周宗好，王佳佳

（黃山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 黃山 245041）

0 引 言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的重要課程，從不確定性視角為人們提供了認(rèn)識(shí)世界的思維方式以及分析問(wèn)題的思路方法，其中所蘊(yùn)含的統(tǒng)計(jì)思維是大數(shù)據(jù)時(shí)代公民所必備的核心素養(yǎng)之一[1]。但在教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生普遍反映課程的理論性強(qiáng)，內(nèi)容抽象，公式繁密且枯燥深?yuàn)W，這導(dǎo)致很多學(xué)生常常望而生畏，核心知識(shí)技能目標(biāo)達(dá)成度不高。因而，基于“兩性一度”金課標(biāo)準(zhǔn)下學(xué)生學(xué)習(xí)痛點(diǎn)的解決是本課程教師亟需思考的核心問(wèn)題之一[2]。

隨著MALAB軟件等信息技術(shù)與公共數(shù)學(xué)教學(xué)融入進(jìn)程的不斷推進(jìn)，不僅有效地促進(jìn)了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方式的變革，也為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了豐富的環(huán)境與資源[3]。這一優(yōu)勢(shì)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中尤為明顯，由于概率統(tǒng)計(jì)課程的研究對(duì)象為隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，若依靠黑板、粉筆等傳統(tǒng)教學(xué)手段很難即時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)隨機(jī)數(shù)的生成以及對(duì)不同層次數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，這不僅不利于學(xué)生對(duì)隨機(jī)事件的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性理解，也不能有效地促進(jìn)學(xué)生積累數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗(yàn)[3-5]。因而，在教學(xué)時(shí)可以借助計(jì)算機(jī)并引入MALAB 以及R 軟件等開展諸如蒲豐投針等各種模擬活動(dòng)，并對(duì)城市經(jīng)濟(jì)社會(huì)等領(lǐng)域產(chǎn)生的大樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行處理、描繪與分析，促使學(xué)生能夠在借助軟件完成概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)計(jì)算、統(tǒng)計(jì)分析及統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)上理解與體會(huì)概率的意義以及統(tǒng)計(jì)的思想，也為學(xué)生統(tǒng)計(jì)思維與素養(yǎng)的形成奠定基礎(chǔ)[6，7]。本教學(xué)團(tuán)隊(duì)針對(duì)學(xué)生概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的痛點(diǎn)，圍繞促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)以及統(tǒng)計(jì)思維形成的教學(xué)目標(biāo)，引入MALAB 軟件在統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)中應(yīng)用并展開了系列創(chuàng)新教學(xué)探索。

1 教學(xué)內(nèi)容的可視化

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，“數(shù)學(xué)可視化”作為近幾屆數(shù)學(xué)教育心理學(xué)國(guó)際研討組（PME）的熱點(diǎn)主題之一。數(shù)學(xué)可視化即是將抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象運(yùn)用圖形、圖象、動(dòng)畫等“可看得見(jiàn)、清楚呈現(xiàn)”的表征形式進(jìn)行呈現(xiàn)，促使人們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象有一個(gè)形象、直觀、整體的認(rèn)識(shí)和理解。學(xué)情分析表明，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中諸多概念與定理的抽象程度較高，由于學(xué)生概率統(tǒng)計(jì)理論缺少直觀認(rèn)知，很容易對(duì)概念本質(zhì)理解產(chǎn)生困難或錯(cuò)誤。這不僅影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度與效率，長(zhǎng)此以往也會(huì)降低學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如，概率密度函數(shù)作為概率論中的核心概念之一，是描述連續(xù)隨機(jī)變量概率分布的主要工具[8]。但由于其在定義上與前面所學(xué)的概率分布函數(shù)有相似之處，且學(xué)生對(duì)分布律的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)較少。因此，為了更好地幫助學(xué)生能夠正確地把握分布律的思想方法，辨析與其他相關(guān)概念的差異，在教學(xué)中可以借助MALAB軟件的圖形表示處理與直觀演示功能，將類似各類概率分布等抽象概念借助圖象進(jìn)行可視化，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)表達(dá)式中的關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行觀察、比較與理解，從而準(zhǔn)確快速理解相關(guān)內(nèi)容。

例1：利用MALAB 軟件分別繪制參數(shù)μ= 2、σ2= 2， 3， 5的正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。

繪制圖形程序?yàn)椋?/p>

clear all; clc

x=-10:01:14;

norm1=normpdf(x,2,2);

backColor=[1, 0.9 0.9];

plot(x,norm1,'k-','LineWidth',2);

set(gca,'ytick',0:0.04:0.2,'xtick',-10:4:14,'Font-Size',10,'TickLength',[0.01,0.01],'color',backColor);

axis([-10 14 0 0.2]);

grid on;

xlabel('x', 'FontSize', 10); ylabel('f(x)', 'Font-Size',10);

hold on;

norm3=normpdf(x,2,3);

plot(x,norm3,'b-','LineWidth',2);

hold on;

norm5=normpdf(x,2,5);

plot(x,norm5,'r-','LineWidth',2);

legend('sigma^2=2','sigma^2=3','sigma^2=5')

通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本題中不同參數(shù)取值的圖形進(jìn)行觀察、比較與討論，促使學(xué)生能夠在比較中理解σ2為位置參數(shù)的含義，感知其圖像對(duì)稱性以及參數(shù)的變化對(duì)圖象影響的作用等重要性質(zhì)以及概率密度函數(shù)的概率意義。同時(shí)在課后還能繼續(xù)組織學(xué)生借助MALAB軟件對(duì)概率分布函數(shù)的圖象進(jìn)行探索，通過(guò)對(duì)兩概念圖象的分析，把握兩者的關(guān)系，如圖1所示。

圖1 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)

2 知識(shí)思想的一體化

數(shù)據(jù)分析作為統(tǒng)計(jì)的核心，由于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中所涉及的樣本數(shù)據(jù)量較大，且在借助其不同的數(shù)字特征進(jìn)行總體特征估計(jì)時(shí)由于運(yùn)算量大，學(xué)生課堂可操作性不足。這使得知識(shí)零碎、公式繁密、計(jì)算復(fù)雜且結(jié)果含義深?yuàn)W成為學(xué)生概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的重要痛點(diǎn)。學(xué)生在概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)時(shí)也常常表現(xiàn)出只見(jiàn)“公式”而忽視其背后“統(tǒng)計(jì)思想、概率規(guī)律”等應(yīng)用更為廣泛的大片森林。因而，在教學(xué)時(shí)如何讓學(xué)生的重心從繁雜的計(jì)算轉(zhuǎn)向?qū)Ω怕室饬x以及統(tǒng)計(jì)思想的理解是實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的首要問(wèn)題。而利用數(shù)學(xué)軟件通過(guò)實(shí)驗(yàn)演示、模擬大數(shù)據(jù)內(nèi)隱含的規(guī)律往往很直觀。同時(shí)利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)問(wèn)題求解也很簡(jiǎn)潔直觀，對(duì)比傳統(tǒng)理論計(jì)算使其更加深刻地掌握統(tǒng)計(jì)思想方法。

例2：抽取一批某種產(chǎn)品并測(cè)量其壽命（千小時(shí)）數(shù)據(jù)如下：

試估計(jì)該產(chǎn)品壽命服從的分布并驗(yàn)證。

實(shí)驗(yàn)程序：

clc;clear all;

hist(b,10)

grid on

xlabel('x', 'FontSize', 10); ylabel(' 頻數(shù)', 'Font-Size',10);

normplot(b)

首先是作頻數(shù)直方圖，如圖2所示。

其次是分布的正態(tài)性檢驗(yàn)，如圖3所示。

圖3 正態(tài)性檢驗(yàn)圖

MALAB 軟件作為“矩陣實(shí)驗(yàn)室”，其中包含了大量的數(shù)值計(jì)算、數(shù)據(jù)分析與繪圖功能。因而，在教學(xué)中可以通過(guò)設(shè)計(jì)大樣本數(shù)據(jù)計(jì)算驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)規(guī)律的問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生結(jié)合理論方法的思考，感知實(shí)操性的不足。同時(shí)圍繞實(shí)際案例在理論方法學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上借助MALAB軟件的計(jì)算功能對(duì)數(shù)據(jù)處理過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、分析相關(guān)圖像特征與計(jì)算結(jié)果中體會(huì)其中所蘊(yùn)含的概率規(guī)律、統(tǒng)計(jì)思想及其實(shí)際應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生深層次把握知識(shí)本質(zhì)的同時(shí)實(shí)現(xiàn)知識(shí)、技能、思想、方法的一體化認(rèn)識(shí)。

例3：甲乙兩個(gè)車間生產(chǎn)的同一種零件的尺寸（cm）數(shù)據(jù)如下,零件的尺寸都服從正態(tài)分布，總體方差反應(yīng)出各車間生產(chǎn)零件的精度，請(qǐng)用假設(shè)檢驗(yàn)的方法比較兩個(gè)車間的精度有無(wú)差別。

由上面分析可得樣本觀測(cè)值沒(méi)有在拒絕域，即在顯著性水平α= 0.05 的情況下認(rèn)為兩個(gè)車間的加工的零件精度無(wú)顯著性差異。

軟件驗(yàn)證：clc; clear all;

alpha=0.05；%設(shè)置顯著性水平為0.05

tail='both'；%設(shè)置尾部類型為雙側(cè)

[h,p,varci,stats]=vartest2(x,y,alpha,tail)%vartest2

函數(shù)為兩個(gè)正態(tài)總體的方差比檢驗(yàn)，varci為返回置信區(qū)間。

以上兩種解法返回相同的結(jié)果，通過(guò)軟件求解加深理論知識(shí)理解，同時(shí)掌握理論在現(xiàn)實(shí)有效的應(yīng)用。

借助大樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際案例引導(dǎo)學(xué)生分步驟對(duì)其進(jìn)行探索。首先，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)理論方法對(duì)其產(chǎn)品壽命的分布計(jì)算步驟思路進(jìn)行表述與交流；其次，當(dāng)學(xué)生感知其實(shí)操性的繁復(fù)與困難時(shí)及時(shí)啟發(fā)他們尋找更為有效的工具——MALAB軟件，結(jié)合學(xué)生所討論的思路方法運(yùn)用軟件對(duì)其分布進(jìn)行實(shí)現(xiàn)與驗(yàn)證。在此問(wèn)題的解決過(guò)程中不僅有助于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的鞏固與應(yīng)用，并在觀察分布特征中加深對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的理解，而且能自覺(jué)感知信息技術(shù)是知識(shí)學(xué)習(xí)及解決問(wèn)題的有效工具。

3 實(shí)際問(wèn)題的綜合化

統(tǒng)計(jì)推斷作為統(tǒng)計(jì)建模的基本手法與思想，是統(tǒng)計(jì)思維的重要元素。在實(shí)際問(wèn)題解決中，常常需要做多項(xiàng)統(tǒng)計(jì)推斷的工作。在教學(xué)此類綜合例題課題時(shí)若對(duì)所涉及的分項(xiàng)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題依次進(jìn)行講解舉例，不僅不能很好地體現(xiàn)課題的整體性，且零散的方法介紹也不利于學(xué)生的理解掌握。因而，可以引入MTLAB 軟件開展統(tǒng)計(jì)綜合實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生小組合作將所學(xué)的概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)甚至其他學(xué)科知識(shí)進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，通過(guò)對(duì)其思路、方法的交流借助MTLAB 軟件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)綜合求解，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析討論。學(xué)生在經(jīng)歷問(wèn)題分析、軟件操作以及結(jié)果分享過(guò)程中不僅能培養(yǎng)主動(dòng)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)觀察、分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力，也積累了統(tǒng)計(jì)建模、數(shù)據(jù)分析等實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，能促使課堂教學(xué)從理論走向?qū)嵺`。

例4：為了研究早中晚時(shí)間段閱讀效率的差異，連續(xù)兩周統(tǒng)計(jì)了某一位閱讀者十分鐘中的閱讀字?jǐn)?shù)（個(gè)）情況如下。

請(qǐng)估計(jì)閱讀者閱讀字?jǐn)?shù)的均值并做正態(tài)性檢驗(yàn)及方差分析。

首先，借助MATLAB 軟件mle 函數(shù)做極大似然估計(jì)得3個(gè)總體的均值估計(jì)值分別約為5505，5497，5502，如圖4所示。

圖4 方差分析顯著性箱線圖

其次，利用函數(shù)lillietest驗(yàn)證3 個(gè)總體都服從正態(tài)分布。

最后，利用MATLAB 軟件中anova1 函數(shù)做方差分析。從圖5中可以看出，在顯著性水平α= 0.05的情況下這個(gè)閱讀者早中晚閱讀水平無(wú)顯著性差異。

圖5 方差分析ANOVA圖

基于學(xué)生學(xué)習(xí)中的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生小組運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的視角對(duì)其進(jìn)行探究?；诓煌〗M學(xué)生對(duì)思路方法的分享比較，促使學(xué)生自我感知分項(xiàng)理論方法的繁復(fù)性?；趯W(xué)生的認(rèn)知沖突適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生借助MATLAB軟件函數(shù)庫(kù)開展綜合實(shí)驗(yàn)，并通過(guò)對(duì)兩種方法思路以及過(guò)程的比較，促使學(xué)生感知軟件操作以及結(jié)果直觀顯示所具有的優(yōu)越性，體會(huì)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值以及與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系。

4 總 結(jié)

利用Matlab 軟件進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)課程實(shí)驗(yàn)化創(chuàng)新教學(xué)，不僅能將抽象的知識(shí)可視化，還可以把概率理論、統(tǒng)計(jì)方法與軟件應(yīng)用進(jìn)行有機(jī)融合，讓繁復(fù)枯燥的概率統(tǒng)計(jì)課堂教學(xué)變得生動(dòng)有趣，復(fù)雜抽象的統(tǒng)計(jì)綜合問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了。為了促進(jìn)學(xué)生統(tǒng)計(jì)思維能更好形成，在教學(xué)時(shí)可以鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的視角、思維與語(yǔ)言來(lái)觀察、思考現(xiàn)實(shí)生活，發(fā)現(xiàn)和提出相關(guān)的概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，并借助所學(xué)知識(shí)以及MATLAB 等數(shù)學(xué)軟件對(duì)其進(jìn)行分析、求解與討論，在知識(shí)遷移中體會(huì)概率統(tǒng)計(jì)的思想方法，獲得數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用實(shí)踐能力。