基于代理模型的廣布疲勞損傷平均行為快速確定方法

潘 微，鄭旭東，李 杰，李 彥，談嘉好，陳 昶

（航空工業(yè)成都飛機工業(yè)（集團）有限責任公司，成都 610092）

在不受外界影響的情況下，機隊中50%飛機在所研究的廣布疲勞損傷（WFD）敏感結(jié)構(gòu)發(fā)生廣布疲勞損傷的時間點定義為廣布疲勞損傷平均行為[1]。其中，廣布疲勞損傷是指在結(jié)構(gòu)相似、應(yīng)力相當?shù)亩鄠€細節(jié)部位中同時存在足夠尺度和密度的裂紋，隨著裂紋的增長，裂紋間的相互影響加劇，從而加快降低結(jié)構(gòu)的剩余強度，使結(jié)構(gòu)不再滿足剩余強度要求[2]?；跀嗔蚜W的確定性分析在評估工程設(shè)計和安全性、預(yù)測結(jié)構(gòu)壽命、對不同類型缺陷的壽命評估等方面一直起著重要的作用，但是由于結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)孔洞、位錯、夾雜等隨機缺陷導(dǎo)致了裂紋萌生及擴展的不確定因素，使疲勞分散性成為材料的固有屬性，因此基于疲勞統(tǒng)計學等理論建立裂紋隨機萌生和擴展的威布爾分布模型，進而對預(yù)測多裂紋結(jié)構(gòu)壽命有著重要的意義。另一方面，確定廣布疲勞損傷平均行為求解復(fù)雜，需要消耗大量時間，因此基于代理模型的快速求解方法對廣布疲勞損傷平均行為工程評估有重要意義。

在確定廣布疲勞損傷的概率統(tǒng)計特性研究中，閆曉中等[3]、雷曉欣等[4]針對多部位損傷（MSD）結(jié)構(gòu)，通過蒙特卡洛法模擬，提出多裂紋疲勞損傷隨機模型，實現(xiàn)了多裂紋隨機萌生和擴展及廣布疲勞損傷發(fā)生的過程。Ai 等[5]提出基于缺陷的大小和位置來說明制造缺陷對疲勞壽命的影響的概率模型，通過對具有威布爾分布的表面初始裂紋的損傷機理進行建模，得出考慮缺陷表面位置影響的校正因子。

本文在已有的研究基礎(chǔ)上，建立裂紋萌生和擴展模型，利用ABAQUS 二次開發(fā)得到的應(yīng)力強度因子數(shù)值，根據(jù)蒙特卡羅法預(yù)測廣布疲勞損傷平均行為，在保證精度的情況下預(yù)測結(jié)構(gòu)發(fā)生概率疲勞時的全壽命。最后，通過機器學習建立廣布疲勞損傷仿真程序訓(xùn)練集，使用多項式響應(yīng)面和高斯過程回歸的代理模型進行訓(xùn)練，可以快速確定結(jié)構(gòu)發(fā)生廣布疲勞損傷時的平均行為。

1 概率疲勞分析方法

1.1 裂紋隨機萌生模型

由于材料本身的不均勻性、不同加工方式、試件大小、試驗誤差及試驗環(huán)境等因素，會引起結(jié)構(gòu)疲勞壽命的分散，從而在多孔結(jié)構(gòu)中孔邊裂紋萌生位置及次序具有隨機性，在含有多個相似細節(jié)結(jié)構(gòu)中，第i個細節(jié)的裂紋萌生壽命Ni（0），i=1，2，…，M由下式給出

式中：Ci、m為材料常數(shù)。第i個危險細節(jié)的隨機參數(shù)服從對數(shù)正態(tài)分布[6]，即

式中：C0i為服從標準正態(tài)分布的隨機參數(shù)，下角標0為Ci的初始值和SlgCi分別為Ci的對數(shù)均值和對數(shù)標準差。

1.2 裂紋隨機擴展模型

Paris 裂紋擴展公式計算過程簡便，便于運用于工程上的具體運算，Paris 裂紋擴展公式為

式中：G、n為裂紋體的材料特性常數(shù)；△K為應(yīng)力強度因子幅值，即△K=Kmax-Kmin。

裂紋擴展的分散性表現(xiàn)為將材料特性參數(shù)G用隨機變量Gi表示，即

三參數(shù)正態(tài)分布可以更好地表示隨機參數(shù)的可變性，引入變量ui，其表達式為

ui的概率密度函數(shù)滿足三參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布[7]，如下式

式中：τ 為位置參數(shù)；α 為分散參數(shù)；β 為形狀參數(shù)，通過試驗數(shù)據(jù)可以得到。根據(jù)三參數(shù)正態(tài)分布的性質(zhì)，Gi可以通過下式得到，即

式中：G0i為服從標準正態(tài)分布的隨機數(shù)，由隨機發(fā)生器產(chǎn)生。

2 廣布疲勞損傷平均行為分析實例

結(jié)構(gòu)的全壽命Nf為裂紋萌生壽命N和裂紋擴展壽命Nc之和，即

由第1 節(jié)提出的裂紋概率萌生模型，應(yīng)用蒙特卡羅法，得到結(jié)構(gòu)的裂紋萌生壽命；通過ABAQUS 建立七孔板裂紋尖端應(yīng)力強度因子計算模型，七孔板的有限元模型如圖1 所示。

圖1 七孔平板FEM 模型

通過ABAQUS 二次開發(fā)獲得裂紋擴展每個增量步的裂紋尖端應(yīng)力強度因子，建立裂紋擴展的概率模型，最后得到整個結(jié)構(gòu)的全壽命。具體步驟如下。

第一步，由蒙特卡羅法得到M個孔邊危險細節(jié)的萌生壽命Ni（i=1，2，…，M-1，M）。

第二步，按照裂紋萌生順序依次給每個危險細節(jié)以最小可檢裂紋尺寸為1.27 mm 的初始裂紋。

第三步，由組合法求解應(yīng)力強度因子，計算復(fù)雜邊界條件下每個孔邊裂紋的應(yīng)力強度因子。

第四步，根據(jù)裂紋擴展隨機模型計算出裂紋擴展增量，由塑性連通準則和Kc斷裂準則共同判斷結(jié)構(gòu)是否失效，若沒有失效，則繼續(xù)重復(fù)以上計算；若失效，本次模擬失效。

為驗證方法的準確性，本文以七孔板為例進行壽命預(yù)測，根據(jù)文獻[8]試驗數(shù)據(jù)，概率模擬過程中的疲勞載荷最大值分別為Pmax=82 kN，Pmax=90 kN，Pmax=98 kN，應(yīng)力比均為0.1，材料為LY12-CZ 鋁合金，材料參數(shù)見表1，裂紋隨機萌生、擴展參數(shù)見表2 和表3。

表1 LY12-CZ 鋁合金材料參數(shù)

表2 LY12-CZ 鋁合金裂紋隨機萌生參數(shù)

表3 LY12-CZ 鋁合金裂紋隨機擴展參數(shù)

在3 種應(yīng)力水平下，分別進行100 次蒙特卡羅模擬抽樣，模擬結(jié)果分別如圖2—圖4 所示。

圖2 Pmax=82 kN 壽命累計分布曲線

圖3 Pmax=90 kN 壽命累計分布曲線

圖4 Pmax=98 kN 壽命累計分布曲線

從圖2—圖4 中可以看出，在不同載荷作用下七孔板結(jié)構(gòu)的WFD 失效時刻累計分布曲線，并且可以得到50%概率下的廣布疲勞損傷敏感結(jié)構(gòu)疲勞循環(huán)數(shù)，即廣布疲勞損傷平均行為分別為Nave，82=230 450 次、Nave，90=164 665 次、Nave，98=121 700 次。平均行為計算結(jié)果與試驗結(jié)果對比見表4，其中為對數(shù)壽命的平均值為試驗對數(shù)壽命的平均值；SlgNc為對數(shù)壽命的標準差，SlgNt為試驗對數(shù)壽命的標準差。

表4 七孔板計算結(jié)果與試驗結(jié)果對比

從表4 中可以看出，MSD 結(jié)構(gòu)廣布疲勞平均行為模擬結(jié)果與試驗誤差僅在6%之內(nèi)。

3 基于代理模型的快速分析方法

為了繼續(xù)節(jié)約計算成本，可以采用機械設(shè)計與機器學習領(lǐng)域中的代理模型方法。

代理模型的基本思想為將復(fù)雜的仿真程序看作“黑箱”，使用合適的試驗設(shè)計方法得到抽樣矩陣，抽樣矩陣的每一組設(shè)計變量的值為一個輸入向量。將抽樣矩陣輸入到仿真程序中獲取與之對應(yīng)的一次隨機失效壽命值，建立抽樣點-程序響應(yīng)值間的對應(yīng)關(guān)系作為代理模型的訓(xùn)練集，對選定的代理模型進行訓(xùn)練以得到擬合或插值關(guān)系。建立代理模型的步驟如下。

第一步，確定設(shè)計變量及變量空間。

第二步，選取合適的試驗設(shè)計技術(shù)（DOE），獲得設(shè)計變量的抽樣矩陣。

第三步，執(zhí)行仿真程序，獲得輸入樣本點對應(yīng)的輸出響應(yīng)。

第四步，選取合適的代理模型，建立代理關(guān)系，通過訓(xùn)練集對代理模型進行訓(xùn)練。

第五步，精度校核。

為避免過多地輸入維度，需對輸入?yún)?shù)進行篩選。首先確定代理模型中的設(shè)計變量，選取應(yīng)力水平S、裂紋隨機萌生參數(shù)m、裂紋隨機擴展參數(shù)n三個參數(shù)為設(shè)計變量。其次需要確定3 個參數(shù)的變量空間，參數(shù)m、n服從正態(tài)分布，理論上的變量空間應(yīng)該是（-∞，+∞），一般情況下選取變量空間為[μ-5σ，μ＋5σ]，其中μ 為均值，σ 為標準差。應(yīng)力水平根據(jù)工程實際選擇變量空間。見表5。

表5 設(shè)計變量的變量空間

本文選取拉丁超立方法獲得設(shè)計變量的抽樣矩陣，建立了50 個樣本點，在仿真程序中使用蒙特卡羅法抽樣50 次獲得平均行為作為輸出響應(yīng)，建立多項式響應(yīng)面法代理模型，由輸入-輸出響應(yīng)作為訓(xùn)練集訓(xùn)練代理模型。

基于高斯過程回歸模型和多項式響應(yīng)面模型（RSM）分別訓(xùn)練訓(xùn)練集，通過交叉驗證方法進行機器學習驗證，驗證精度指標見表6。

表6 模型學習驗證指標

由表6 可以看出高斯過程回歸模型精度更高，擬合效果也很好，高斯過程回歸模型響應(yīng)結(jié)果如圖5 所示。建立測試集，由測試數(shù)據(jù)對高斯過程回歸模型進行測試驗證，驗證結(jié)果顯示誤差不超過10%，且節(jié)約了大量的時間計算成本。

圖5 高斯過程回歸模型響應(yīng)圖

4 結(jié)束語

本文建立了裂紋隨機萌生和擴展模型，利用ABAQUS 二次開發(fā)得到的應(yīng)力強度因子數(shù)值，根據(jù)蒙特卡羅法預(yù)測廣布疲勞損傷平均行為，廣布疲勞損傷平均行為與試驗對比誤差在6%之內(nèi)；通過建立代理模型的方式，建立訓(xùn)練集和平均行為輸出響應(yīng)對高斯過程回歸模型和多項式響應(yīng)面模型進行訓(xùn)練學習，由測試數(shù)據(jù)對模型進行驗證顯示，高斯過程回歸模型精度更高，訓(xùn)練后的預(yù)測效果誤差不超過10%，并且可以節(jié)約90%的計算時間成本，所構(gòu)建的高斯過程回歸模型可以精確地確定廣布疲勞損傷平均行為。