真正理解 遠(yuǎn)離錯(cuò)誤

文／韓志琴

了解數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度，可以更加有效地運(yùn)用數(shù)據(jù)解決問(wèn)題。數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)可用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)來(lái)刻畫(huà)，離散程度常用極差、方差來(lái)表達(dá)。如果對(duì)各統(tǒng)計(jì)量的實(shí)際意義不明晰或算理不清晰，便會(huì)在答題過(guò)程中出錯(cuò)。

一、理解統(tǒng)計(jì)量的算理

例1若一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的平均數(shù)為2，方差是3，那么另一組數(shù)據(jù)2x1-1，2x2-1，…，2x10-1 的平均數(shù)和方差分別為（ ）。

【解析】本題將一組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大2 倍并減1，得到一組新數(shù)據(jù)，求新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差。由平均數(shù)計(jì)算公式：，通過(guò)加法交換律、結(jié)合律以及分配律，可得如下結(jié)論：一組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加（減）同一個(gè)數(shù)，或都擴(kuò)大（縮?。┫嗤稊?shù)，則平均數(shù)隨之加（減）相同的數(shù)，擴(kuò)大（縮小）相同倍數(shù)。同理，由方差計(jì)算公式：s2=結(jié)合前述結(jié)論和運(yùn)算定律，可以得到結(jié)論：一組數(shù)據(jù)同時(shí)加（減）同一個(gè)數(shù)，方差不變；同時(shí)擴(kuò)大（縮?。┫嗤稊?shù)，方差隨之?dāng)U大（縮?。┫嗤稊?shù)的平方。這可以簡(jiǎn)潔地表達(dá)為：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，方差是s2，那么數(shù)據(jù)ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均數(shù)和方差分別為。弄清算理，不難得到正確答案為選項(xiàng)C。對(duì)上述算理不清楚，是選擇其他錯(cuò)誤選項(xiàng)的根本原因。

二、提高讀圖能力

例2小明的爸爸準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)一輛新能源汽車(chē)，在爸爸的預(yù)算范圍內(nèi)，小明收集了A、B、C 三款汽車(chē)在2022 年9 月至2023 年3 月期間的國(guó)內(nèi)銷(xiāo)售量和網(wǎng)友對(duì)車(chē)輛的外觀(guān)造型、舒適程度、操控性能、售后服務(wù)等四項(xiàng)的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下：

（1）數(shù)據(jù)分析：

①求B 款新能源汽車(chē)在2022 年9 月至2023 年3 月期間的月銷(xiāo)售量的中位數(shù)；

②若將車(chē)輛的外觀(guān)造型、舒適程度、操控性能、售后服務(wù)等四項(xiàng)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)按照比例2∶3∶3∶2 統(tǒng)計(jì)，求A 款新能源汽車(chē)四項(xiàng)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)的平均數(shù)。

（2）合理建議：

請(qǐng)按你認(rèn)為的各項(xiàng)“重要程度”設(shè)計(jì)四項(xiàng)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)的比例，并結(jié)合銷(xiāo)售量給小明的爸爸提出建議，說(shuō)說(shuō)你的理由。

【解析】本題首先考查閱讀統(tǒng)計(jì)圖的能力，其次考查中位數(shù)和加權(quán)平均數(shù)在實(shí)際生活中的運(yùn)用。

第（1）問(wèn)中，折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖表示的是三種車(chē)型在2022年9月至2023年3月期間月銷(xiāo)售量情況，由圖可知B 型車(chē)銷(xiāo)售量依次為3457、4667、5188、8840、1725、2254、8153，按從小到大排序，可知銷(xiāo)售量的中位數(shù)是4667。根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖可知網(wǎng)友對(duì)三種車(chē)型在外觀(guān)造型、舒適程度、操控性能、售后服務(wù)4 個(gè)方面的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，A 型車(chē)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)分別為72、70、67、64，按2∶3∶3∶2的比例可得-x=（72×2+70×3+67×3+64×2）÷（2+3+3+2）=68.3（分）。

第（2）問(wèn)以開(kāi)放的形式體現(xiàn)加權(quán)平均數(shù)在實(shí)際生活中的運(yùn)用，購(gòu)買(mǎi)者對(duì)所購(gòu)買(mǎi)車(chē)型在四項(xiàng)中的期望值給出比例，比如1∶2∶1∶2，計(jì)算出A、B、C三種車(chē)型評(píng)分的加權(quán)平均數(shù)分別為67.8分、69.7分、65.7分，結(jié)合折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖，可知B款車(chē)整體銷(xiāo)售情況良好，且后期有上升趨勢(shì)，可選B款。

讀不懂統(tǒng)計(jì)圖，是不能正確解決問(wèn)題的首要原因。此外，確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)之前沒(méi)有排序，對(duì)“權(quán)”的意義理解不透徹也會(huì)導(dǎo)致出錯(cuò)。數(shù)據(jù)來(lái)源于生活，理解統(tǒng)計(jì)量的意義，理解算理，提高讀圖能力既是解決問(wèn)題的需要，也是適應(yīng)時(shí)代發(fā)展的需要。