彈性支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)應(yīng)變能分析及其支承特性影響研究*

王美令 胡秋生

（大連交通大學(xué)機(jī)車車輛工程學(xué)院）

0 引言

以航空發(fā)動(dòng)機(jī)為代表的高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子系統(tǒng)普遍采用彈性支承，用以調(diào)整和控制系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速，以保證系統(tǒng)在工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)通過(guò)低階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，大部分變形集中于彈性支承上，從而保證系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行。然而，隨著轉(zhuǎn)速不斷增大，支點(diǎn)數(shù)目的減小，轉(zhuǎn)子相對(duì)于支承的剛性弱化，在高轉(zhuǎn)速工作時(shí)易出現(xiàn)彎曲變形[1]，同時(shí)，當(dāng)支承剛度高于某一定值時(shí)，會(huì)使轉(zhuǎn)子剛體振型彎曲應(yīng)變能過(guò)大，呈現(xiàn)彎曲較大的振型，對(duì)振動(dòng)不利。轉(zhuǎn)子應(yīng)變能是指轉(zhuǎn)子發(fā)生形變時(shí)，外力在形變位移上所做的功，其分布可用于表征轉(zhuǎn)子變形和受力狀態(tài)[2]。綜合考慮轉(zhuǎn)子剛度和支承剛度的影響，掌握其相對(duì)剛度特性對(duì)系統(tǒng)應(yīng)變能分布的影響規(guī)律，對(duì)于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分析設(shè)計(jì)具有重要的指導(dǎo)意義。

支承特性對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性乃至整機(jī)振動(dòng)具有重要影響。眾多學(xué)者針對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)支承特性及其對(duì)系統(tǒng)影響開展了大量的研究工作。羅忠等[3]建立了帶彈性環(huán)式支承結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型，研究了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在靜剛度和動(dòng)剛度條件下對(duì)臨界轉(zhuǎn)速的影響。喬留春[4]基于有限元和試驗(yàn)方法，提出了彈性支承結(jié)構(gòu)的動(dòng)剛度辨識(shí)方法，并開展了相關(guān)參數(shù)對(duì)彈支支點(diǎn)剛度的影響分析。鄧旺群等基于試驗(yàn)研究分析了帶柔性過(guò)渡段懸臂動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，獲得支承剛度對(duì)其影響，并提出支承剛度的修正方法。并基于不同的支承剛度和軸向位置，開展了某型發(fā)動(dòng)機(jī)低壓轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速隨支承剛度和軸向位置變化規(guī)律的研究[5-6]。屈美嬌等[7]通過(guò)定義轉(zhuǎn)靜耦合因子和截面轉(zhuǎn)靜碰摩危險(xiǎn)系數(shù)，定量研究了支承剛度對(duì)試驗(yàn)器固有頻率、整機(jī)模態(tài)振型、轉(zhuǎn)子靜子耦合程度、壓氣機(jī)和渦輪截面轉(zhuǎn)靜碰摩危險(xiǎn)程度的影響。Yan等[8]對(duì)比研究了前、后兩端分別為柔性支承和剛性支承的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的振動(dòng)特性。Harsha 等[9]研究了帶滾動(dòng)軸承支承對(duì)于剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響規(guī)律。王龍凱等[10]基于航空發(fā)動(dòng)機(jī)等復(fù)雜轉(zhuǎn)子-支承系統(tǒng)的通用動(dòng)力學(xué)模型，從轉(zhuǎn)子固有特性、應(yīng)變能分布、支承傳遞力和振動(dòng)響應(yīng)等方面對(duì)彈性支承并聯(lián)SFD非線性減振效率進(jìn)行分析。太興宇等[11]將彈性基礎(chǔ)的特性引入到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，分析了彈性基礎(chǔ)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)橫向振動(dòng)的影響規(guī)律。趙芳慧等[12]建立多平行軸系-軸承-箱體混合模型并開展其動(dòng)力學(xué)特性研究，分析了柔性支撐對(duì)軸系固有模態(tài)特性的影響規(guī)律。

本文為了研究彈性支承特性對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)應(yīng)變能分布等動(dòng)力學(xué)特性影響，以兩支點(diǎn)支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立其動(dòng)力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上給出了應(yīng)變能的計(jì)算公式，分析了支點(diǎn)支承剛度、剛度不對(duì)稱對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)振型及相應(yīng)的應(yīng)變能分布的影響規(guī)律。

1 基于有限元法的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型及其模態(tài)應(yīng)變能分析

1.1 基于有限元方法的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

針對(duì)由輪盤、轉(zhuǎn)軸、彈性支承結(jié)構(gòu)和支座等部件組成的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是典型的兩支點(diǎn)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，采用有限元方法進(jìn)行建模和理論分析，并采取如下的簡(jiǎn)化處理：1）轉(zhuǎn)軸視為具有均布質(zhì)量的彈性軸；2）輪盤視為具有回轉(zhuǎn)效應(yīng)的剛體，簡(jiǎn)化為集中質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；3）基座、支座設(shè)為剛性；4）將彈性支承結(jié)構(gòu)視為線性，簡(jiǎn)化為線性彈簧-阻尼單元，作用在轉(zhuǎn)子支點(diǎn)處。

基于有限元方法離散轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的過(guò)程中，對(duì)單元節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連續(xù)編號(hào)。假設(shè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)共有m個(gè)節(jié)點(diǎn)，則整個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)共有n=6m個(gè)自由度，系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、陀螺力矩矩陣、剛度矩陣均為n×n階。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)整體節(jié)點(diǎn)位移矢量為

在得到了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的整體質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和陀螺力矩矩陣后，即可獲得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

引入比例阻尼后，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可記為

式中，q，，分別為系統(tǒng)所有節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)位移、速度和加速度列陣；M為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣；G，K分別為系統(tǒng)的陀螺力矩矩陣和剛度矩陣；Q為系統(tǒng)的廣義激振力矢量，包含不平衡激勵(lì)力和可能存在故障激勵(lì)力。引入的阻尼矩陣C記為

1.2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)應(yīng)變能分析

對(duì)于自由振動(dòng)狀態(tài)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不受力作用，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程(3)可以改寫成

為了求解這個(gè)方程的特征值，把原始系統(tǒng)的n×n階方程擴(kuò)展到2n×2n階，得到

對(duì)于自由振動(dòng)，位移有以下形式U

式中，Φ表示位移U的振幅；ωˉ和t分別表示特征值和時(shí)間。

將式(8)代入式(6)，得

這個(gè)方程是標(biāo)準(zhǔn)特征值的問(wèn)題。通過(guò)上述分析，得到系統(tǒng)的振型，包括各節(jié)點(diǎn)的廣義位移（位移、轉(zhuǎn)角），在此基礎(chǔ)上進(jìn)行系統(tǒng)的應(yīng)變能分析。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的總應(yīng)變能包括：轉(zhuǎn)子的彈性應(yīng)變能（彎曲應(yīng)變能、剪切應(yīng)變能）、彈支支承的應(yīng)變能。系統(tǒng)總的應(yīng)變能Us可表示為

式中，q為系統(tǒng)的廣義位移向量；K為系統(tǒng)的剛度矩陣。

彈性支承的總應(yīng)變能Ue可表示為

式中，Uei為第i個(gè)彈性支承的應(yīng)變能(i=1:m)；qi為彈性支點(diǎn)處的廣義位移向量；Kei為第i個(gè)彈性支承的剛度矩陣[13]。

由于振型的變化與轉(zhuǎn)子、支承的變形能分布有關(guān)，通過(guò)轉(zhuǎn)子支承系統(tǒng)的應(yīng)變能在轉(zhuǎn)子、支承系統(tǒng)的分布（即所占的比例）可有效地確定轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)振型。

定義轉(zhuǎn)子的應(yīng)變能系數(shù)η，即轉(zhuǎn)子的彈性變形能在系統(tǒng)總應(yīng)變能中所占的比例，可表示為

式中，Us為系統(tǒng)總的應(yīng)變能之和；Ue為系統(tǒng)支承的彈性應(yīng)變能。

在以航空發(fā)動(dòng)機(jī)為代表的高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，希望在工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的臨界轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子應(yīng)變能不超過(guò)發(fā)動(dòng)機(jī)總應(yīng)變能的20%～25%，以限制轉(zhuǎn)子在臨界轉(zhuǎn)速時(shí)不能有太大的彎曲，盡可能接近剛體振型[14]。在本文系統(tǒng)模態(tài)振型分析中，采用引入的轉(zhuǎn)子應(yīng)變能系數(shù)來(lái)區(qū)分、評(píng)定模態(tài)振型。

2 支承特性對(duì)系統(tǒng)模態(tài)特性的影響

2.1 算例

針對(duì)典型兩支點(diǎn)彈支-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，建立其有限元模型(如圖1所示)，通過(guò)數(shù)值仿真分析支承剛度、支點(diǎn)剛度不對(duì)稱對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)振型及模態(tài)應(yīng)變能分布的影響規(guī)律。彈支轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的支承剛度是由軸承剛度和彈性鼠籠結(jié)構(gòu)剛度串聯(lián)得到的，而彈支鼠籠結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)小于軸承剛度(量級(jí)1e6N/m)，因此，支承剛度主要由彈支鼠籠結(jié)構(gòu)的剛度決定。分析中系統(tǒng)的基本參數(shù)如表1所示。

圖1 兩支點(diǎn)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型Fig.1 Finite element model of two-fulcrum rotor system

表1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of rotor system

采用上述的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元建模方法，建立的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元模型(如圖1所示)，系統(tǒng)共有11個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)6個(gè)自由度，共66個(gè)自由度，轉(zhuǎn)盤位于6#節(jié)點(diǎn)處，系統(tǒng)兩端的兩支點(diǎn)分別位于2#、10#節(jié)點(diǎn)處，轉(zhuǎn)軸分為10段，軸段參數(shù)如表2 所示。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為1×66 維的位移矢量，可記為

表2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸段單元參數(shù)Tab.2 Shaft segment element parameters of rotor system

組集得到的系統(tǒng)質(zhì)量矩陣M為66×66 階稀疏對(duì)稱矩陣，陀螺力矩矩陣G、阻尼矩陣C和剛度矩陣K均為66×66對(duì)稱矩陣。

在支點(diǎn)剛度對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性影響分析中，引入支承的當(dāng)量剛度的概念，即，支承剛度與轉(zhuǎn)子軸段的最小等效剛度的比值，可記為

式中，k為支點(diǎn)某方向上的剛度；ks0為轉(zhuǎn)子軸段的相應(yīng)方向上的最小等效剛度值。

根據(jù)Timoshenko 連續(xù)梁理論推導(dǎo)該系統(tǒng)轉(zhuǎn)軸單元?jiǎng)偠忍匦跃仃嚕?jì)算轉(zhuǎn)子軸段的三個(gè)方向上的最小等效剛度值如表3 所示。給定支點(diǎn)當(dāng)量剛度，可由式(14)確定支點(diǎn)的支承剛度，表3 給出了當(dāng)量剛度分別為0.01，0.1，10,100時(shí)對(duì)應(yīng)的三個(gè)方向上的支承剛度。

2.2 支承特性對(duì)系統(tǒng)模態(tài)振型的影響

為研究支點(diǎn)支承剛度變化以及支點(diǎn)剛度不對(duì)稱對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)振型及其應(yīng)變能分布的影響和敏感性，分別針對(duì)如表4所示的幾種不同情況展開討論：1）兩支點(diǎn)完全相同時(shí)，兩支點(diǎn)的當(dāng)量剛度k*=k1*=k2*分別選取0.01，0.1，10；2）兩支點(diǎn)剛度不對(duì)稱時(shí)，支點(diǎn)1選取固定當(dāng)量剛度k*=0.001(即支點(diǎn)1 的剛度遠(yuǎn)小于轉(zhuǎn)軸剛度，小3 個(gè)量級(jí)，視為彈支)，支點(diǎn)2 的當(dāng)量剛度k*=k2*分別選取0.01，0.1，10；3）兩支點(diǎn)剛度不對(duì)稱時(shí)，支點(diǎn)1 選取固定當(dāng)量剛度k*=1000(即支點(diǎn)1的剛度遠(yuǎn)大于轉(zhuǎn)軸剛度，大3個(gè)量級(jí)，視為剛支)，支點(diǎn)2的當(dāng)量剛度k*=k2*分別選取0.01，0.1，10。針對(duì)如表4所示的支點(diǎn)對(duì)稱、支點(diǎn)不對(duì)稱的3類工況，通過(guò)仿真分析獲得支點(diǎn)剛度、支點(diǎn)不對(duì)稱對(duì)于系統(tǒng)模態(tài)振型的影響如圖2～圖4 所示，圖中ω為轉(zhuǎn)速（單位Hz），η為轉(zhuǎn)子的應(yīng)變能系數(shù)，當(dāng)η小于20%，視為剛體振型；超過(guò)20%時(shí)認(rèn)為轉(zhuǎn)子開始出現(xiàn)彎曲振型特征；在η大于80%，認(rèn)為轉(zhuǎn)子振型完全轉(zhuǎn)化為彎曲振型；η在20%～80%的區(qū)域，視為轉(zhuǎn)子-支承的耦合振型。

圖2 兩支點(diǎn)剛度相同時(shí)，支點(diǎn)剛度特性對(duì)系統(tǒng)一階模態(tài)振型及應(yīng)變能的影響Fig.2 When the two fulcrums stiffness are same,the influence of the fulcrum stiffness characteristics on the system first mode shape and strain energy

圖3 兩支點(diǎn)剛度不對(duì)稱k1*=0.001時(shí)，支點(diǎn)剛度特性對(duì)系統(tǒng)一階模態(tài)振型及應(yīng)變能的影響Fig.3 When the two fulcrums stiffness are asymmetric k1*=0.001,the effect of fulcrum stiffness characteristics on the first mode shape and strain energy of the system

表4 支點(diǎn)剛度特性對(duì)系統(tǒng)模態(tài)振型影響規(guī)律分析Tab.4 Analysis of the influence of the fulcrum stiffness characteristics on the system modal shape

由表4和圖2～圖4可以看出，隨著支點(diǎn)當(dāng)量剛度k*的增大，系統(tǒng)固有頻率增大，轉(zhuǎn)子的彈性應(yīng)變能系數(shù)均呈現(xiàn)不同程度的增大。針對(duì)兩端支點(diǎn)相同以及兩支點(diǎn)不對(duì)稱的情況（一端彈支k1*=0.001、一端剛支k1*=1000），在支點(diǎn)2當(dāng)量剛度k2*分別選取0.01，0.1，10時(shí)，一階固有頻率增大，轉(zhuǎn)子應(yīng)變能系數(shù)呈增加趨勢(shì)，轉(zhuǎn)子應(yīng)變能在系統(tǒng)總應(yīng)變能中的比重升高，轉(zhuǎn)子一階模態(tài)振型由剛體振型到轉(zhuǎn)子-支承耦合振型再到完全的彎曲振型轉(zhuǎn)化。其中一端彈支的情況，k2*為0.01和0.1，轉(zhuǎn)子的一階模態(tài)振型均表現(xiàn)為剛體振型；而一端剛支的情況，并未出現(xiàn)剛體振型，絕大部分應(yīng)變能始終在轉(zhuǎn)軸上。

2.3 支承特性對(duì)系統(tǒng)模態(tài)應(yīng)變能分布的影響

為進(jìn)一步分析支點(diǎn)支承剛度變化對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)應(yīng)變能分布的影響，針對(duì)如表6 所示的三類不同情況進(jìn)行分析：(1）兩支點(diǎn)完全相同時(shí)，兩支點(diǎn)的當(dāng)量剛度k*在0.001 到1000的變化；(2）支點(diǎn)剛度不對(duì)稱，一端彈支的情況，支點(diǎn)1當(dāng)量剛度k1*為0.001，支點(diǎn)2的當(dāng)量剛度在0.001到1000的變化；(3）支點(diǎn)剛度不對(duì)稱，一端剛支的情況，支點(diǎn)1當(dāng)量剛度k1*為1000，支點(diǎn)2 的當(dāng)量剛度在0.001 到1000 的變化。獲得支點(diǎn)剛度對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)應(yīng)變能分布的影響如圖5所示。

圖5 不同工況下，支點(diǎn)剛度特性對(duì)轉(zhuǎn)子應(yīng)變能分布的影響曲線Fig.5 Influence curve of fulcrum stiffness characteristics on rotor strain energy distribution under different working conditions

表6 支點(diǎn)剛度對(duì)系統(tǒng)模態(tài)應(yīng)變能分布影響規(guī)律分析Tab.6 Analysis of the influence of fulcrum stiffness on the modal strain energy distribution of the system

由圖5 可以看出：1）兩支點(diǎn)相同時(shí)，當(dāng)支點(diǎn)當(dāng)量剛度k*低于或遠(yuǎn)低于0.01時(shí)，轉(zhuǎn)軸的應(yīng)變能系數(shù)小于20%，即該模態(tài)下轉(zhuǎn)軸基本不發(fā)生彈性變形，主要變形發(fā)生在彈性支承處，對(duì)應(yīng)的模態(tài)振型表現(xiàn)為剛體振型。針對(duì)兩支點(diǎn)不對(duì)稱，一端彈支的情況，k*在0.001到1的范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)子均為剛體模態(tài)。然而，兩支點(diǎn)不對(duì)稱一端剛支的情況，沒有出現(xiàn)剛體模態(tài)；2）兩支點(diǎn)相同時(shí)，當(dāng)量剛度k*高于或遠(yuǎn)高于10時(shí)，轉(zhuǎn)軸的應(yīng)變能系數(shù)大于80%，即該模態(tài)下主要變形主要分布在轉(zhuǎn)軸上，而彈性支承處基本不發(fā)生彈性變形，主要表現(xiàn)為彎曲振型。兩支點(diǎn)不對(duì)稱一端剛支的情況，當(dāng)量剛度k*大于0.1后，均為彎曲模態(tài)，而k*在0.001到0.1范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)子應(yīng)變能系數(shù)η在20%～80%的區(qū)域，視為轉(zhuǎn)子-支承的耦合振型；3）應(yīng)變能分布相對(duì)于當(dāng)量剛度k*變化的敏感范圍分別為，兩支點(diǎn)相同時(shí)0.01～10、支點(diǎn)不對(duì)稱一端彈支時(shí)1～100、支點(diǎn)不對(duì)稱一端剛支時(shí)0.001～0.1。

3 結(jié)論

本文以兩支點(diǎn)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對(duì)象，基于旋轉(zhuǎn)梁理論和有限元理論建立了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)數(shù)值仿真分析了支點(diǎn)支承剛度、剛度不對(duì)稱對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)振型及相應(yīng)的應(yīng)變能分布的影響規(guī)律，得到如下結(jié)論：

1）支承剛度特性對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)振型及其應(yīng)變能分布有重要的影響。尤其當(dāng)支承剛度與轉(zhuǎn)子剛度相近時(shí)(當(dāng)量剛度k*在0.1～10的變化范圍內(nèi))，支承剛度變化對(duì)于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力特性變化非常敏感，系統(tǒng)模態(tài)振型和應(yīng)變能分布隨著支承剛度的增減會(huì)表現(xiàn)出很大的變化和差異。而當(dāng)支承剛度較大時(shí)(當(dāng)量剛度k*大于10 時(shí))，支承剛度變化對(duì)于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力特性變化并不敏感，系統(tǒng)模態(tài)振型和應(yīng)變能分布隨著支承剛度的增減變化不大。

2）提出的轉(zhuǎn)子的應(yīng)變能系數(shù)η可作為區(qū)分系統(tǒng)模態(tài)振型的重要參數(shù)。當(dāng)η小于20%，轉(zhuǎn)子基本不發(fā)生變形，視為剛體振型；在η超過(guò)80%時(shí)，變形主要發(fā)生在轉(zhuǎn)軸上，可視為完全彎曲振型；η在20%～80%的范圍，視為轉(zhuǎn)子-支承的耦合振型。