曾文玲(廣東省珠海市第十三中學(xué) 519000)

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求,也是確保學(xué)生能夠有效地將課本知識(shí)遷移應(yīng)用到社會(huì)生活實(shí)踐中,解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵。應(yīng)用題是數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際情境的有機(jī)結(jié)合,該類題型要求學(xué)生必須具備良好的語(yǔ)言文字理解能力、數(shù)學(xué)關(guān)系分析和知識(shí)的整合應(yīng)用能力等。然而,在現(xiàn)實(shí)中不少學(xué)生這方面的能力比較欠缺和薄弱,導(dǎo)致其對(duì)應(yīng)用題總是束手無(wú)策。本文結(jié)合筆者經(jīng)驗(yàn),分析和探討數(shù)學(xué)建模法在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值和方法。

一、數(shù)學(xué)建模法概述

數(shù)學(xué)建模法是一種將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型,并利用數(shù)學(xué)方法求解的方法。該方法將實(shí)際問(wèn)題中的各種要素和變量通過(guò)關(guān)系模型和方程式進(jìn)行描述,以便于學(xué)習(xí)者對(duì)問(wèn)題實(shí)質(zhì)的深度分析和解決。數(shù)學(xué)建模法在科學(xué)研究、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、教育教學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用,可以幫助使用者更好地理解和解決實(shí)際問(wèn)題。但它要求建模者必須具備一定的數(shù)學(xué)知識(shí)、良好的問(wèn)題分析能力與思維創(chuàng)新能力,以及探究合作和溝通能力等。

二、數(shù)學(xué)建模應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的價(jià)值

通過(guò)數(shù)學(xué)建模的訓(xùn)練不僅能夠提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力,還能助力其數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中,數(shù)學(xué)建模具有重要價(jià)值。

1.幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解題意

數(shù)學(xué)建模對(duì)于學(xué)生準(zhǔn)確理解題意起到了重要的作用。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),學(xué)生往往需要從文字描述中提取出關(guān)鍵信息并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言。通過(guò)數(shù)學(xué)建模,學(xué)生能夠?qū)W會(huì)使用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示問(wèn)題中的各個(gè)要素,進(jìn)而厘清思路,準(zhǔn)確把握問(wèn)題的要義。

2.幫助學(xué)生建構(gòu)關(guān)系模型

數(shù)學(xué)建?？梢詭椭鷮W(xué)生建構(gòu)問(wèn)題的關(guān)系模型,即將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,并建立數(shù)學(xué)模型。通過(guò)將問(wèn)題拆解為不同的因素和變量,并明確它們之間的相互影響關(guān)系,學(xué)生可以更好地理解問(wèn)題的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)。同時(shí),學(xué)生還能培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和技巧解決實(shí)際問(wèn)題的能力,提高數(shù)學(xué)思維的靈活性和創(chuàng)造性。

3.幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)一題多解

數(shù)學(xué)建?？梢詭椭鷮W(xué)生實(shí)現(xiàn)一題多解,即通過(guò)不同的模型和方法來(lái)解決同一個(gè)問(wèn)題。實(shí)際問(wèn)題往往存在多種解法,而傳統(tǒng)的算式運(yùn)算教學(xué)往往只強(qiáng)調(diào)單一的解法。通過(guò)數(shù)學(xué)建模,學(xué)生可以發(fā)掘問(wèn)題的多個(gè)角度和解決途徑,培養(yǎng)他們的思維靈活性和創(chuàng)新能力。同時(shí),學(xué)生還能體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的美和魅力,提高對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)力。

三、數(shù)學(xué)建模法解決應(yīng)用題的步驟及具體應(yīng)用

1.數(shù)學(xué)建模法解決應(yīng)用題的一般步驟

數(shù)學(xué)建模法主要是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,并通過(guò)數(shù)學(xué)建模的方法進(jìn)行求解和驗(yàn)證,從而得出與實(shí)際情況相符合的數(shù)學(xué)結(jié)論。使用數(shù)學(xué)建模法來(lái)解決應(yīng)用題,一般包括四大步驟,分別是:問(wèn)題轉(zhuǎn)化、模型構(gòu)建、模型處理和模型檢驗(yàn)。

(1)問(wèn)題轉(zhuǎn)化

首先,根據(jù)題意,仔細(xì)閱讀問(wèn)題,理解問(wèn)題所涉及的背景和條件。然后,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,提取出問(wèn)題中的關(guān)鍵信息和要素。這可以包括設(shè)計(jì)變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)、已知數(shù)據(jù)等。

(2)模型構(gòu)建

在模型構(gòu)建階段,需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行抽象和概括,根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)對(duì)象、函數(shù)或模型。這包括確定數(shù)學(xué)關(guān)系、建立方程組或函數(shù)表達(dá)式、確定幾何關(guān)系等。同時(shí),還需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行必要的假設(shè),并考慮各個(gè)因素之間的相互作用。

(3)模型處理

在模型處理階段,我們利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法,對(duì)建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解和分析。這可以包括代數(shù)運(yùn)算、方程求解、函數(shù)圖像分析、優(yōu)化方法等。通過(guò)運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)原理和技巧,可以得出數(shù)學(xué)結(jié)論,即解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)表達(dá)式或函數(shù)。

(4)模型檢驗(yàn)

在模型檢驗(yàn)階段,需要將得到的數(shù)學(xué)結(jié)論還原到實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行驗(yàn)證。這可以通過(guò)對(duì)模型的結(jié)果進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用和比較,或者進(jìn)行實(shí)際數(shù)據(jù)的收集和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。如果得到的數(shù)學(xué)結(jié)論和實(shí)際問(wèn)題是一致的,那么模型就是有效的。

2.數(shù)學(xué)建模法解決應(yīng)用題的具體應(yīng)用

(1)在函數(shù)類應(yīng)用題中的應(yīng)用

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,其知識(shí)應(yīng)用范圍極其廣泛。初中數(shù)學(xué)關(guān)于函數(shù)類的應(yīng)用題如運(yùn)動(dòng)問(wèn)題、成本利潤(rùn)問(wèn)題、產(chǎn)量與效益問(wèn)題、比例問(wèn)題等。數(shù)學(xué)建模法的關(guān)鍵是將這些實(shí)際情況進(jìn)行形象的數(shù)學(xué)化處理,通過(guò)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表達(dá)式,并利用函數(shù)的性質(zhì)和關(guān)系進(jìn)行求解與分析。在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中,教師通過(guò)借助數(shù)學(xué)建模法能夠幫助學(xué)生準(zhǔn)確識(shí)別和理解應(yīng)用題中的變量關(guān)系,進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型,提高他們分析與解決實(shí)際問(wèn)題的能力。下面結(jié)合實(shí)例分析數(shù)學(xué)建模法的應(yīng)用:

【例題1】

某飲料廠為了開(kāi)發(fā)新的產(chǎn)品,用A、B兩種果汁原料各19kg、17.2kg,試制甲、乙兩種新型飲料共50kg,下表是試驗(yàn)的相關(guān)數(shù)據(jù):

每千克含量飲料 甲 乙A(kg)0.5 0.2 B(kg) 0.3 0.4

【問(wèn)題】

(1)如需要配置甲種飲料x(chóng)千克,請(qǐng)根據(jù)題意列出不等式組,并求出其解集。

(2)若已知甲種飲料的成本為4元/kg,乙種飲料的成本為3元/kg,設(shè)兩種飲料的成本總額為y元,請(qǐng)寫(xiě)出y與x的函數(shù)表達(dá)式,并根據(jù)(1)的運(yùn)算結(jié)果推算,配置多少千克的甲種飲料才能保證兩種飲料的成本總額最少。

【解法】

解答本題的關(guān)鍵,一是明確已知條件,二是分析數(shù)量關(guān)系,三是結(jié)合函數(shù)思想進(jìn)行求解。

首先,讓學(xué)生仔細(xì)審題,結(jié)合題干闡述和表格信息,已知A、B兩種飲料的原料總量、配置的甲乙兩種新型飲料總量,以及配置比例?？梢粤谐霾坏仁浇M:

進(jìn)而求得28≤x≤30,即甲種飲料的配置量介于28～30kg范圍內(nèi)。

其次,根據(jù)“成本總額=甲種飲料成本+乙種飲料成本”這個(gè)數(shù)量關(guān)系式,結(jié)合問(wèn)題(1)的計(jì)算結(jié)果,可以列出函數(shù)表達(dá)式:

y=4x+3(50-x)=x+150(28≤x≤30)

最后,運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)從而確定最低總成本。由一次函數(shù)性質(zhì)可知y值與x值正相關(guān),即x值增大則y值也相應(yīng)增大,因此當(dāng)x=28 時(shí),甲、乙兩種飲料的成本總額最少,即y=28+150=178(元)。

(2)在方程類應(yīng)用題中的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)中涉及的投資決策問(wèn)題、生態(tài)環(huán)境保護(hù)問(wèn)題、生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題、交通運(yùn)輸類,以及求解最大(小)值等問(wèn)題,都可以利用數(shù)學(xué)建模法來(lái)幫助學(xué)生將抽象、復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行形象化、簡(jiǎn)單化處理,將其中的數(shù)學(xué)關(guān)系轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的方程或方程組,然后通過(guò)解方程的方式來(lái)求解未知量,并利用方程的性質(zhì)和關(guān)系進(jìn)行問(wèn)題的分析和推理。

【例題2】

某縣政府為美化城市環(huán)境,改善居民的生活質(zhì)量,計(jì)劃投入4700萬(wàn)元興建一個(gè)綜合型城市公園。為保證公園早日建成,承建方經(jīng)預(yù)算后決定先期拿出項(xiàng)目投資總額的0.4%用于購(gòu)買(mǎi)某種綠化樹(shù)進(jìn)行環(huán)境綠化。在首次從某林場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)了價(jià)值8萬(wàn)元的綠化樹(shù)后,通過(guò)與林場(chǎng)協(xié)商獲得優(yōu)惠條件,即一次性購(gòu)買(mǎi)綠化樹(shù)超過(guò)10萬(wàn)元時(shí),可以獲得每棵樹(shù)20元的價(jià)格優(yōu)惠。于是在第二次購(gòu)買(mǎi)時(shí),承建方將剩余的預(yù)算資金一次性投入,比第一次多購(gòu)回200棵綠化樹(shù)。

【問(wèn)題】承建方通過(guò)兩次購(gòu)買(mǎi),共購(gòu)回多少棵綠化樹(shù)?

分析:對(duì)于方程類應(yīng)用題的解答,應(yīng)該結(jié)合題意合理設(shè)置未知數(shù),然后列出等量關(guān)系,最后進(jìn)行求解并檢驗(yàn)所得數(shù)據(jù)是否符合實(shí)際情況。以本題為例,解法如下:

【解法】

若設(shè)承建方第一次購(gòu)買(mǎi)了x棵綠化樹(shù),那么其第二次的購(gòu)買(mǎi)數(shù)為(x+200)棵,結(jié)合題意可以列出其方程式:

通過(guò)計(jì)算得到:x1=400,x2=-2000。通過(guò)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)x2的數(shù)值明顯不符合實(shí)際。因此,承建方第一次購(gòu)買(mǎi)的綠化樹(shù)為400棵,進(jìn)而求得第二次購(gòu)買(mǎi)了600棵,兩次共計(jì)購(gòu)得1000棵綠化樹(shù)。

(3)在幾何類應(yīng)用題中的應(yīng)用

在實(shí)際生產(chǎn)和生活中,有很多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題需要借助空間幾何知識(shí)進(jìn)行計(jì)算解答。部分初中生的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平有限,不能在頭腦中形成具體情境,難以有效理解題意。通過(guò)利用數(shù)學(xué)建模思想,基于對(duì)應(yīng)用題中的幾何變量關(guān)系進(jìn)行分析,可以幫助學(xué)生建立形象的數(shù)量關(guān)系模型,從而準(zhǔn)確理解題意,順利解決相關(guān)問(wèn)題。

【例題3】

某居民小區(qū)為改善公共居住環(huán)境,決定通過(guò)自主籌資1600元,在小區(qū)原有的一處梯形空地上種植各種花木。該空地的上、下部分的長(zhǎng)度分別為10m 和20m,垂直高度12m,由于中間有圍欄分隔,使其被劃分為①、②、③、④四個(gè)不同面積的地塊區(qū)域。

【問(wèn)題】

(1)該小區(qū)居民計(jì)劃在①區(qū)域種植向日葵,種植成本為8 元/平方米;已知種滿該區(qū)域花費(fèi)了160元,問(wèn)種滿與其相似的②區(qū)域需要花多少費(fèi)用?

(2)該小區(qū)的剩余區(qū)域可以栽種玫瑰花和茉莉花兩種花木,其中玫瑰花的單價(jià)為12元/平方米,茉莉花的單價(jià)為10 元/平方米,問(wèn)應(yīng)選擇哪種花木,才能剛好用完所籌集的資金?

【解法】

本題是關(guān)于綠化美化工程的一道實(shí)踐題,涉及空間幾何知識(shí)和綠化工程知識(shí),解決該類問(wèn)題的第一步是根據(jù)題中信息,建立一個(gè)梯形模型,其中AC和BD兩條圍欄相交于M點(diǎn),并將整個(gè)梯形地塊分為了四個(gè)區(qū)域(①～④),如圖1所示。通過(guò)建立該幾何模型實(shí)現(xiàn)了題中問(wèn)題信息的直觀呈現(xiàn),便于學(xué)生更好地理解題意。

圖1 某小區(qū)內(nèi)一塊梯形空地

第二步,指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察幾何模型,同時(shí)回顧相似三角形的相關(guān)知識(shí),這里需要用到“相似三角形的面積比等于其相似比的平方”“相似三角形對(duì)應(yīng)高之比等于其相似比”。然后得到以下解答:

(1)根據(jù)題中所述①、②區(qū)域相似,即△AMD∽△CMB,因此S△AMD∶S△CMB=1∶4

根據(jù)種滿△AMD 所在地塊花了160元,則可以知道:

S△AMD==20m2,因此S△CMB=20×4=80m2,由此可以計(jì)算得出,種滿②區(qū)域需要花費(fèi)640元。

(2)由梯形面積公式可以求得,SABCD=(10+20)×12÷2=180m2,S△AMB+S△DMC=180-(S△AMD+S△CMB)=80m2

綜上,剩余區(qū)域假如選擇種植玫瑰花,則160+640+80×12=1760元;假如選擇種植茉莉花,則160+640+80×10=1600元。因此,選種茉莉花能夠剛好用完所有資金。

四、結(jié)語(yǔ)

應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重難點(diǎn)內(nèi)容,不僅考查學(xué)生的社會(huì)生活認(rèn)知能力,而且對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維、知識(shí)綜合應(yīng)用能力等提出了較高要求。借助于數(shù)學(xué)建模法,結(jié)合題中信息建立數(shù)學(xué)模型,將相關(guān)問(wèn)題與關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式,便于學(xué)生深入理解題意,并啟發(fā)他們的解題思路,同時(shí)也起到培養(yǎng)和提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維和模型建構(gòu)能力的作用,為今后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。