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      核心素養(yǎng)背景下的高中數(shù)學(xué)課堂評價

      2023-12-04 15:32:24北京市第五中學(xué)
      新課程教學(xué)(電子版) 2023年13期
      關(guān)鍵詞:楊輝三角函數(shù)圖像

      北京市第五中學(xué) 胡 芳

      數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合表現(xiàn)?!镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版2020年修訂)》明確指出,高中數(shù)學(xué)教學(xué)要樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識,創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,啟發(fā)學(xué)生思考,掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)活動的全過程。因此,高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量評價要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展,同時還要關(guān)注學(xué)生獲取知識的過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師不僅要隨時關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平的變化,而且要根據(jù)學(xué)生學(xué)業(yè)水平的變化及時調(diào)整教學(xué)策略,以更好地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展。

      學(xué)業(yè)質(zhì)量評價要以教學(xué)目標(biāo)為導(dǎo)向,以教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度為依據(jù),同時還要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)知識的掌握程度,關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的學(xué)習(xí)態(tài)度、方法和學(xué)習(xí)習(xí)慣,最終落實到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成。確定學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的依據(jù)主要是三個維度:課程目標(biāo)中的“四基”“四能”,內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)科核心素養(yǎng)水平,因此在課堂教學(xué)中對學(xué)生的學(xué)業(yè)質(zhì)量評價也應(yīng)當(dāng)圍繞以上幾個方面進(jìn)行設(shè)計和實施。

      一、案例1:學(xué)生作業(yè)中的問題反饋與評價

      作為一名數(shù)學(xué)教師,我們經(jīng)常要反饋學(xué)生作業(yè)中的問題,多數(shù)情況下這些問題的處理方式是教師課上集中點評或者課下個別輔導(dǎo),但我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)某些問題在課堂講過,在作業(yè)中練過,但一到考試中再次面對類似問題時,學(xué)生仍然是錯誤不斷。究其原因,就是學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中只是單純地模仿訓(xùn)練,并沒有真正理解問題背后所蘊含的數(shù)學(xué)本質(zhì)。如果在教學(xué)中通過教師設(shè)計問題進(jìn)行引導(dǎo),讓學(xué)生不僅思考問題、解決問題,更能提出問題、設(shè)計問題,讓學(xué)生在這個過程中提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì),理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。不僅是教師考學(xué)生,也可以學(xué)生“考”學(xué)生,豐富評價主體,讓師生之間、組組之間、生生之間進(jìn)行評價,引導(dǎo)學(xué)生融入教學(xué)活動中來,提升課堂學(xué)生參與度,提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

      例如,在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)后,學(xué)生作業(yè)中有這樣一個問題:

      已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的部分函數(shù)圖像,如圖1所示,則ω=____。

      圖1

      本題要求學(xué)生能結(jié)合函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖像,理解參數(shù)A,ω,φ的意義,了解參數(shù)變化對函數(shù)圖像的影響。由于圖像提供的信息有限,學(xué)生在考慮函數(shù)的對稱性、最值和周期性時,難以全面把握性質(zhì)與圖像信息之間的充要關(guān)系,所以從當(dāng)天的作業(yè)反饋中看出錯誤率比較高。

      學(xué)業(yè)質(zhì)量評價要以教學(xué)目標(biāo)為導(dǎo)向,因此教師要先明確教學(xué)的基本任務(wù)。

      (1)經(jīng)歷研究函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖像與基本性質(zhì)的過程,理解參數(shù)A,ω,φ與正弦型函數(shù)基本性質(zhì)之間的聯(lián)系;

      (2)通過分析錯例,合理轉(zhuǎn)化正弦型函數(shù)問題中的圖形信息與代數(shù)信息,并注意轉(zhuǎn)化的等價性,培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想;

      (3)通過設(shè)計問題,培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性和靈活性,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

      課堂教學(xué)實施如下。

      1.創(chuàng)設(shè)情境與問題,落實知識與技能

      本節(jié)課的問題源自學(xué)生的實際錯例,本身就能引起學(xué)生的關(guān)注,圍繞教學(xué)任務(wù)設(shè)計以下幾組問題。

      問題1:如果已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式,我們?nèi)绾窝芯克膱D像及性質(zhì)?

      追問:參數(shù)A,ω,φ對函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖像有什么影響?

      問題2:如果已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)或者部分圖像,我們能否能得到參數(shù)A,ω,φ的相關(guān)信息?

      通過問題啟發(fā)學(xué)生回顧上節(jié)課的知識,并進(jìn)行獨立思考,考查學(xué)生對教學(xué)任務(wù)(1)的達(dá)成度,也是對學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象是否達(dá)成“水平一”進(jìn)行判斷。

      問題3:通過分析本題題干中的圖像,大家可以得到函數(shù)性質(zhì)的什么信息?(對稱軸以及最小值點)

      追問1:有了這些信息,是否可以解決問題?

      追問2:圖像描述了函數(shù)在兩個點處函數(shù)值相等,能否代數(shù)刻畫這個等量關(guān)系?

      為什么與剛才的結(jié)論不同?(等價性轉(zhuǎn)化問題)

      追問4:如果根據(jù)圖像,得到多解時,如何取舍?

      問題4:現(xiàn)在去掉函數(shù)的圖像,請你在下面的橫線上補上恰當(dāng)?shù)臈l件,使得問題成立:

      預(yù)設(shè)①f(x)在區(qū)間有最小值,無最大值(√);

      預(yù)設(shè)②f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增(√);

      預(yù)設(shè)③f(x)在區(qū)間只有一條對稱軸(x)。

      追問5:為什么③是錯誤的?

      教學(xué)以學(xué)生的真實問題為脈絡(luò),教師通過創(chuàng)設(shè)問題情境,讓學(xué)生深入思考函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的基本性質(zhì)以及圖像,體會單調(diào)性、對稱性、最值和周期等重要性質(zhì)之間的聯(lián)系,在這個環(huán)節(jié)中通過問題設(shè)計,將學(xué)生思考不斷引向深入,思考函數(shù)圖像在變化過程中的本質(zhì)性問題,教師要通過觀察學(xué)生語言表達(dá)的邏輯性、注意力是否集中、證明過程是否有邏輯性和簡潔性等,及時作出點評。

      2.鼓勵學(xué)生提出問題,展開討論,訓(xùn)練學(xué)生思維與表達(dá)能力,引導(dǎo)交流與反思

      問題5:通過前面的討論,大家基本理解了函數(shù)f(x)中的參數(shù)對函數(shù)的性質(zhì)以及圖像的影響,并能根據(jù)圖像和性質(zhì)解釋參數(shù)的變化范圍。那么你能否以此函數(shù)的圖像和性質(zhì)研究為背景,再提出一個新的問題考考大家呢?

      同學(xué)們對這個問題的思考十分踴躍,他們提出了不少問題,部分記錄如下。

      (3)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]至少出現(xiàn)2次最大值,則ω的取值范圍是______;

      學(xué)生在分析和解決問題的過程中,發(fā)現(xiàn)其中蘊含的數(shù)學(xué)關(guān)系,學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光找到合適的條件,用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá),并用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行分析,提出新的問題,并借助圖形探索解決問題,這個過程就是一個學(xué)習(xí)的過程,是一個在做中思、做中學(xué)、做中突破難點的積極思考的過程。教師在這個過程指導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題條件,并將其合理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,有助于進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,這可作為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象是否達(dá)成“水平三”進(jìn)行判斷。

      解題中發(fā)生錯誤和改正錯誤貫穿于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)全過程。教師以教學(xué)任務(wù)為導(dǎo)向,通過學(xué)生的真實問題為教學(xué)情境,通過問題設(shè)計引發(fā)學(xué)生進(jìn)行深入討論:自己分析錯在哪里?為什么錯?如何避免?對這些問題的關(guān)注和研究無疑會加深學(xué)生對問題本質(zhì)的理解。在這個過程中教師還要不斷觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)行為,有針對性地及時做出教學(xué)評價。例如,在問題1的解釋中學(xué)生是否使能想到利用五點法作圖?在問題4的解決中,有學(xué)生提出當(dāng)f(x)在區(qū)間只有一條對稱軸時ω=5,教師及時調(diào)整教學(xué)方程,引導(dǎo)學(xué)生討論圖形信息與代數(shù)信息在轉(zhuǎn)化中的等價性等,在學(xué)生自己設(shè)計問題時,個別學(xué)生在提出問題進(jìn)行解題闡述時,自己就發(fā)現(xiàn)了問題設(shè)計的漏洞,又重新進(jìn)行改進(jìn)和調(diào)整,這顯然比單純的紙筆測試進(jìn)行學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量水平判斷要豐富得多,效果也要好得多。

      二、案例2:學(xué)生探究性學(xué)習(xí)活動的評價

      數(shù)學(xué)探究是運用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的綜合實踐活動,承載著提升學(xué)生學(xué)科能力和素養(yǎng)的重要使命。在學(xué)生探究性活動過程中,對學(xué)生學(xué)習(xí)行為和態(tài)度的評價非常重要。教師可以采用形成性評價的方式,注重觀察和評估學(xué)生的學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)方式,從學(xué)生的探究性作業(yè)中了解學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握情況,了解學(xué)生獨立思考以及提出、發(fā)現(xiàn)問題的能力和合作交流的意識等,把握學(xué)生的思維活動特征,記錄他們學(xué)習(xí)中的問題,調(diào)整教學(xué)策略,以期發(fā)展學(xué)生的“四基”“四能”,形成學(xué)科素養(yǎng)。下面以人教A版第四冊探究性學(xué)習(xí)——楊輝三角的教學(xué)為例。

      明確教學(xué)目標(biāo):

      (1)從不同角度探究楊輝三角中的數(shù)字規(guī)律,從中體會研究一般數(shù)陣的方法;

      (2)在“觀察實驗—歸納猜想—推理證明”的探究過程中體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程,培養(yǎng)創(chuàng)新精神和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識;

      (3)通過對楊輝三角的探究,感悟數(shù)學(xué)之美,體會數(shù)學(xué)價值,提升邏輯推理素養(yǎng)。

      課堂教學(xué)實施如下。

      1.初探楊輝三角——提供探究范本

      問題1:首先請大家觀察楊輝三角中的數(shù)字(只給前5行)(見圖2),能否繼續(xù)往下再寫出兩行呢?

      圖2

      問題2:你能用一個數(shù)學(xué)關(guān)系式表示這個發(fā)現(xiàn)嗎?

      追問1:你是如何想到用組合數(shù)表示呢?

      引導(dǎo)學(xué)生說明楊輝三角第n行的各數(shù)就是(a+b)n的展開式的二項式系數(shù)(見圖3)。

      圖3

      問題4:在這個結(jié)論的探究過程中,是否可以總結(jié)出楊輝三角研究的一些基本方法呢?

      指導(dǎo)學(xué)生小結(jié):①如何觀察數(shù)陣?②如何歸納結(jié)果?

      對高中生而言,探究楊輝三角的規(guī)律有一定困難,為了降低探究難度,采用示范演示楊輝三角基本性質(zhì)的探究過程,為學(xué)生開展自主探究提供研究范本。

      2.再探楊輝三角——開展分組合作、自主探究

      進(jìn)行分組探究,將每組的研究結(jié)果在黑板上進(jìn)行粘貼展示,并給出嚴(yán)格證明。

      學(xué)生探究結(jié)果記錄如下。

      結(jié)論1:對稱性:兩邊是1——==1。

      結(jié)論2:每行中與首末兩端等距的數(shù)相等——=。

      結(jié)論3:第n行的數(shù)字之和為2n——++…+=2n。

      結(jié)論4:第n行奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和

      結(jié)論5:從斜向角度分析——與邊平行的斜行求和(見圖4)。

      圖4

      結(jié)論6:從斜向角度分析——第n斜行是n階等差數(shù)列(見圖5)。

      圖5

      第n斜行是第n-1斜行的一階差數(shù)列。

      結(jié)論7:從橫向角度分析——第n行的各數(shù)的平方和等于第2n行中間的數(shù)(見圖6)。即

      圖6

      結(jié)論8:從局部分析——將梯形中5個數(shù)相加就是下面隔行的數(shù)(見圖7)。即

      圖7

      結(jié)論9:從橫向角度分析——每行看作是一個正整數(shù),與11的冪有關(guān)。

      第0行:1=110;

      第1行:11=111;

      ……

      在楊輝三角中第n行乘以11采用“不進(jìn)位相加”可得到第n+1行。

      學(xué)生合作探究,得到楊輝三角性質(zhì)的一般表示,體現(xiàn)從特殊到一般的思想。通過學(xué)生歸納猜想,引導(dǎo)學(xué)生驗證猜想結(jié)論是否正確,引導(dǎo)學(xué)生多角度地分析問題、探究問題、解決問題,既加深學(xué)生對前后知識內(nèi)在聯(lián)系的理解,又從深度和廣度上讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)知識的串聯(lián)和呼應(yīng)。

      3.深探楊輝三角——拓展思維,深入思考

      問題:我們對楊輝三角的規(guī)律探究,容易圍繞在數(shù)字規(guī)律上進(jìn)行研究,而我們?nèi)菀妆蛔约簯T有思維所約束,打破常規(guī)也許會有意想不到的結(jié)果。

      比如,德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨構(gòu)造了分?jǐn)?shù)數(shù)陣(見圖8)。

      圖8

      比如,牛頓構(gòu)造了直角三角形數(shù)陣(見圖9)。

      圖9

      比如,波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯構(gòu)造了楊輝三角中的奇偶數(shù)陣(見圖10)。

      圖10

      通過以上數(shù)陣的介紹,得出這些數(shù)陣的研究基礎(chǔ)都離不開學(xué)生探究的楊輝三角基本性質(zhì)讓學(xué)生感受課堂探究的基礎(chǔ)性作用,感受成功的力量。

      三、結(jié)語

      課堂教學(xué)評價不僅要關(guān)注學(xué)生當(dāng)前的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平,還要關(guān)注學(xué)生成長與發(fā)展的過程;不僅要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果,還要關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的獲得與變化。教師要注意評價主體的多元化,將教師點評與學(xué)生互評結(jié)合,甚至在課下還可以讓學(xué)生家長、學(xué)生本人參與到評價過程中。教學(xué)評價不僅包括了量化評價,還包括了質(zhì)的評價,采用口頭點評、觀察記錄、作業(yè)反饋等多樣化的評價方式,促進(jìn)學(xué)生更好地參與到學(xué)習(xí)過程中,同時也促進(jìn)教師根據(jù)評價反饋更好的調(diào)整教學(xué)方向。教師對學(xué)生的評價直接影響著學(xué)生的學(xué)科發(fā)展,因此教師要站位更高,從學(xué)科的高度進(jìn)行科學(xué)性評價,用發(fā)展的眼光進(jìn)行鼓勵性評價,從教學(xué)整體性角度進(jìn)行全面評價。

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