張 健，譚慶寧，文琳厶，廖 輝，黃麟惠，盧靖宇

重慶市朝陽中學(xué)，重慶 400700

在高中物理學(xué)習(xí)中，有這樣一類問題：應(yīng)用物理原理盡管能推出結(jié)論性的表達(dá)式，但限于高中生的數(shù)學(xué)綜合能力，理清這個(gè)表達(dá)式所承載的規(guī)律卻并不是一件輕松的事。此時(shí)，如果能將表達(dá)式（數(shù)）和其圖像（形）相結(jié)合，自然能降低難度，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心和效果。因此，借助一種工具將數(shù)轉(zhuǎn)化為形就彌足珍貴，其中Desmos 就是這樣一款軟件。如果在教學(xué)過程中巧妙引入并設(shè)計(jì)，不僅能彰顯規(guī)律（單調(diào)性、極值等），發(fā)現(xiàn)新知，還能動態(tài)呈現(xiàn)，生動形象。于是，對高中物理中滑動變阻器的分壓連接規(guī)律［1］和特點(diǎn)展開研究。

1 實(shí)驗(yàn)探究分壓電路［2］

1.1 器材及規(guī)格

學(xué)生電源，滑動變阻器R（20 Ω 2 A），滑動變阻器R2（50 Ω 2 A），定值電阻R1＝10 Ω，單刀單擲開關(guān)，雙量程電壓表（15 V 3 V），雙量程電流表（3 A 0.6 A），多量程數(shù)字電流表（2 A 200 mA 20 mA），電腦，導(dǎo)線若干。

1.2 基本電路及主要電學(xué)量

（1）在本研究中，R>0，R1>0，R2≥0，r0≥0，E>0，令r=r0+R2≥0。在實(shí)驗(yàn)中，R2也選用滑動變阻器，是為了研究干路電阻的變化對分壓電路的影響。電路圖如圖1所示。

圖1 分壓連接電路圖

（2）設(shè)滑動變阻器R 滑片左側(cè)電阻為Rx（0≤Rx≤R），則滑片右側(cè)電阻為（R-Rx）；R1與Rx并聯(lián)兩端的電壓為U，通過R1的電流為I1，通過滑動變阻器支路部分電流為I2。

（3）連接電路。

為了測量I2，從電阻絲左端接線柱引出導(dǎo)線，串聯(lián)一個(gè)電流表，電路連接示意圖如圖2所示。

圖2 電流表連接示意圖

實(shí)驗(yàn)過程中，發(fā)現(xiàn)I2很小，改用20 mA 量程的數(shù)字電流表，并連接電腦，顯示I2的變化圖像。最終實(shí)驗(yàn)電路圖如圖3所示。

圖3 數(shù)字電流表連接電腦電路圖

1.3 實(shí)驗(yàn)過程

（1）接通電源、閉合開關(guān)前，檢查滑動變阻器R，R2的滑片是否置于最左端。

（2）閉合開關(guān)，調(diào)節(jié)R2到某一個(gè)值（較大值）并保持不變，從左向右移動R 的滑片過程中（Rx由零增大到R），觀察電表的示數(shù)變化。隨后，立刻斷開開關(guān)，R 的滑片移回到左端。

（3）再次閉合開關(guān)，調(diào)節(jié)R2到某一個(gè)值（較小值）并保持不變，從左向右移動R 的滑片過程中，觀察電表的示數(shù)變化。隨后，立刻斷開開關(guān)，R 的滑片移回到左端。

（4）重復(fù)步驟（2）（3），多做幾組實(shí)驗(yàn)。

（5）實(shí)驗(yàn)完畢，整理器材。

1.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)論

（1）當(dāng)R 的滑片向右移動的過程中，I1，U 增大，與R2的取值無關(guān)。

（2）當(dāng)R 的滑片向右移動的過程中，R2較小時(shí)，I2先減小后增大；R2較大時(shí)，I2先減小，之后是否再增大，難以判斷。其中兩次實(shí)驗(yàn)中，I2-Rx圖像截圖如圖4、圖5所示。

圖4 r 較小時(shí)，數(shù)字電流表I2-Rx 圖像截圖

圖5 r 較大時(shí)，數(shù)字電流表I2-Rx 圖像截圖

2 單調(diào)性理論推導(dǎo)

通過上述實(shí)驗(yàn)，定性得到了U，I，I1，I2隨Rx的變化規(guī)律。需要從理論上進(jìn)行論證并定量表達(dá)。在研究中，電路中每一個(gè)物理量單調(diào)性均用微積分知識進(jìn)行了論證［3］。本文只對難以一眼看出單調(diào)性的Rf和I2展開討論。

如圖1所示，當(dāng)滑片從左端移到右端的過程中，分析下列電學(xué)量的單調(diào)性及變化范圍。

（1）R1與Rx并聯(lián)的總電阻Rb↑

（2）分壓電路部分的總電阻Rf，即（R-Rx）與Rb串聯(lián)總電阻

Rf對Rx求導(dǎo)

可得

∵0≤Rx≤R

∴R1+Rx≥R1>0

Rx=0 時(shí)，R'f=0

∴Rx=0，Rf=R 為最大值

所以，Rf在Rx∈［0，R］范圍內(nèi)單調(diào)遞減。

（3）總電流I↑

（4）Rb兩端的電壓U↑

（5）R1中的電流I1↑

（6）Rx中的電流I2

I2對Rx求導(dǎo)，整理可得

解得

極值點(diǎn)的坐標(biāo)為

當(dāng)r

當(dāng)r≥R 時(shí)，Rx0≥R，所以I2在Rx∈［0，R］范圍內(nèi)單調(diào)遞減，對應(yīng)如圖5所示。

3 Desmos 呈現(xiàn)函數(shù)規(guī)律［4］

實(shí)驗(yàn)探究讓學(xué)生對問題有了感性認(rèn)識和初步了解，繼而從理論上論證。但抽象的表達(dá)式仍然讓學(xué)生對規(guī)律的認(rèn)識和理解有不小的難度。于是，有必要用一款數(shù)學(xué)軟件對相應(yīng)表達(dá)式精準(zhǔn)繪制圖像，直觀呈現(xiàn)，也進(jìn)一步驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)和理論推導(dǎo)。并可以利用軟件特有的強(qiáng)大功能，通過參數(shù)的調(diào)整，動態(tài)呈現(xiàn)規(guī)律及其細(xì)節(jié)變化。通過反復(fù)播放和觀察，對規(guī)律的認(rèn)識和理解將更加透徹，甚至有新的發(fā)現(xiàn)。

本文選用Desmos 圖形軟件，設(shè)置與實(shí)驗(yàn)相同的參數(shù)，建立對應(yīng)函數(shù)，得到圖像如圖6、圖7所示。由圖易知：（1）在E，R，R1，r 一定時(shí)，U，I，I1隨Rx單調(diào)遞增；且r 增大時(shí)，U，I，I1變化范圍減小。（2）在E，R，R1，r 一定時(shí)，I2在Rx≥0 的實(shí)數(shù)范圍內(nèi)總呈現(xiàn)先減后增的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，其極值點(diǎn)隨著r 增大而右移；當(dāng)r>R 時(shí)，其極值點(diǎn)已超出0～R 的范圍，故實(shí)驗(yàn)中得到的結(jié)論是單調(diào)遞減。上述結(jié)論均與實(shí)驗(yàn)和理論推導(dǎo)一致。

圖6 Desmos 繪圖截圖［U－Rx 圖像（細(xì)實(shí)線）、I－Rx 圖像（細(xì)虛線）、I1－Rx 圖像（粗虛線）、I2－Rx 圖像（粗實(shí)線）］

圖7 Desmos 繪圖截圖［U－Rx 圖像（細(xì)實(shí)線）、I－Rx 圖像（細(xì)虛線）、I1－Rx 圖像（粗虛線）、I2－Rx 圖像（粗實(shí)線）］

在以上對滑動變阻器分壓連接規(guī)律探究活動中，師生共同參與，發(fā)揮個(gè)人特長，相互學(xué)習(xí)、團(tuán)結(jié)協(xié)作；理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合，數(shù)與形相得益彰。學(xué)生不僅對分壓規(guī)律有了深刻的認(rèn)識，而且培養(yǎng)了嚴(yán)謹(jǐn)求真的科學(xué)態(tài)度，實(shí)驗(yàn)探究、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題等多方面能力均得到了充分的鍛煉和提高。