮機設(shè)計參數(shù)Tab.1 Design parameters of centrifugal compressor

圖1 壓縮機葉輪及計算網(wǎng)格Fig.1 CAD model and computational grid of impeller

流場計算域包括進口延長段、葉輪通道、擴壓器段，劃分的多塊結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格如圖1(b)所示，網(wǎng)格點數(shù)為1,245,262。使用獨立編制的數(shù)值計算程序展開了離心葉輪的流場數(shù)值模擬，無粘項離散采用迎風格式，粘性項離散使用中心格式，采用S-A湍流模型。首先進行葉輪定常流場的計算，設(shè)置進口總壓101.3kPa、總溫293.15K，葉輪下游背壓pb=168.4kPa，該背壓下工況接近設(shè)計流量點。

針對壓縮機實際運行時下游壓力可能發(fā)生的脈動變化，對葉輪下游背壓施加一定幅度的周期波動，使用數(shù)值分析展開葉輪流場對背壓脈動的響應研究。根據(jù)實測經(jīng)驗和前述文獻[6-8]情況，實際多變工況下高速葉輪出口壓力波動的幅度多在1%～5%的水平。對葉輪下游施加頻率分別為葉輪轉(zhuǎn)頻（frot=1500Hz）、2 倍頻和3 倍頻的背壓脈動，幅度為3%pb，上游進口總溫、總壓保持不變，以定常流場為初場，計算了葉輪在背壓脈動條件下的響應流場。葉輪轉(zhuǎn)頻脈動情況下，每個脈動周期設(shè)置32個和128物理時間步得到的結(jié)果基本一致，因此各計算工況的脈動周期均設(shè)置32個時間步。

Fluent 軟件與本文程序均采用二階AUSM+格式離散對流項，實時間步離散均采用二階歐拉后差格式，虛時間步離散均采用LU分解隱格式，進口均給定總溫及總壓，出口邊界均給定靜壓，速度和密度由內(nèi)場外插至出口邊界，且兩者均采用S-A 湍流模型。葉輪流場對背壓脈動的進口質(zhì)量流量和氣動力矩響應分別如圖2(a)、(b)所示，橫坐標nT為背壓脈動周期數(shù)。程序和商業(yè)軟件計算得到的流量和氣動力矩時域曲線符合較好，曲線變化的時域歷程幾乎一致，波峰和波谷時刻準確對應，比較結(jié)果驗證了編制程序的正確性。該算例顯示，在相同的網(wǎng)格和計算參數(shù)設(shè)置下，本文程序計算相同時間步數(shù)所需的CPU時間比軟件降低約30%。時變曲線的結(jié)果表明，隨背壓脈動頻率的增大，流場參數(shù)的波動幅度顯著增加，流場變化愈加劇烈。

圖2 性能參數(shù)時域變化曲線比較Fig.2 Comparison of time domian changes curves of performance parameters

圖3、圖5 和圖7 分別給出了背壓脈動頻率為葉輪轉(zhuǎn)頻、2倍頻和3倍頻情況下兩個時刻的相對速度場，t=T/4和t=T/4分別對應背壓脈動最大值和最小值時刻。由圖可見，不同脈動頻率下的速度場在葉片前緣、葉片通道內(nèi)及葉片尾緣均具有相似的等值線分布，且這種相似性在兩個時刻的速度場之間同樣存在，各速度場的相似性應來源于平均流場，而流場的非定常響應未根本改變平均流場的結(jié)構(gòu)?？梢钥闯鰞蓚€背壓極值時刻及不同脈動頻率情況的速度場差異主要表現(xiàn)在相應區(qū)域色溫的變化，3 倍頻脈動情況下，葉片通道后部的速度場色溫在t=T/4時刻最淺，在t=3T/4時刻最深，反映非定常流場響應的波動幅度最大，這與前述性能參數(shù)時變曲線反映的結(jié)果一致。圖4、圖6和圖8分別給出了背壓脈動頻率為葉輪轉(zhuǎn)頻、2 倍頻和3 倍頻情況下最后一周期兩個時刻的非定常壓力，與速度場結(jié)果一樣，各壓力場分布呈現(xiàn)基本相似的結(jié)構(gòu)，這里不再贅述。

圖3 90%葉高位置非定常速度場(f=1500Hz)Fig.3 Unsteady velocity at 90%blade height(f=1500Hz)

圖4 90%葉高位置非定常壓力場(f=1500Hz)Fig.4 Unsteady pressure at 90%blade height(f=1500Hz)

圖5 90%葉高位置非定常速度場(f=3000Hz)Fig.5 Unsteady velocity at 90%blade height(f=3000Hz)

圖6 90%葉高位置非定常壓力場(f=3000Hz)Fig.6 Unsteady pressure at 90%blade height(f=3000Hz)

圖7 90%葉高位置非定常速度場(f=4500Hz)Fig.7 Unsteady velocity at 90%blade height(f=4500Hz)

圖8 90%葉高位置非定常壓力場(f=4500Hz)Fig.8 Unsteady pressure at 90%blade height(f=4500Hz)

2.2 非定常流場DMD分析

流場云圖不能定量地描述背壓脈動下非定常流場演化的動態(tài)特性，為此，本研究使用前述DMD方法對葉輪轉(zhuǎn)頻、2 倍頻和3 倍頻背壓脈動情況下的葉輪非定常響應流場展開了動態(tài)特性分析。非定常流場計算完成后，取90%葉展位置4 個脈動周期的速度場及壓力場數(shù)據(jù)，共130 個流場快照進行DMD分析。圖10所示為各脈動頻率下流場響應的模態(tài)特征值分布情況，虛部非零的模態(tài)為成對出現(xiàn)的共軛模態(tài)，紅點表示頻率為轉(zhuǎn)頻倍數(shù)的前幾階諧波模態(tài)特征值，數(shù)字表示諧波階數(shù)。顯見特征值均位于單位圓圓上或圓內(nèi)，其中諧波模態(tài)的特征值均位于單位圓邊界上，反映諧波模態(tài)對應的非定常流場響應均表現(xiàn)為極限環(huán)振蕩，非諧波模態(tài)特征值位于單位圓內(nèi)，對應流場響應表現(xiàn)為隨時間衰減的耗散態(tài)勢。在背壓基頻脈動情況下，約半數(shù)模態(tài)為非諧波耗散模態(tài)，隨脈動頻率的增大，特征值越來越集中于單位圓邊界附近，即趨于極限環(huán)振蕩的模態(tài)數(shù)顯著增加，3 倍頻背壓脈動情況下，僅有1/4 的模態(tài)位于單位圓內(nèi)部，3/4的模態(tài)聚集在單位圓邊界附近，反映背壓脈動誘發(fā)了更多非諧波成分的穩(wěn)定流場響應結(jié)構(gòu)。

圖10 模態(tài)場特征值分布Fig.10 Eigenvalues distribution of flowfield modes

圖11 所示為各模態(tài)的幅值，橫軸為模態(tài)頻率與轉(zhuǎn)頻比，紅點及數(shù)字標記前幾階諧波模態(tài)，顯見零階模態(tài)的幅值相同且遠大于其它模態(tài)，零階模態(tài)為頻率為0的基本模態(tài)，反映了非定常流場響應的某種平均流場。不同脈動頻率下一階諧波模態(tài)的幅值均遠高于二階和三階諧波模態(tài)，非諧波模態(tài)的幅值遠低于諧波模態(tài)，該結(jié)果表明無論背壓脈動頻率怎樣變化，流場的非定常響應主要受一階諧波模態(tài)支配。隨背壓脈動頻率的增大，各頻率模態(tài)的幅值均顯著增大。流場模態(tài)的上述特性已由2.1節(jié)的非定常流場結(jié)果所體現(xiàn)，即流場結(jié)構(gòu)的相似性來源于基本模態(tài)表達的平均流場，3 倍頻脈動時流場響應的波動幅度增大因各模態(tài)幅值增大所致。此外，由各模態(tài)幅值可知，流場響應可由基本模態(tài)和前幾階諧波模態(tài)近似描述。

圖11 不同頻率下的各階模態(tài)幅值Fig.11 Amplitudes of modes at different frequencies

圖12 所示為背壓脈動下非定常流場響應的基本模態(tài)場，結(jié)果表明不同脈動頻率下流場快照數(shù)據(jù)提取的速度場基本模態(tài)比較一致，并未因背壓脈動頻率不同而變化，根據(jù)前述模態(tài)特征值中基本模態(tài)的幅值相同且遠高于其它模態(tài)的結(jié)果，進一步表明圖3、圖5 和圖7 中速度場的相似性即源于基本模態(tài)場，這也反映了平均流場的結(jié)構(gòu)。不同背壓脈動頻率下流場響應提取的壓力場基本模態(tài)亦比較一致，因此文中僅給出3倍頻脈動下流場壓力的基本模態(tài)。

圖12 基本模態(tài)場Fig.12 Basic mode of transient flow field

圖13、圖15 和圖17 所示分別為背壓基頻、2 倍頻和3倍頻脈動情況下流場非定常壓力的前兩階諧波模態(tài)，諧波模態(tài)反映了非定常壓力波動的分布特征，由圖可見基頻脈動情況下壓力波動在葉輪進口前及出口后區(qū)域數(shù)值較低而在葉片通道內(nèi)為負，2 倍頻和3 倍頻脈動情況下葉輪通道前部和中部分別出現(xiàn)較高正向壓力波動，向上下游壓力波動變?yōu)樨撓?，反映流場局部渦系對壓力變化造成的影響。二階諧波模態(tài)壓力波動數(shù)值較小，且分布相對一階諧波模態(tài)較均勻。

圖13 壓力場模態(tài)(f=1500Hz)Fig.13 Pressure field modes(f=1500Hz)

圖14 非定常壓力場重構(gòu)(f=1500Hz)Fig.14 Reconstruction of unsteady pressure field(f=1500Hz)

圖15 壓力場模態(tài)(f=3000Hz)Fig.15 Pressure field modes(f=3000Hz)

圖16 非定常壓力場重構(gòu)(f=3000Hz)Fig.16 Reconstruction of unsteady pressure field(f=3000Hz)

圖17 壓力場模態(tài)(f=4500Hz)Fig.17 Pressure field modes(f=4500Hz)

略去其它模態(tài)，僅提取動態(tài)壓力的基本模態(tài)和前3階諧波模態(tài)對仿真計算最后一個周期的流場數(shù)據(jù)進行時序重構(gòu)，得到圖14、圖16和圖18所示的背壓基頻、2倍頻和3倍頻脈動情況下非定常壓力的時序重構(gòu)結(jié)果，分別與圖4、圖6 和圖8 中的流場仿真結(jié)果相比，可知重構(gòu)的壓力場與數(shù)值仿真結(jié)果高度一致，幾乎反映了原始流場快照的所有細節(jié)，這表明運用DMD 分解的流場模態(tài)數(shù)據(jù)能夠準確重構(gòu)時變流場的結(jié)構(gòu)。對于葉輪流場這類周期變化的流場結(jié)構(gòu)，隨著耗散模態(tài)隨時間的充分衰減，非定常流場將完全呈現(xiàn)諧波模態(tài)極限環(huán)振蕩的變化態(tài)勢，利用已有的仿真數(shù)據(jù)做DMD分解的模態(tài)場可實現(xiàn)對任意周期時刻流場數(shù)據(jù)的準確預測。

圖18 非定常壓力場重構(gòu)(f=4500Hz)Fig.18 Reconstruction of unsteady pressure field(f=4500Hz)

3 結(jié)論

本文針對高速離心壓縮機葉輪內(nèi)部流場，對背壓脈動情況下離心葉輪的非定常流場響應特性進行了數(shù)值分析，采用DMD分解方法對離心葉輪非定常流場的動態(tài)特征進了研究。得到的主要結(jié)論如下：

1）背壓脈動頻率對離心葉輪非定常流場響應有重要影響，隨脈動頻率增大，葉輪流量和氣動力矩等流場參數(shù)的波動幅度顯著增加，葉輪內(nèi)流場變化愈加激烈。

2）不同背壓脈動頻率和演化時刻的離心葉輪流場分布呈現(xiàn)一定相似性，這種相似性主要來源于基本模態(tài)描述的平均流場。

3）離心葉輪非定常流場響應的模態(tài)包含轉(zhuǎn)頻諧波的極限環(huán)振蕩模態(tài)和隨時間衰減的非諧波模態(tài)，基本模態(tài)的幅值遠高于其它模態(tài)，諧波模態(tài)幅值隨階數(shù)增加而迅速降低，非諧波耗散模態(tài)的幅值遠低于諧波模態(tài)。葉輪內(nèi)流場響應的非定常成分主要受一階諧波模態(tài)支配。

4）不同背壓脈動頻率下離心葉輪流場提取的基本模態(tài)場一致，這表明葉輪內(nèi)非定常流場響應的平均流場結(jié)構(gòu)具有相似性。通過基本模態(tài)和前幾階諧波模態(tài)能夠?qū)Ψ嵌ǔＷ兓娜~輪流場進行準確的時序重構(gòu)，本文研究采用較小的數(shù)據(jù)量揭示了離心葉輪內(nèi)原始時變流場的演化特性。

本文對高轉(zhuǎn)速離心葉輪內(nèi)非定常流場演化的動態(tài)特征采用DMD 方法進行快速辨識，在無需額外流場數(shù)值模擬的情況下，實現(xiàn)了復雜時變流場的降階重構(gòu)和預測，對于深刻認識高速離心壓縮機葉輪內(nèi)非定常流場演化機理具有十分重要的理論意義。