【摘要】本文以高中數(shù)學習題課“立體幾何中的體積問題”為例，論述在幾何教學中培養(yǎng)學生學科核心素養(yǎng)的途徑：引導學生運用“轉面”和“轉點”兩種技巧，將復雜的問題簡單化，將抽象的圖形直觀化，在探究中找到通法，在變式中感悟問題的本質，發(fā)展數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算等數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

【關鍵詞】高中數(shù)學 體積問題 解題研究

變式教學 核心素養(yǎng) 立體幾何教學

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）29-0068-04

自2018年教育部提出學科核心素養(yǎng)以來，一線教學中如何有效發(fā)展學生的核心素養(yǎng)成了各學校、教研組和一線教師思考的問題。全國各地的數(shù)學教研員和數(shù)學教師通過開展視導課、研討課、優(yōu)質課賽課等形式多樣的教研活動研究課堂教學和解讀數(shù)學學科核心素養(yǎng)。運用等體積法求解體積問題是高中數(shù)學教學的重點和難點內容，此內容與空間中點、線、面的位置，以及公理定理等知識關聯(lián)緊密，對發(fā)展學生的空間想象能力，提升學生的核心素養(yǎng)具有促進作用。本文分享筆者參加“深耕課堂、品質教研”核心素養(yǎng)下青年教師大賽，榮獲南寧市開發(fā)區(qū)一等獎的研討課教學設計——“立體幾何中的體積問題”。該課例引導學生通過求解三棱錐的體積以及其他一般幾何體的體積，體會其中重要的數(shù)學思想——轉化思想，發(fā)展數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算等數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

一、教學設計依據(jù)

（一）基于對課程標準的研讀

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標準》）指出，數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析。“立體幾何中的體積問題”一課，主要聚焦數(shù)學抽象和直觀想象等數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展。

數(shù)學抽象是指通過對抽象數(shù)量關系與空間形式，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng)。從圖形與圖形關系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的聯(lián)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構。因此本課擬呈現(xiàn)第一題組，重點闡述“轉面”的方法?！稗D面”指的是找到有線面垂直關系的面作為幾何體底面。在本教學環(huán)節(jié)，教師首先呈現(xiàn)高考真題，再改編條件引導學生思考，通過解答題組與歸納，總結出能夠作為“垂面”的幾何面的一般特征，增強學生對“轉面”結構的認識。

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用空間形式，特別是圖形，理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng)。借助空間形式認識事物的位置關系、形態(tài)變化和運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構建數(shù)學問題的直觀模型，探討解決問題的思路。因此，本課擬呈現(xiàn)第二題組，重點闡述“轉點”的方法?！稗D點”指的是通過平行關系等距轉換頂點，或通過相似，利用相似比轉換頂點。立體幾何涉及三大距離：點面距離、線面距離以及面面距離，通過設置動點問題，引導學生思考，在學習面面距離時設計動畫讓學生能夠直觀觀察，總結出“平行轉化”和“比例轉化”兩種解決具體問題的基本模型，將未知問題轉化為已知問題，進而解決。

（二）基于引導學生思維自然發(fā)展的思考

數(shù)學教學中蘊含著思維的體操、知識的傳導、方法的掌握和思想的領悟等，這些都有助于學生思維的發(fā)展。筆者一直秉持以生為本的理念，致力于站在學生的角度設計符合學生思維發(fā)展的教學流程，自然而有層次地促進學生數(shù)學思維的發(fā)展。

筆者在《數(shù)列課堂教學中教師思維引導的理論與實踐研究》一文中曾嘗試根據(jù)教師在課堂教學引導學生思維發(fā)展的情況，結合《課程標準》中目標動詞層次劃分，進一步對“自然度”進行以下六個層次的描述。

自然度0：學生不知道基本的知識，如概念、原理等，無法參與教學活動，不能理解教師所講解的知識及過程、結論。

自然度1：學生能了解教師的教學過程，通過模仿經歷教學過程，對教師的觀點和教學過程持認同的態(tài)度。

自然度2：學生理解教師所教知識內容，并嘗試獨立完成，能在教師的指導下領悟教學內容。

自然度3：學生能解釋知識內容，能對內容進行整理，形成自己的認知形式。

自然度4：學生能提取出其中的核心知識，對教學過程進行清晰的分析，并能樹立正確的價值觀。

自然度5：學生可以用聯(lián)系的方法來理解所學內容，并能遷移運用，能對教學過程做出正確的評價，發(fā)展對數(shù)學的認識。

因此，本節(jié)課擬從復習基礎知識入手，做好教學活動鋪墊，在變式教學中搭建合適的教學階梯——等體積轉換求同一三棱錐體積，為使教學由自然度0不斷提升至自然度5鋪墊。第一題組為直接求體積、“轉面”，在此基礎上設計“比例轉換”，將所求圖形的高轉換為已知高，促使學生在解決問題時更易突破難點。第二題組無法直接“轉點”，教師需提出問題并搭建教學支架：線面平行則直線上任意一點到平面的距離相等，從而實現(xiàn)“轉點”，接著再“轉面”，最后將問題從三棱錐這一特殊空間幾何體遷移至四棱錐等更一般的幾何體中，促使學生對體積問題有更深層次的認識。在整個教學過程中，注重變式和問題串的設計，在問題解決的過程中，使學生的思維得到有效發(fā)展，讓學生有機會質疑、思考，發(fā)展創(chuàng)造性思維，有機會思考和提出自己的見解。在最佳時機，教師提供恰當?shù)乃季S引導，如強化運算、模仿等，促進學生深入地思考問題內在的邏輯。在思維引導過程中，教師要遵循思維循序漸進發(fā)展的規(guī)律，讓學生體會到某個階段自然地想到解決問題的方法，使學生的思維自然地獲得發(fā)展。

在此教學設計中，筆者主要以一道高考真題為原型進行改編，讓學生在變式中體會“轉面”“轉點”的依據(jù)和原理，找出其中的一般規(guī)律，提高學生提出問題、分析問題和解決問題的能力。

二、教學設計要點

（一）教材分析及學情分析

本節(jié)課內容為高中數(shù)學的高頻考點。解答體積問題對學生空間立體感要求較高，要求學生能夠理解并靈活運用公理和定理。學生在本節(jié)課之前已經復習了通過直接法求幾何體體積，本節(jié)課著重分析從“轉面”和“轉點”兩個角度求錐體體積的“等體積法”。

（二）教學目標與教學重難點

本節(jié)課設計了三個教學目標：一是掌握運用等體積法中“轉面”的方法求三棱錐體積；二是掌握運用“轉點”中的平行轉移和比例轉換求幾何體體積；三是體會在求解體積過程中的轉化思想。

本課重點共兩個：一是掌握利用“轉面”“轉點”的方法求幾何體體積；二是體會求解過程中的轉化思想。本課難點也是兩個：一是利用等體積法求幾何體體積時如何“轉面”；二是“轉點”過程中，理解平行轉換中的高的不變性、比例轉換中高成相似比。

（三）設計思路

在教學設計中，將高考真題改編為例1，隨后變式為例2。例1介紹通過“轉面”實現(xiàn)等積轉換，例2主要通過“轉點”實現(xiàn)等積轉換或者體積比例轉換。

三、教學過程

（一）“轉面”

例1：如圖1，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，△PAD為邊長為2的正三角形，AB=[3]，且平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐A-PBC的體積。

變式：如圖2，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，△PAD為邊長為2的正三角形，AB=[3]，且平面PAD⊥平面ABCD，M為AP中點，求三棱錐A-MBC的體積。

【設計意圖】當幾何體所給面上找不到高或者不好求高時，分析題目條件，可以將有線面垂直關系的面作為底面。本題組重點介紹等體積法中利用“轉面”求幾何體體積的方法，在變式中用中點引出比例轉換（如上頁圖3所示），為后面比例轉換做鋪墊。

鞏固練習：1.如圖4，在三棱錐中，△ABC為等邊三角形，AB=2，PA=1，∠PAC=∠PAB=60°，求三棱錐P-ABC的體積。

2.（2019年全國I卷，理科，第18題）如圖5，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E、M、N分別是BC、BB1、A1D的中點。（1）證明MN∥平面C1DE。（2）求二面角A-MA1-N的正弦值。

【設計意圖】給出兩個不同類型的幾何體，師生合作分析如何“轉面”，找出有垂線的面，突破第一個難點。在“轉面”的過程中總結得出：將幾何體中的懸空面轉換到原幾何體的表面，則可以運用原直棱柱線面垂直的條件求解，這是“轉面”常用的方法，同時為第二題組中先“轉面”，進而再“轉點”的綜合應用做鋪墊。

（二）“轉點”

例2：如圖6，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，且AP=1，AB=2，AD=[3]，M、N分別為PD、PB的中點。（1）證明PB//平面AMC；（2）求四面體AMNC的體積。

分析1：四面體的四個面為懸空面，找垂面為第一個難點。

分析2：解答第一問時，連接BD與AC交于點Q，易證PB//MQ，于是PB//平面AMC，因此PB上的點到平面AMC的距離相等，從而可以將N點轉為B點或P點，實現(xiàn)將懸空面轉換為幾何體表面。這里運用了平行等距轉換。

【設計意圖】在例1的基礎上變式，幾何體中每個面都沒有垂直關系，介紹通過平行轉移的方法“轉點”，實現(xiàn)轉換。在此過程中也介紹“轉點”過程中常用的第二種方法——比例轉換求體積。

鞏固練習：1.如圖7，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在線段AD1上運動，求四面體BDPC1的體積。

2.如圖8，在三棱柱ABC-A′B′C′中，點D是AC′的中點，點E是B′C′的中點。（1）求證：DE∥平面ABB′A′；（2）若△ABC的面積為[3]，三棱柱ABC-A′B′C的高為3，求三棱錐D-BCE的體積。

【設計意圖】鞏固練習1考查平行轉換“轉點”，鞏固練習2考查比例轉換“轉點”。師生合作分析如何“轉點”，突破第二個難點。還可以運用割補法作差求解鞏固練習2，幫助學生完善解答幾何體體積的知識網(wǎng)絡。

（三）布置課后作業(yè)，拓展提升

1.如圖9，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在線段B1C上運動，則下列命題中正確的是（? ）。

①直線AP//平面A1C1D；②三棱錐P-A1C1D的體積為定值；③若M為AP上的動點，則三棱錐M-A1C1D不是定值。

2.如圖10，四邊形ABCD中，AB//CD，BC=CD=DA=[12]，AB=2，E為AB的中點，以DE為折痕將△ADE折起，使點A到達點P的位置，且平面PDE⊥平面BCDE，F(xiàn)為PB的中點。（1）求證：PD//平面CEF；（2）求三棱錐P-DEF的體積。

【設計意圖】課后作業(yè)共兩道題，學生需綜合運用“轉面”“轉點”的方法求體積，考查學生對本節(jié)課重難點的掌握程度，同時讓學生接觸高考題型中的不定項選擇題。

（四）課堂小結

教師運用思維導圖，帶領學生梳理、總結與立體幾何中的體積問題有關的基礎知識、基本題型和基本數(shù)學思想方法（如下頁圖11所示）。

四、教學反思

本節(jié)課主要呈現(xiàn)兩個題組：題組一考查“轉面”等體積轉換，主要為在幾何體所給底面找不到高或高不好求的情況下，將有線面垂直關系的面轉化為底面，求出高，進而等積求解；題組二考查“轉點”，主要分析當幾何體中沒有直接可以找到高的面時，引導學生通過“轉點”，進而實現(xiàn)“轉面”、求體積，主要介紹常用的平行轉換和比例轉換。

鞏固練習題組注重難度遞進，選題注重幾何體的多樣性，符合《課程標準》提出的發(fā)展學生基本素養(yǎng)、發(fā)展學生空間想象能力的要求。題目涉及解三角形，這是求高、求面積的常用方法。采用這種方法既可以引導學生關聯(lián)函數(shù)知識，又可以強化學生解答立體幾何問題的能力。

課后作業(yè)中的兩道拓展練習題，給學生課后思考指明方向，學生可以綜合運用本節(jié)課所學的多種方法進行解答。這些方法可以提升學生分析圖形和數(shù)學計算的能力，使其領會轉化思想。

作者簡介：李婷（1989— ），湖南長沙人，碩士，一級教師，主要研究方向為基礎數(shù)學研究和德育研究。

（責編 劉小瑗）