葉秋吟　薛源　曾文駿　楊靜　饒敏

摘要： 基于龍門山斷裂帶2012年1月—2021年9月MS2.5及以上地震目錄數(shù)據(jù)，按震級分組建立發(fā)震時(shí)刻間隔序列，然后對各序列進(jìn)行平穩(wěn)白噪聲檢驗(yàn)，自相關(guān)、偏相關(guān)性分析，使用SARIMA模型對其進(jìn)行短、中、長周期擬合及預(yù)測。通過分析模型擬合效果，得到不同震級序列的最優(yōu)模型參數(shù)及相應(yīng)周期數(shù)值。其中，序列MS≥2.5及序列MS≥3.0各模型調(diào)整R2均在0.86以上，最高達(dá)0.911;兩序列對應(yīng)模型的短時(shí)預(yù)測表現(xiàn)良好，預(yù)測RMSE分別為10.686及8.800。模型預(yù)測結(jié)果表明，龍門山斷裂帶后續(xù)發(fā)震時(shí)刻間隔總體趨勢平穩(wěn)，序列MS≥3.0預(yù)測結(jié)果趨勢有微弱增長，一段時(shí)間內(nèi)龍門山斷裂帶MS≥3.0地震發(fā)震次數(shù)將略微下降，地震活動(dòng)性降低。該分析結(jié)果可為地震活動(dòng)研究工作提供科學(xué)依據(jù)，其分析方法及過程為地震發(fā)震時(shí)間的分析預(yù)測提供了有效可行的途徑。

關(guān)鍵詞： 龍門山斷裂帶; 發(fā)震時(shí)刻間隔; SARIMA模型; 時(shí)間序列分析

中圖分類號： P315;O21文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號： 1000－0844（2023）04-0991-10

DOI：10.20000/j.1000－0844.20220421002

Analysis and prediction of the occurrence time interval of earthquakes along the Longmenshan fault zone using the SARIMA model

YE QiuyinXUE YuanZENG WenjunYANG JingRAO Min1，2

Abstract：? Different sequences of earthquake occurrence time intervals were first established in accordance with the magnitude based on the catalog data of MS≥2.5 earthquakes along the Longmenshan fault zone from January 2012 to September 2021. Testing of stationary white noise and the analysis of autocorrelation and partial correlation were then conducted， and short－， medium－， and long－period fitting and prediction were performed for each sequence by using the SARIMA model. Finally， the optimal model parameters and corresponding period values of different magnitude sequences were obtained by analyzing the model fitting effect. Among them， the model－adjusted R2of MS≥2.5 and MS≥3.0 sequences are more than 0.86， with a maximum value of 0.911; the short－term prediction effects of corresponding models are good and the values of predicted RMSE are 10.686 and 8.800， respectively. The prediction results of the models show that the overall trend of the occurrence time interval of subsequent earthquakes along the Longmenshan fault zone is stable. The trend of the MS≥3.0 sequence shows a slight increase; that is， the number of MS≥3.0 earthquakes along the Longmenshan fault zone will decrease slightly in a given time period， and the seismicity will decrease. Analysis results can provide a scientific basis for the study of seismic activity， and the analysis method and process can introduce an effective and feasible way for the analysis and prediction of earthquake occurrence times.

Keywords： Longmenshan fault zone; occurrence time interval; SARIMA model; time series analysis

0 引言

龍門山斷裂帶位于青藏高原東緣、四川盆地西北邊緣，以北東－南西向展布，北端抵達(dá)秦嶺斷裂帶，南端止于鮮水河—小江斷裂帶，長約500 km，寬約50 km，主要由后山斷裂、中央斷裂、前山斷裂和山前隱伏斷裂4條主干斷裂及其控制的逆沖推覆體組成［1－2］。該斷裂帶范圍內(nèi)分布有都江堰等數(shù)十個(gè)重要城鎮(zhèn)，主山前邊界大斷裂東南方向靠近人口密集的成都平原地區(qū)及雙城經(jīng)濟(jì)圈，地理位置特殊。探究龍門山斷裂帶的發(fā)震時(shí)間規(guī)律，有助于為該斷裂帶地震活動(dòng)波及地區(qū)的地震預(yù)測工作提供科學(xué)的地震管理決策依據(jù)。

如今地震研究是跨學(xué)科的綜合性領(lǐng)域，對于地震時(shí)間序列數(shù)據(jù)，很多研究者利用統(tǒng)計(jì)、概率的方法和模型對地震發(fā)生時(shí)間、位置及危險(xiǎn)性等重要信息進(jìn)行預(yù)測。部分學(xué)者著眼于對震級時(shí)間序列進(jìn)行探究［3－4］，如和宏偉［3］利用門限自回歸等統(tǒng)計(jì)方法處理震級序列。另外也不乏對發(fā)震時(shí)刻間隔序列的研究，其中多為分析地震時(shí)間間隔的概率分布，如王璇［5］，Sadeghian［6］，Liu［7］，Khan等［8］及Sil等［9］將其與統(tǒng)計(jì)學(xué)中的分布相比較。也有對時(shí)間間隔開展預(yù)測研究工作，如郭安寧等［10］利用倍周期疊加黃金分割法對西北地區(qū)的MS8.0地震進(jìn)行的驗(yàn)證性預(yù)測，并發(fā)現(xiàn)有很好的吻合性。Mariani等［11］提出將獨(dú)立O－Uh過程疊加的隨機(jī)微分方程應(yīng)用于地震研究中，并用該模型擬合了南美MS8.0以下的地震序列。此外，還有學(xué)者拓展預(yù)測途徑，如陳翰林等［12］，游佳等［13］，朱海寧［14］及Asencio－Cortes等［15］運(yùn)用SVM、LSTM及回歸算法對地震時(shí)間進(jìn)行預(yù)測。季節(jié)性自回歸綜合移動(dòng)平均（Seasonal Autoregressive Moving Average，SARMA）模型既能用于預(yù)測自然現(xiàn)象如降雨量［16－17］、河流流量［18］等，也可以對社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象如交通運(yùn)輸客流量、貿(mào)易量等方面進(jìn)行預(yù)測，如學(xué)者于琛等［19］，易靖韜等［20］，孫越等［21］及Milenkovic等［22］所做研究。在地震預(yù)測領(lǐng)域，有學(xué)者如張繼艷等［23］，李磊等［24］及Saqib等［25］運(yùn)用求和自回歸移動(dòng)平均（Autoregressive Integrated Moving Average，ARIMA）模型對地震前兆異常進(jìn)行識別，通過探測震前電離層異常預(yù)報(bào)地震。但鮮有將ARIMA或季節(jié)求和自回歸移動(dòng)平均（Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average，SARIMA）模型用以擬合發(fā)震時(shí)刻的數(shù)據(jù)。

本文選取中國四川地區(qū)龍門山斷裂帶2012年至2021年9月的地震事件作為研究對象，從發(fā)震時(shí)刻間隔的角度，利用SARIMA模型分別按震級對序列進(jìn)行擬合，以此預(yù)測發(fā)震時(shí)刻間隔的發(fā)展趨勢及下一次發(fā)震的時(shí)間。

1 SARIMA模型

1.1 模型理論

ARIMA模型于20世紀(jì)70年代被Box及Jenkins首次提出，全稱為差分自回歸移動(dòng)平均模型，記作ARIMA（p，d，q），其中p和q分別表示自回歸和移動(dòng)平均階數(shù);d為趨勢差分階數(shù)，基本模型結(jié)構(gòu)為：

ARIMA模型可對無季節(jié)效應(yīng)的非平穩(wěn)時(shí)間序列建模，而現(xiàn)實(shí)生活中很多時(shí)間序列存在著一定周期性，對于既含季節(jié)效應(yīng)又含長期趨勢效應(yīng)且兩者存在復(fù)雜交互影響關(guān)系的序列，可采用SARIMA模型。SARIMA模型又稱乘積季節(jié)模型，最初由Wang等［27］提出通用表達(dá)式，記為ARIMA（p，d，q）×（P，D，Q）s，其中P和Q分別為季節(jié)性自回歸和季節(jié)性移動(dòng)平均階數(shù);D為季節(jié)差分的階數(shù);s為季節(jié)周期數(shù)。作為ARIMA模型的擴(kuò)展，該模型在原模型基礎(chǔ)上對序列進(jìn)行了季節(jié)差分提取季節(jié)效應(yīng)信息，以達(dá)到對季節(jié)性時(shí)間序列建模的目的。

1.2 預(yù)測模型構(gòu)建

針對小樣本數(shù)據(jù)的預(yù)測，傳統(tǒng)時(shí)間序列預(yù)測模型可以較充分地提取數(shù)據(jù)所含信息，同時(shí)也不易出現(xiàn)過擬合致使預(yù)測結(jié)果不理想的情況。本文在分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)后，選擇利用SARIMA模型對地震時(shí)間序列進(jìn)行建模。作為傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)預(yù)測模型，SARIMA模型對小樣本數(shù)據(jù)的擬合程度較好、預(yù)測精度高、訓(xùn)練速度快且能夠能較準(zhǔn)確反映數(shù)據(jù)動(dòng)態(tài)變化，在捕捉序列長期趨勢變化的同時(shí)提取其周期性波動(dòng)的信息［16］。

對按震級分組后的序列進(jìn)行差分，得到發(fā)震時(shí)刻間隔序列，得到不同參數(shù)的SARIMA模型：模型擬合值序列 Y′t及預(yù)測值序列Yt，并以此估計(jì)下一次發(fā)震時(shí)刻。預(yù)測時(shí)選取了建模效果最好的長中短周期，表示為sa、sb、sc，以保證模型對短期與長期時(shí)序信息的有效提取，提高各期預(yù)測的精度。模型分析流程圖如下：

2 龍門山斷裂帶發(fā)震時(shí)間間隔研究

2.1 數(shù)據(jù)與樣本

本文采用2012年1月9日—2021年9月24日中國地震臺網(wǎng)（http：//www.ceic.ac.cn）地震目錄數(shù)據(jù)。地震事件序列有發(fā)震時(shí)間、經(jīng)緯度、震級等因素，具有波動(dòng)性、非線性的特點(diǎn)，因此通過數(shù)據(jù)預(yù)處理將其確定為特定空間和一定震級下的數(shù)據(jù)，即龍門山斷裂帶經(jīng)緯度范圍內(nèi)（29.5°～33.5°N，102°～107°E） MS2.4及以上的時(shí)間序列。對數(shù)據(jù)進(jìn)一步篩選，考慮其發(fā)震斷裂位置得實(shí)驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)437條，發(fā)震時(shí)刻2012 年1月9日—2021年8月，MS∈（2.5，7）。

對選出樣本的發(fā)震時(shí)刻差分處理得發(fā)震時(shí)刻間隔序列，該樣本具有如下特征：（1）樣本量相對較小。由于設(shè)備和技術(shù)等原因，早期監(jiān)測數(shù)據(jù)不夠完備，由此計(jì)算時(shí)間間隔數(shù)值準(zhǔn)確性將顯著降低，因此選取近10年地震序列，有效避免該問題，但同時(shí)也減少了數(shù)據(jù)量;（2）時(shí)間跨度大。數(shù)據(jù)時(shí)間從2012年1月—2021年8月，包含龍門山斷裂帶近10年間地震事件;（3）非平穩(wěn)、強(qiáng)波動(dòng)性。數(shù)據(jù)的影響因素較多且可能有復(fù)雜交互影響，且地震序列本身就有復(fù)雜的周期性特點(diǎn)。

另外，序列中記錄的第58次發(fā)震為2013年雅安蘆山MS7.0大地震，隨后伴有非常緊密的、大小不一的數(shù)次余震，由此造成監(jiān)測數(shù)據(jù)中第58次至203次發(fā)震前后時(shí)間間隔短，一段時(shí)間內(nèi)序列趨近零值。以Xt表示原序列，序列如圖2所示。

2.2 模型確定

分析數(shù)據(jù)所含特征，對序列分解，提取其趨勢性、季節(jié)性及殘差序列如圖3所示，表明該序列有一定趨勢性和季節(jié)性，初步推測最小周期為5天。

SARIMA模型需要序列滿足平穩(wěn)或差分后平穩(wěn)的前提條件。對Xt進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，確定差分次數(shù)d=2，差分后序列記為Xd。觀察Xd序列圖（圖4），該序列似乎不具有明顯趨勢性。進(jìn)一步采用ADF檢驗(yàn)進(jìn)行判斷，檢驗(yàn)原理即通過考察序列中是否含有單位根來判斷該序列是否平穩(wěn)：若序列平穩(wěn)，則不存在單位根。結(jié)果得Xd的ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為-15.463 4，p值小于0.05，表明該序列已平穩(wěn)。

按9∶1劃分Xd數(shù)據(jù)為模型訓(xùn)練集、測試集，依據(jù)數(shù)據(jù)的ACF和PACF為模型定階。ACF用于衡量該序列的當(dāng)前觀測值與其滯后項(xiàng)間相關(guān)程度;PACF用于衡量除去之前滯后已解釋的影響后，當(dāng)前觀測值與其滯后項(xiàng)間相關(guān)程度?？疾靸烧叩慕匚病⑼衔残再|(zhì)，可對 SARIMA模型季節(jié)性及非季節(jié)性的自相關(guān)、偏自相關(guān)階數(shù)給出參考。由圖5中ACF及PACF圖初步確定模型非季節(jié)性階數(shù)。PACF圖可看做拖尾或9、10階截尾。

結(jié)合模型調(diào)整的R2選擇模型最優(yōu)階數(shù)，不同階ARIMA模型擬合效果如表1所列，確定模型p=9，q=1。

再考察對Xd進(jìn)行1階s步差分后，滯后對應(yīng)周期整數(shù)倍階的ACF及PACF。以s=22為例，如圖6，滯后22階的ACF及PACF系數(shù)均在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍外，且隨后逐漸收斂。初步假設(shè)P=1，Q=1，其他周期情況大致相同。進(jìn)一步對該假設(shè)模型進(jìn)行參數(shù)檢驗(yàn)和LB檢驗(yàn)。參數(shù)檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠癯闪?，即模型所有參?shù)是否均顯著不為0;LB檢驗(yàn)則用于檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿M合后的殘差序列是否為白噪聲序列，若為白噪聲（p≥0.05），則表示殘差序列中無更多可提取信息，即模型已充分提取原數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息。

檢驗(yàn)結(jié)果如表2所列，模型中含不顯著參數(shù)（1階季節(jié)自回歸系數(shù)）。經(jīng)比較，確定模型最佳季節(jié)性階數(shù)P=0，Q=1。

2.3 模型評價(jià)

研究所用地震序列有大小周期復(fù)雜交疊的情況，在分析數(shù)據(jù)周期性時(shí)，針對短、中、長期的預(yù)測各選取不同季節(jié)期數(shù)。對序列Xd做不同跨度的中心移動(dòng)平均，所得序列記為Xn，n∈（4，45）為跨度。比較各Xn與Xd的差異，觀察各周期對季節(jié)性消除程度，擬合s∈（4，45）的模型。為了更好地比較不同模型間預(yù)測效果，本文采用常見評價(jià)指標(biāo)中的均方根誤差（RMSE）來代表模型的擬合誤差：

（3）

式中：xt為真實(shí)值;yt為擬合值。對于通過參數(shù)檢驗(yàn)和LB檢驗(yàn)的模型，可分析其調(diào)整R2及擬合RMSE來判定其擬合效果。AIC準(zhǔn)則（最小信息化準(zhǔn)則）也常用于衡量統(tǒng)計(jì)模型復(fù)雜度及擬合優(yōu)良性，在鼓勵(lì)數(shù)據(jù)擬合的優(yōu)良性的同時(shí)盡量避免過度擬合，其AIC值越小表明模型在該準(zhǔn)則下性能越優(yōu)。本文模型選取的原則為：優(yōu)先采用調(diào)整R2數(shù)值高的模型，在該值差距不顯著的情況下，考察各模型擬合RMSE，同時(shí)以模型AIC值作為輔助參考，確定最優(yōu)模型。表3提供了部分已通過參數(shù)檢驗(yàn)及LB檢驗(yàn)的不同周期模型擬合情況。

由此可以確定地震數(shù)據(jù)短、中、長期預(yù)測模型分別為ARIMA（9，2，1）×（0，1，1）6，ARIMA（9，2，1） ×（0，1，1）22，ARIMA（9，2，1）×（0，1，1）42，模型擬合效果如圖7所示。

3 震級分組

對原序列按震級分組，得序列MS≥3.0共390條數(shù)據(jù)，序列MS≥4.0共58條數(shù)據(jù)。對其差分后得時(shí)刻間隔序列，兩序列分別以Xd3、Xd4表示。按上述步驟對各序列進(jìn)行分析建模，考慮對Xd3擬合模型ARIMA（7，2，1）×（0，1，1）s，對Xd4擬合模型ARIMA（3，2，1）×（0，1，0）s。各組部分不同周期的模型對比如表4及表5所列。

按上述原則，綜合各模型指標(biāo)，確定以s=7，s=16，s=32對Xd3進(jìn)行短、中及長期預(yù)測，預(yù)測模型為ARIMA（7，2，1）×（0，1，1）7，ARIMA（7，2，1）×（0，1，1）16，ARIMA（7，2，1）×（0，1，1）32。對于Xd4，由于MS4.0及以上地震序列數(shù)據(jù)量較少，難以捕捉長周期變化趨勢，相應(yīng)的長周期模型均參數(shù)不顯著或擬合效果不佳;同時(shí)，短周期模型擬合效果亦較差，序列Xd4僅表現(xiàn)出較明顯的中周期性質(zhì)。因此以s=11對Xd4進(jìn)行中期預(yù)測，預(yù)測模型為ARIMA（3，2，0）×（0，1，0）11。各序列不同周期擬合效果如圖8、圖9所示。

利用最優(yōu)模型預(yù)測各序列測試集數(shù)據(jù)，將預(yù)測結(jié)果與真實(shí)值對比，如圖10、11所示。對于Xd及Xd3，其測試集中數(shù)據(jù)較多，屬于長時(shí)預(yù)測，對應(yīng)模型能捕捉其周期性變化，但預(yù)測值整體較真實(shí)值偏高;對Xd4進(jìn)行短時(shí)預(yù)測，ARIMA（3，2，0）×（0，1，0）11能很好地預(yù)測近幾期該序列發(fā)展趨勢，且未表現(xiàn)出預(yù)測結(jié)果偏高的現(xiàn)象。各模型預(yù)測RMSE如表6所列。

進(jìn)一步計(jì)算序列Xd及Xd3真實(shí)值及預(yù)測值的平均水平，兩序列對應(yīng)各周期模型的平均誤差最低

為17.578天，最高為32.967天，參考目前發(fā)震時(shí)刻預(yù)測的普遍準(zhǔn)確度，認(rèn)為預(yù)測值平均水平的偏高程度在能接受的范圍內(nèi)。修正序列的預(yù)測值，對序列Xd及Xd3模型預(yù)測進(jìn)行修正，以序列Xd周期為22及Xd3周期為32對應(yīng)模型為例，預(yù)測值減去對應(yīng)平均誤差后效果如圖12，表明模型趨勢及周期性預(yù)測性能較好。

由于序列Xd和Xd3的預(yù)測步長大于40，可能會降低預(yù)測精度，因此我們考慮對序列Xd進(jìn)行15步預(yù)測，對數(shù)據(jù)量相對較小的序列Xd3進(jìn)行5步預(yù)測。選取上述兩模型為例，預(yù)測結(jié)果如圖13所示，預(yù)測RMSE分別為10.686 0、8.800 9。圖中序列Xd所預(yù)測發(fā)震間隔無明顯趨勢，而Xd3的預(yù)測序列則稍有增長趨勢。

補(bǔ)充截止2022年3月6日龍門山斷裂帶MS≥4.0的地震序列新增數(shù)據(jù)共2條于數(shù)據(jù)集中，利用ARIMA（3，2，0）×（0，1，0）11模型對最近發(fā)生MS≥4.0的地震時(shí)刻間隔進(jìn)行外推預(yù)測。對比預(yù)測值與真實(shí)值，如圖14所示。該模型對最新數(shù)據(jù)的預(yù)測RSME為55.711 2，發(fā)現(xiàn)其仍很好地捕捉到其趨勢，可在此基礎(chǔ)上對模型精度繼續(xù)改進(jìn)。

4 結(jié)論

本文提出以分析龍門山斷裂帶發(fā)震時(shí)刻間隔的角度，通過時(shí)間序列分析方法，利用SARIMA模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，分析地震時(shí)間序列隱含的信息，并由此預(yù)測下一次的發(fā)震時(shí)間。通過對模型擬合度及擬合效果的分析，為該時(shí)刻間隔序列選取適合的模型，并針對不同周期預(yù)測的需求，選擇適合的模型。根據(jù)結(jié)果，有以下幾點(diǎn)結(jié)論：

（1）SARIMA模型適用于地震時(shí)間間隔序列的分析預(yù)測，各序列最優(yōu)模型調(diào)整R2均在0.86以上，最高達(dá)0.911。

（2）長時(shí)預(yù)測時(shí)，序列Xd及Xd3對應(yīng)各周期模型均有預(yù)測值較真實(shí)值偏高的情況，對偏低數(shù)值（時(shí)間間隔趨近0）的預(yù)測性能較為欠缺。

（3）短時(shí)預(yù)測時(shí)，序列Xd及Xd3最優(yōu)模型預(yù)測效果均良好，能較好預(yù)測出序列周期性。序列MS≥3.0預(yù)測結(jié)果趨勢有微弱增長，一段時(shí)間內(nèi)龍門山斷裂帶MS≥3.0地震發(fā)震次數(shù)將略微下降，地震活動(dòng)性降低;序列Xd4中周期性質(zhì)較明顯，對應(yīng)模型在短時(shí)預(yù)測中能很好地捕捉其發(fā)展變化，預(yù)測趨勢與真實(shí)情況貼合，模型預(yù)測精度可進(jìn)一步提升。

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（本文編輯：賈源源）

收稿日期：2022-04-21

基金項(xiàng)目：四川省科技計(jì)劃項(xiàng)目《四川地區(qū)主要斷裂系統(tǒng)地震活動(dòng)性統(tǒng)計(jì)預(yù)測與技術(shù)應(yīng)用研究》

第一作者簡介：葉秋吟（1999-），女，碩士研究生，主要從事應(yīng)用統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)方法應(yīng)用、地學(xué)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)方面研究。E－mail：352299099@qq.com。