劉國(guó)林 曾 瑜 劉錦灝 魏 征

(北京化工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,北京 100029)

引言

利用共振原理以實(shí)現(xiàn)能量傳遞、轉(zhuǎn)換和演變的微納諧振器現(xiàn)在已經(jīng)成為許多微納機(jī)電系統(tǒng)的核心部件,它具有高靈敏度,高品質(zhì)因數(shù)及高諧振頻率等優(yōu)點(diǎn)[1-3].原子力顯微鏡(atomic force microscope,AFM)是研究微觀領(lǐng)域的基礎(chǔ)工具,是龐大的掃描探針顯微鏡家族的重要成員[4],它的出現(xiàn)推動(dòng)了納米科技和微納米工業(yè)的發(fā)展,受到科學(xué)與工業(yè)領(lǐng)域的廣泛關(guān)注.其核心部件探針,在力學(xué)上被描述為一微納懸臂梁,是一種典型的微納諧振器件.

AFM 存在3 種工作模式:接觸式、非接觸式及間歇接觸樣品的輕敲模式.在AFM 輕敲模式的工作過程中,針尖與樣品之間的作用力會(huì)使得微懸臂梁振動(dòng)參數(shù)發(fā)生變化,依靠檢測(cè)這種變化可以得到相應(yīng)的形貌圖和相位圖.與得到的樣品形貌圖相比,由激勵(lì)信號(hào)與微懸臂梁探針自由端響應(yīng)信號(hào)的相位滯后得到的相位圖更能反映樣品的表面信息.

通常,相位、品質(zhì)因數(shù)和頻率的關(guān)系可以表示為[5]

其中,φ 表示相位,s為激振頻率 ω 與微懸臂梁固有頻率 ωn之比,Q表示品質(zhì)因數(shù).

從上式可見,AFM 探針在工作過程中,其相位的變化主要與品質(zhì)因數(shù)Q和頻率比s兩個(gè)因素有關(guān).在正常情況下,掃描樣品時(shí)會(huì)將頻率比固定,那么由式(1)可得,相位的變化實(shí)際上是由品質(zhì)因數(shù)的變化所引起.而品質(zhì)因數(shù)Q與系統(tǒng)的能量耗散和阻尼有關(guān),一方面品質(zhì)因數(shù)的倒數(shù)Q-1可以用來(lái)表征能量耗散,另一方面品質(zhì)因數(shù)可以通過懸臂梁質(zhì)量m,阻尼系數(shù)c和頻率 ωn求得,有Q=mωn/c.這說明掃描出的相位圖像也與系統(tǒng)的能量耗散和阻尼有著密切的關(guān)系,相位圖像可以揭示系統(tǒng)的阻尼和能量耗散情況[6-7].

在真空中,AFM 的品質(zhì)因數(shù)能達(dá)到上萬(wàn),在空氣中品質(zhì)因數(shù)為百這個(gè)量級(jí),在液體中品質(zhì)因數(shù)下降到個(gè)位數(shù)[8],可見在不同的環(huán)境下,AFM 系統(tǒng)的能量耗散情況也不同.在這些耗散中,不同耗散對(duì)圖像品質(zhì)的影響也有區(qū)別,以實(shí)驗(yàn)室的空氣環(huán)境為例,針尖與樣品直接接觸的黏附耗散能真實(shí)反映樣品的性質(zhì),是核心耗散.其他耗散,例如,空氣黏性阻尼、壓膜阻尼、液橋耗散及支撐損耗等,會(huì)使系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)降低,減小核心耗散在系統(tǒng)總耗散中的占比,從而使得樣品的真實(shí)信息被掩蓋.在其他耗散中,我們根據(jù)耗散產(chǎn)生的原因?qū)⑵浞譃閮?nèi)稟耗散和外部耗散,其中由微懸臂梁自身結(jié)構(gòu)原因所導(dǎo)致的耗散是內(nèi)稟耗散,由外部環(huán)境原因所導(dǎo)致的耗散稱為外部耗散.內(nèi)稟耗散和外部耗散都會(huì)對(duì)系統(tǒng)的核心耗散產(chǎn)生影響,并使相位圖像品質(zhì)降低,因而明確這些耗散對(duì)系統(tǒng)品質(zhì)因數(shù)的量級(jí)貢獻(xiàn)是十分重要的,這為優(yōu)化相位圖像給出了理論依據(jù).

關(guān)于能量耗散的研究,Cleveland 等[6]從能量流動(dòng)的角度討論了AFM 系統(tǒng)的能量耗散,并推導(dǎo)出了相位與能量耗散的具體關(guān)系.Zener[9]在提出“滯彈性”概念的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)出了微懸臂梁熱彈性耗散的基本公式.Hosaka 等[10]將微懸臂梁看作是微型小球的集合,并給出了在這一假設(shè)下微懸臂梁受空氣阻尼的理論模型.Stoffels 等[11]研究了聲波-熱聲子相互作用中Akhiezer 阻尼的影響.Hao 等[12]通過分析界面耗散的物理機(jī)制并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證給出了界面耗散的貢獻(xiàn).Yang 等[13]討論了超薄微懸臂梁中的4 種能量損失-熱彈性損失、空氣阻尼、支撐損失和表面損失,并探討了超薄微懸臂梁的尺寸效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)品質(zhì)因數(shù)的影響.Imboden 等[14]對(duì)納米機(jī)電系統(tǒng)中的各個(gè)耗散過程進(jìn)行了綜述,介紹了納米機(jī)電技術(shù)在研究和工程中的應(yīng)用,明確了耗散機(jī)制對(duì)微納器件動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響.張文明等[15]對(duì)微納諧振器中能量耗散機(jī)理及非線性阻尼效應(yīng)進(jìn)行了討論.魏征等則進(jìn)一步研究了輕敲式原子力顯微鏡在工作過程中空氣黏性阻尼[5]、壓膜阻尼[16]以及液橋[17-18]對(duì)系統(tǒng)能量耗散的貢獻(xiàn).Herruzo 等[19]討論了原子力顯微鏡在水和空氣等不同環(huán)境下的動(dòng)力學(xué)特性,并對(duì)比了機(jī)械激勵(lì)及磁激勵(lì)的區(qū)別.Chen 等[20]分析了不同氣體環(huán)境下微懸臂梁品質(zhì)因數(shù)的大小,并探究了液體環(huán)境下梁的振動(dòng).

輕敲式的AFM 探針在振動(dòng)過程中是從高于樣品表面到下降并接觸樣品再?gòu)臉悠冯x開,這在一個(gè)周期中是連續(xù)的過程,在這一過程的不同階段存在著不同的能量耗散,但是目前對(duì)這一連續(xù)的能量耗散過程并沒有一個(gè)清晰完整的認(rèn)識(shí),對(duì)其中不同耗散的作用機(jī)理也不甚明了.并且對(duì)于AFM 不同的工作環(huán)境,文獻(xiàn)中大多是對(duì)某一種特定環(huán)境下的耗散進(jìn)行討論,并沒有把不同環(huán)境的耗散綜合起來(lái)考慮.同時(shí),考慮到不同的能量耗散對(duì)系統(tǒng)總品質(zhì)因數(shù)的貢獻(xiàn)不同,明確不同耗散的量級(jí)貢獻(xiàn)顯得尤為重要.因而,本文擬把AFM 中核心部件的微懸臂梁探針作為研究對(duì)象,對(duì)探針在不同位置及不同環(huán)境下的能量耗散機(jī)制進(jìn)行綜合分析,以期對(duì)不同能量耗散的量級(jí)貢獻(xiàn)有一個(gè)清晰完整的認(rèn)識(shí),對(duì)成像機(jī)理和成像質(zhì)量有更進(jìn)一步的了解,并在此基礎(chǔ)上為降低系統(tǒng)能量耗散,進(jìn)而提高相位像的品質(zhì)提供理論上的參考.

1 內(nèi)稟耗散

內(nèi)稟耗散是由材料自身結(jié)構(gòu)原因所引起,材料的內(nèi)耗決定了內(nèi)稟耗散的大小.從宏觀層面來(lái)看,內(nèi)稟耗散表現(xiàn)為機(jī)械熱噪聲的形式.在AFM 中,內(nèi)稟耗散與探針的材料、加工方式等都有關(guān)系,其內(nèi)稟耗散主要包括:熱彈性耗散、聲波-熱聲子相互作用、表面耗散和界面耗散.

1.1 熱彈性耗散

當(dāng)AFM 系統(tǒng)在工作過程中進(jìn)行振蕩掃描時(shí),探針內(nèi)部總會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的熱應(yīng)變,其中受擠壓的部分溫度上升,受拉伸的部分溫度降低.但是由于梁受壓和受拉部位并不相同,梁擠壓部位和拉伸部位造成的溫度梯度將導(dǎo)致熱流的產(chǎn)生.熱流會(huì)自發(fā)的從溫度高的部位涌向溫度低的部位,這一過程所導(dǎo)致的能量耗散稱之為熱彈性耗散.對(duì)于不斷振動(dòng)的微懸臂梁來(lái)說,只要它的熱膨脹系數(shù)不為0,那么就會(huì)受到熱彈性耗散的影響,使得系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)降低.

Zener[9]通過計(jì)算應(yīng)力、應(yīng)變和溫度的時(shí)間平均值,推導(dǎo)出了熱彈性耗散的理論公式,具體表達(dá)為

式中,CP為定壓比熱容,α 為熱膨脹系數(shù),T為溫度,τR為特征時(shí)間,E為彈性模量.

對(duì)于矩形類型的微米和納米尺度諧振器中的熱彈性耗散,Lifshitz 等[21]根據(jù)式(2)推導(dǎo)出了更為準(zhǔn)確的表達(dá)式,品質(zhì)因數(shù)的計(jì)算式為

經(jīng)過上面的討論,能看出熱彈性耗散與微懸臂梁的材料和尺寸有著密切的關(guān)系.Ergincan 等[22]通過實(shí)驗(yàn)的方式得出了熱彈性耗散的具體數(shù)值,其結(jié)果與式(3)所估計(jì)的理論結(jié)果相差不大.這里為估計(jì)熱彈性耗散的貢獻(xiàn),取一根常用的輕敲模式探針,其尺寸為 135 μm×40 μm×4 μm,考慮梁的材料為硅,諧振頻率約為f=300 kHz,則由式(3)估計(jì)的品質(zhì)因數(shù)為 3.27×105.由此,通過上面的分析,能估計(jì)熱彈性耗散對(duì)AFM 微懸臂梁探針品質(zhì)因數(shù)的影響在105量級(jí).

1.2 聲波-熱聲子相互作用

聲波-熱聲子相互作用是內(nèi)稟耗散的另外一種重要機(jī)制,其主要包括,聲波波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于聲子平均自由程的Akhiezer 阻尼和聲波波長(zhǎng)小于聲子平均自由程的Landau-Rumer 效應(yīng)[11].由于AFM 探針的振動(dòng)頻率在 ～ 102kHz,對(duì)比文獻(xiàn)中的阻尼效應(yīng),可知此時(shí)AFM 探針?biāo)茏枘釣锳khiezer 阻尼.Akhiezer 阻尼是指低頻/低溫聲子-高頻/高溫聲子間能量交換造成的耗散.其詳細(xì)闡述為,隨著晶體材料非零的體積變化,低頻的應(yīng)力波將引起晶體材料的簡(jiǎn)正模頻率做周期性的局部變化,體積膨脹使簡(jiǎn)正模頻率減小.這些模式完全被熱聲子占據(jù).頻率的下降表明瞬態(tài)模比平衡溫度給定的占有率要低,由此使這些模式有效的局部溫度降低.體積膨脹對(duì)應(yīng)溫度下降,體積壓縮對(duì)應(yīng)溫度上升.這一體積和溫度的變化將驅(qū)動(dòng)著聲子從溫度升高的體積壓縮區(qū)域向溫度下降的體積膨脹區(qū)域做擴(kuò)散運(yùn)動(dòng),因而從應(yīng)力波中轉(zhuǎn)移了能量,由于這種熱擴(kuò)散的不可逆性,導(dǎo)致了應(yīng)力波的衰減,這就是Akhiezer 阻尼[23].那么,由熱聲子的弛豫所導(dǎo)致的能量耗散,其品質(zhì)因數(shù)可以表示為[24]

式中,τph表示熱聲子的弛豫時(shí)間,當(dāng)材料為硅時(shí)τph=6.91 ps,va表示聲波的波速,γavg為平均Gruneisen 常數(shù),在這里取為0.51.

從上面有關(guān)熱聲子的描述,可知聲波-熱聲子相互作用的弛豫時(shí)間由材料性質(zhì)決定,在這里同樣考慮AFM 的微懸臂梁探針,其材料為硅,諧振頻率約為300 kHz,在室溫條件下,由上式估計(jì)的品質(zhì)因數(shù)為 2.4×107.通過上面的分析,可知由聲波-熱聲子相互作用所引起的耗散對(duì)AFM 品質(zhì)因數(shù)的影響在107量級(jí).

1.3 表面耗散

當(dāng)微懸臂梁尺寸變小,表面積與體積之比增大,表面損失作用加強(qiáng),品質(zhì)因數(shù)因阻尼的作用而逐漸減小.在眾多的耗散機(jī)制中,由表面損耗所引起的能量損失機(jī)制是最復(fù)雜的,一般對(duì)表面耗散的研究主要是從兩個(gè)方面進(jìn)行,一是表面層所引起的損耗,二是表面化學(xué)效應(yīng)所引起的損耗[15].在本文中主要對(duì)表面層的影響進(jìn)行討論,對(duì)表面耗散進(jìn)行建模,考慮梁的復(fù)彈性模量Ec=E+iEd,其中Ec和Ed分別為彈性模量的復(fù)數(shù)值和彈性模量耗散部分.對(duì)于以正弦規(guī)律振動(dòng)的矩形懸臂梁,其儲(chǔ)存的能量可以表示為

其中b為梁寬,εmax為梁頂部或底部在振動(dòng)過程中發(fā)生的應(yīng)變.

考慮表面層厚度 δ,復(fù)數(shù)模量Ecs=Es+iEds,則每個(gè)周期表面層造成的能量損失為[25]

式中,Es為表面層的常規(guī)彈性模量,Eds為表面層的耗散彈性模量.因此與表面損耗相關(guān)的品質(zhì)因數(shù)為

在式(7)中,Eds作為吸收層的特性及其缺陷,與表面應(yīng)力密切相關(guān),會(huì)導(dǎo)致表面損失的產(chǎn)生.由文獻(xiàn)[15]知,〈 δEds〉 的取值范圍為0.7～1.1,對(duì)于無(wú)修飾表面梁,〈δEds〉～0.9.同時(shí),從式(7)也可以看出,表面損耗的大小與微懸臂梁的尺寸也具有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián).在這里考慮一個(gè)無(wú)修飾的AFM 探針,探針尺寸一般為幾十或幾百微米,令其尺寸為135 μm×40 μm×4 μm,材料選擇為硅,則通過上式估計(jì)的品質(zhì)因數(shù)為1.2×105.由此,可知由表面耗散所引起微懸臂梁品質(zhì)因數(shù)的變化大概在 105量級(jí).

1.4 界面耗散

多層諧振器的界面耗散是指諧振器在界面處因振動(dòng)而耗散的能量.在本質(zhì)上,界面耗散是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中兩個(gè)塊體區(qū)域之間界面移動(dòng)/變形的行為或者材料科學(xué)中兩個(gè)固體相界面之間在彈性變形影響下內(nèi)部結(jié)構(gòu)的變化.從連續(xù)介質(zhì)力學(xué)來(lái)看,諧振器在連續(xù)界面處其應(yīng)變是一致的,但不同材料的界面層具有不同的楊氏模量,由此在相連的界面層上有應(yīng)力跳變產(chǎn)生.這種應(yīng)力跳變?cè)诮缑嫔掀鸬津?qū)動(dòng)力或摩擦力的作用,會(huì)導(dǎo)致界面滑移,但不會(huì)破壞兩界面層之間的黏合,這意味著界面通過將多層諧振器中的部分振動(dòng)能量轉(zhuǎn)化為熱能耗散掉.因此,如果想對(duì)諧振器的界面耗散進(jìn)行分析研究,就必須更好地理解界面對(duì)鄰近固相彈性變形的響應(yīng).

對(duì)于界面耗散品質(zhì)因數(shù)的估計(jì),Hao 等[12]通過分析界面耗散的物理機(jī)制并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,給出了基頻下界面耗散的品質(zhì)因數(shù)表達(dá)式.在AFM 中,某些探針表面有一層涂層,涂層會(huì)在界面處產(chǎn)生耗散,這時(shí)品質(zhì)因數(shù)的計(jì)算式可以寫為

式中,Ep,hp和ρp分別為涂層的楊氏模量、高度和密度,l為懸臂梁長(zhǎng)度,?E=E-Ep,為兩種材料楊氏模量的差值,η1為常數(shù),具體數(shù)值通過實(shí)驗(yàn)得到[12],在這里估為 3×10-12m3/(N·s).

考慮AFM 某一種類型的探針,在懸臂梁表面鍍有70 nm 厚的金涂層,懸臂梁尺寸為135 μm×40 μm×4 μm,材料為硅,則通過式(8)計(jì)算涂層界面耗散的品質(zhì)因數(shù)為 1.67×1013.由此可以估計(jì)界面耗散對(duì)AFM 微懸臂梁探針品質(zhì)因數(shù)的影響在 1013量級(jí).

2 在不同環(huán)境下的外部耗散

外部耗散主要是由外部環(huán)境原因所引起,在AFM 中,這一外部環(huán)境為非理想的支撐結(jié)構(gòu)及探針自身所處的流體環(huán)境.由非理想的支撐結(jié)構(gòu)引起的耗散為支撐損耗,由流體環(huán)境所引起的外部耗散在不同環(huán)境下有所區(qū)別,下面將進(jìn)行詳細(xì)的討論.

2.1 支撐損耗

AFM 在真空環(huán)境下工作時(shí),外部沒有氣體阻尼的作用,此時(shí)的外部耗散為梁與基底連接處的支撐損耗.而由于AFM 中支撐結(jié)構(gòu)的不可避免性,支撐損耗在任何環(huán)境都存在.支撐損耗的基本原理是,當(dāng)微懸臂梁在振動(dòng)時(shí),梁與支撐基底接觸的部位由于梁的彎曲振動(dòng)會(huì)產(chǎn)生剪切力和彎矩,這所產(chǎn)生的力的作用可以視為一個(gè)激勵(lì)源并在基底上激發(fā)出彈性波.這些彈性波會(huì)經(jīng)由基底阻尼的作用不斷衰減傳播,最后完全耗散掉.可見,導(dǎo)致支撐損耗的關(guān)鍵是結(jié)構(gòu)耦合的非固支性,對(duì)于理想的支撐基座而言,可以假定基座的位移為0,探針系統(tǒng)的能量不會(huì)傳遞到基座上,但現(xiàn)實(shí)的支撐基座,探針系統(tǒng)的能量會(huì)通過固支端耦合到基座上,引起基座振動(dòng)并導(dǎo)致能量耗散.

1968 年,Jimbo 等[26]將懸臂梁振動(dòng)的能量與懸臂梁根部的剪力和彎矩在彈性介質(zhì)中引起的應(yīng)變相關(guān)的能量進(jìn)行了比較.之后,Photiadis 等[27]給出了兩種不同情況下從諧振器到其支撐結(jié)構(gòu)的能量損失解析表達(dá)式:一種是可以被視為厚度遠(yuǎn)大于諧振器本身的板支撐,另一種是在遠(yuǎn)大于諧振器厚度的基礎(chǔ)上,大于振動(dòng)波長(zhǎng)的支撐.他們研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)梁和支撐介質(zhì)為同種材料時(shí),由懸臂梁振動(dòng)并輻射到支撐介質(zhì)(半無(wú)限板)所得到的支撐損耗品質(zhì)因數(shù)為

式中,hs為支撐介質(zhì)的高度.

當(dāng)支撐結(jié)構(gòu)相較于傳播波的波長(zhǎng)足夠厚時(shí),基底近似為半無(wú)限彈性介質(zhì)(半空間),得到支撐損耗的品質(zhì)因數(shù)為

通過上邊兩個(gè)公式,可以看出,支撐損耗與懸臂梁和支撐介質(zhì)的幾何尺寸有著緊密的聯(lián)系.為了深入了解這種耗散機(jī)制與器件尺寸的關(guān)系,本文通過有限元仿真的方法對(duì)其進(jìn)行了研究.首先需要對(duì)建立的模型進(jìn)行考慮,在實(shí)際情況下由于微懸臂梁相較于支撐基底往往很小.同時(shí),考慮材料自身的阻尼特性,會(huì)使懸臂梁因振動(dòng)所產(chǎn)生的彈性波在傳遞過程中逐漸耗散掉.但在理想化的仿真過程中,支撐介質(zhì)基底并不能很好地對(duì)這兩種特質(zhì)進(jìn)行模擬,所以需要考慮在仿真建模的有限區(qū)域添加吸收邊界條件來(lái)保證與支撐結(jié)構(gòu)耦合所產(chǎn)生的彈性波能夠完全耗散掉.吸收邊界條件有很多種,如邊界阻尼器、無(wú)限元、邊界積分和完美匹配層(perfectly matched layer,PML)等[28-30].在所有吸收邊界條件中,PML 具有易于實(shí)現(xiàn),經(jīng)濟(jì)成本低,計(jì)算方便,并從理論上可以吸收任何入射角度波的優(yōu)點(diǎn)[31-32].因此,本文選擇利用PML作為彈性波耗散的邊界條件.建立的模型如圖1所示,在圖中支撐介質(zhì)厚度為PML層的厚度根據(jù)參考文獻(xiàn)[33] 推薦為λ/14 ≤TPML≤2λ,其中λ 為在支撐介質(zhì)中傳遞的較長(zhǎng)波的波長(zhǎng),式中Esup,ρsup和νsup分別是支撐介質(zhì)的楊氏模量,密度和泊松比.

在完成上述模型的建立后,同樣考慮一個(gè)尺寸為 135 μm×40 μm×4 μm 的微懸臂梁,選擇梁和支撐介質(zhì)的材料都為硅(E=169 GPa,ρ=2330 kg/m3,υ=0.3).探針基底的高度根據(jù)探針盒上的標(biāo)注為400 μm,即hs=400 μm,比較梁和支撐介質(zhì)的高度,hs?h,符合式(9)的應(yīng)用條件.之后,計(jì)算支撐介質(zhì)中較長(zhǎng)波的波長(zhǎng),λ=2.67×10-2m,hs?λ,故式(10)不適用于AFM 支撐損耗的估算.最后,模型仿真的結(jié)果與通過式(9)所計(jì)算的理論值如表1 所示.

表1 支撐損耗的理論及仿真結(jié)果Table 1 Theoretical and simulation results of support dissipation

從表1 的結(jié)果中可以看出,通過式(9)計(jì)算出的品質(zhì)因數(shù)與數(shù)值仿真計(jì)算出的品質(zhì)因數(shù)近似符合,這證明了本文模型建立的準(zhǔn)確性和可行性.并且我們知道,在對(duì)支撐損耗的研究過程中,由于支撐損耗與其他耗散之間的耦合關(guān)系使得對(duì)于支撐損耗的研究大多停留在理論公式推導(dǎo)的層面,很難利用實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析.在本小節(jié),利用PML 作為吸收邊界,估計(jì)了真實(shí)AFM 探針支撐損耗對(duì)系統(tǒng)品質(zhì)因數(shù)的量級(jí)貢獻(xiàn)在 104.并且從式(10)的表述來(lái)看,如果當(dāng)支撐基底足夠厚的話,可以有效降低系統(tǒng)中的支撐損耗.

2.2 在空氣中的外部耗散

在空氣中的外部耗散包含了兩個(gè)部分,一是由結(jié)構(gòu)原因引起的支撐損耗,二是由外部空氣環(huán)境引起的耗散,支撐損耗的影響前文已經(jīng)討論過了,而由空氣環(huán)境引起的耗散在AFM 工作的不同位置處稍有區(qū)別,在本節(jié)主要討論空氣黏性阻尼、壓膜阻尼及液橋耗散的影響.

2.2.1 空氣黏性阻尼

在非真空環(huán)境下,當(dāng)環(huán)境壓強(qiáng)從真空逐漸增壓到正常大氣壓,AFM 系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)會(huì)因壓強(qiáng)變化而改變,這一變化趨勢(shì)稱之為氣體介質(zhì)的阻尼效應(yīng),一般可以將其分為3 個(gè)階段:本征區(qū)域、分子區(qū)域和黏性區(qū)域[5].在本征區(qū)域,空氣較為稀薄,空氣壓強(qiáng)很低,工作環(huán)境近似為真空環(huán)境,當(dāng)梁在其中振動(dòng)時(shí),能量耗散主要為其他形式的耗散.在分子區(qū)域,氣體分子數(shù)量增加,空氣壓強(qiáng)逐漸增大,氣體分子與微懸臂梁及樣品表面發(fā)生作用,但氣體分子自身之間的作用可以忽略.在黏性區(qū)域,氣體分子數(shù)量增加到一定程度,壓強(qiáng)對(duì)品質(zhì)因數(shù)的影響大幅增強(qiáng),該氣體環(huán)境中的空氣可以視為黏性流體,氣體分子不僅與探針和樣品發(fā)生作用,自身內(nèi)部之間也在相互作用,此時(shí)AFM 系統(tǒng)受到黏性阻尼作用.

通常,AFM 都在實(shí)驗(yàn)室大氣環(huán)境下進(jìn)行工作,壓強(qiáng)范圍位于黏性區(qū)域.當(dāng)微懸臂梁在距離樣品較遠(yuǎn)的位置時(shí),微懸臂梁的高頻振動(dòng)會(huì)帶動(dòng)著空氣高頻振蕩,其可視為微懸臂梁在空氣中的自由振動(dòng),此時(shí),梁上所受氣體阻尼為空氣黏性阻尼.前人已經(jīng)對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了一些研究,Hosaka 等[10]把懸臂梁近似成由微球組成的形式,通過理論計(jì)算,得到微懸臂在振動(dòng)時(shí)單位長(zhǎng)度的流體繞流阻尼系數(shù)為

式中,η 為氣體的動(dòng)力黏度,對(duì)空氣而言η=1.8×10-5kg/(s·m),Re為雷諾數(shù),對(duì)于在空氣中振動(dòng)的微懸臂梁來(lái)說Re?1,0.375Re可忽略.

同時(shí),考慮到微懸臂梁在空氣中是處于高頻振動(dòng)狀態(tài),周圍會(huì)產(chǎn)生有旋流使阻力增加,求解斯托克斯方程可得微懸臂梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度受到這一部分有旋流體的阻尼系數(shù)為[34]

式中,ρa(bǔ)是空氣密度,ρa(bǔ)=1.293 kg/m3.

微懸臂梁在空氣中振動(dòng)時(shí)的等效黏性阻尼可表示為[5]

根據(jù)振動(dòng)力學(xué)中品質(zhì)因數(shù)與阻尼的關(guān)系,可以得到微懸臂梁在空氣中振動(dòng)時(shí)的品質(zhì)因數(shù)為

其中,me表示梁在空氣中的等效質(zhì)量,根據(jù)振動(dòng)力學(xué)中的等效原則有me=0.24m.

為了驗(yàn)證空氣對(duì)微懸臂梁探針的影響,我們進(jìn)行了相應(yīng)實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)所用原子力顯微鏡為BRUKER dimension icon,探針型號(hào)為AN-NSC10,探針在掃描電子顯微鏡下的形態(tài)如圖2 所示,各項(xiàng)參數(shù)及通過理論計(jì)算得出的等效數(shù)值見表2.

表2 探針各項(xiàng)參數(shù)值Table 2 Parameter values of the probe

圖2 掃描電子顯微鏡下的探針Fig.2 The probe under scanning electron microscope

在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的過程中,由于設(shè)備具有一定的距離調(diào)節(jié)范圍限定,無(wú)法通過一次性的范圍調(diào)節(jié)完成探針在遠(yuǎn)離樣品時(shí)、靠近樣品表面過程中以及最后的接觸樣品這一連續(xù)過程的掃頻曲線,因此需要做多次實(shí)驗(yàn).將實(shí)驗(yàn)人為地分為較遠(yuǎn)處及較近處兩個(gè)階段,同時(shí),為了使實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)能夠完整包含探針遠(yuǎn)離樣品、靠近樣品和接觸樣品這一連續(xù)性過程,兩個(gè)距離段的探針行程區(qū)域需要有一定程度的重合,實(shí)驗(yàn)中得到探針在距樣品較遠(yuǎn)距離處的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3 所示.

圖3 遠(yuǎn)距離的掃頻曲線Fig.3 Sweeping curve at far distance

利用半帶寬法,對(duì)圖3 中的掃頻曲線進(jìn)行計(jì)算,得到在較遠(yuǎn)距離處掃頻曲線所對(duì)應(yīng)的品質(zhì)因數(shù)如圖4 所示.圖3 的掃頻曲線展示了在不同針尖樣品距離下振幅和頻率的關(guān)系,從圖中能看出當(dāng)針-樣之間距離較大時(shí),位于最上邊的幾條曲線出現(xiàn)重疊.之 后,隨著距離減小,掃頻曲線的最大振幅降低,曲線變得越“胖”.圖4 的結(jié)果很好地對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)行了解釋,當(dāng)距離較遠(yuǎn)時(shí),針-樣間距離的變化不對(duì)系統(tǒng)的耗散產(chǎn)生影響,系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)幾乎不變,此時(shí)空氣只對(duì)其有黏性阻尼作用.而隨著距離進(jìn)一步減小,系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)隨之降低,此時(shí)針-樣之間有壓膜阻尼產(chǎn)生,壓膜阻尼的影響將在后文進(jìn)行敘述.對(duì)黏性阻尼進(jìn)行分析,當(dāng)梁的長(zhǎng)、寬、高分別為135 μm×40 μm×4 μm時(shí),根據(jù)式(14)進(jìn)行理論計(jì)算,得出的品質(zhì)因數(shù)為472.26,而通過實(shí)驗(yàn)得出梁在遠(yuǎn)離樣品的空氣中振動(dòng)的品質(zhì)因數(shù)為336.實(shí)驗(yàn)和理論的品質(zhì)因數(shù)存在差距,這是由于實(shí)驗(yàn)中得出的品質(zhì)因數(shù)除了受到空氣黏性阻尼的影響外還受到內(nèi)稟耗散及支撐損耗的影響,實(shí)驗(yàn)得出的品質(zhì)因數(shù)是但是理論計(jì)算僅考慮了黏性阻尼的影響,由此導(dǎo)致了誤差的產(chǎn)生.最后,無(wú)論是從實(shí)驗(yàn)結(jié)果還是理論結(jié)果來(lái)看,都可以估計(jì)由于空氣黏性阻尼導(dǎo)致系統(tǒng)品質(zhì)因數(shù)的變化在 102量級(jí).

圖4 空氣中相對(duì)位置與品質(zhì)因數(shù)的關(guān)系Fig.4 Relationship between relative position and quality factor in air

2.2.2 空氣壓膜阻尼

隨著探針從遠(yuǎn)離樣品逐漸向下移動(dòng),與樣品表面間的距離減小,探針與樣品之間會(huì)發(fā)生相互作用,這是由于當(dāng)兩物體表面相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí),位于其中的空氣會(huì)隨著物體的運(yùn)動(dòng)而被吸入、擠出,這其中有力的作用,這種阻尼效應(yīng)被稱為壓膜阻尼.壓膜阻尼存在于眾多不同類型的微納系統(tǒng)中,如微加速度計(jì)和超聲懸浮儀等[14].對(duì)于工作中的AFM 微懸臂梁探針,探針在向樣品移動(dòng)時(shí),會(huì)增大薄膜的氣體壓強(qiáng),從而促使空氣向周邊擴(kuò)散,即被擠出;相反,當(dāng)探針遠(yuǎn)離樣品移動(dòng)時(shí),空氣薄膜的壓強(qiáng)隨之減小,周圍的空氣會(huì)被吸入間隙.因而,在對(duì)壓膜阻尼的研究過程中,AFM 探針與樣品之間的距離需要納入考慮,對(duì)于實(shí)際的AFM 探針來(lái)說,安裝后的探針會(huì)與樣品存在一個(gè)角度(約 15?),并且由于梁的彎曲振動(dòng),導(dǎo)致探針在不同位置處與樣品之間的距離存在差異,具體情況如圖5 所示.

圖5 探針靠近樣品表面Fig.5 Probe close to sample surface

為探究壓膜阻尼對(duì)微懸臂梁品質(zhì)因數(shù)的影響,需要考慮探針與樣品之間由于擠壓所產(chǎn)生的氣膜的特性,這里用擠壓數(shù)來(lái)進(jìn)行表述,當(dāng)擠壓數(shù)較大時(shí),薄膜力表現(xiàn)為彈性力的形式,當(dāng)擠壓數(shù)較小時(shí),表現(xiàn)為黏性力的形式.擠壓數(shù)可表示為

式中,μeff表示有效空氣黏性系數(shù)μeff=1.71×10-5N·s/m,ls為物體的特征長(zhǎng)度,取為梁寬度 40 μm,Pa為環(huán)境壓強(qiáng),ht為針樣之間距離,取為 15 μm.將具體的數(shù)值代入計(jì)算,能得到探針與樣品系統(tǒng)的擠壓數(shù) τ ?1,則能得到在壓膜階段薄膜力表現(xiàn)為黏性力的形式,其彈性效應(yīng)可以忽略不計(jì).

1968 年Newell[35]研究了運(yùn)動(dòng)的兩極板間間隙大小與壓強(qiáng)的關(guān)系.對(duì)于一般的矩形極板或者梁來(lái)說,當(dāng)間隙小于極板或者梁寬度時(shí),壓膜作用的效果便較為明顯.根據(jù)非線性雷諾方程[36],可以得到描述壓膜阻尼效應(yīng)的表達(dá)式

其中,ht(x)=d+(l-x)sinα 代表傾斜探針到樣品表面的距離(即氣膜厚度),d為懸臂梁自由端與樣品表面的距離,α 為探針的傾斜角,P=Pa+?P為微懸臂梁的表面壓強(qiáng),?P為氣膜所引起的偏壓.

在此基礎(chǔ)上,為了簡(jiǎn)化運(yùn)算,可以通過忽略長(zhǎng)度方向上的壓力梯度變化對(duì)式(16)進(jìn)行進(jìn)一步改寫

對(duì)式(17)沿寬度方向進(jìn)行積分,并將其代入設(shè)定的邊界條件,在懸臂梁的兩側(cè)y=±b/2,P=Pa,在懸臂梁中間y=0 處,壓強(qiáng)達(dá)到最大,壓力梯度為?P/?y=0.根據(jù)計(jì)算可以得到偏壓 ?P的計(jì)算表達(dá)式為

對(duì)(18)沿寬度方向再次進(jìn)行積分,最終可以求得單位長(zhǎng)度的擠壓氣膜力Fs為

由式(19)進(jìn)而可以得到探針系統(tǒng)在壓膜階段的壓膜阻尼系數(shù)c3的表達(dá)式為

由于上式所求為單位長(zhǎng)度的阻尼系數(shù),需要對(duì)長(zhǎng)度進(jìn)行積分.同時(shí),為了方便計(jì)算,我們將連續(xù)梁模型轉(zhuǎn)化為諧振子模型的形式,考慮梁的位置函數(shù)為u(x,t)=?(x)q(t),則通過能量的等效有

將上式積分,則可求得探針系統(tǒng)在壓膜階段的等效壓膜阻尼系數(shù)為

將等效壓膜阻尼系數(shù)ce2代入方程,可求得在壓膜阻尼作用下,系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)為

為了對(duì)此進(jìn)行驗(yàn)證,通過實(shí)驗(yàn)的手段對(duì)壓膜阻尼的影響進(jìn)行了研究,實(shí)驗(yàn)的操作方法如上文所述,能得到較近距離的掃頻曲線如圖6 所示.圖6展示了當(dāng)探針靠近樣品時(shí),整個(gè)掃頻曲線的振幅逐漸下降,特別是在共振頻率處,這一現(xiàn)象尤為明顯,振幅的下降意味著探針?biāo)茏枘嵩鰪?qiáng).當(dāng)探針距離樣品較遠(yuǎn)時(shí),針-樣間的距離大于探針的自由振幅,這時(shí)共振曲線為自由振幅的情形.而隨著探針進(jìn)一步靠近樣品,針-樣間的距離小于探針的自由振幅,此時(shí)間距的大小限制了探針自由振幅的大小,同時(shí)針-樣間的相互作用力也在其中發(fā)揮作用,使共振曲線的形狀發(fā)生“截?cái)唷?這一現(xiàn)象如圖6 中最下面的兩條曲線所示.

圖6 近距離的掃頻曲線Fig.6 Sweep curve at close distance

通過半帶寬法計(jì)算圖3 和圖6 中掃頻曲線的品質(zhì)因數(shù),并將其與理論計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比,理論值由得到,其中Qvis取為336,結(jié)果如圖7所示.圖7 中存在3 個(gè)不同的區(qū)域,即黏性影響區(qū),壓膜影響區(qū)和截?cái)鄥^(qū).截?cái)鄥^(qū)域是針尖與樣品發(fā)生接觸而形成,此時(shí)梁和樣品之間還存在間隙,截?cái)鄥^(qū)域的大小與針尖的高度相等.實(shí)際上,在探針敲擊樣品時(shí),針尖尖端也會(huì)有壓膜阻尼產(chǎn)生,但由于針尖尖端的表面積遠(yuǎn)小于梁的表面積,其所產(chǎn)生的壓膜阻尼可以忽略.考慮梁的影響,在圖中的黏性和壓膜影響區(qū),能發(fā)現(xiàn)理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)符合的很好,黏性阻尼在其中一直發(fā)揮作用,不隨距離的變化而改變,壓膜阻尼則只有在探針靠近樣品一定距離時(shí)才發(fā)揮作用,并且壓膜阻尼的大小隨著距離的減小而增大.從圖中的具體數(shù)值來(lái)看,AFM 探針在受壓膜影響的范圍內(nèi),品質(zhì)因數(shù)大約從336 降到了240,通過品質(zhì)因數(shù)的“并聯(lián)”特征進(jìn)行計(jì)算,即 ?Q-1=240-1-336-1,能得到系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)改變了 ?Q=840,那么可以估計(jì)微懸臂梁在壓膜阻尼作用下,系統(tǒng)品質(zhì)因數(shù)的變化在 102～103量級(jí).

圖7 理論、實(shí)驗(yàn)品質(zhì)因數(shù)與探針位置的關(guān)系Fig.7 The relationship between the quality factor and position of the probe in theory and experiment

2.2.3 液橋耗散

液橋耗散主要是指由空氣濕度引起的針尖與樣品之間的耗散,對(duì)于親水性質(zhì)的樣品,毛細(xì)力在耗散中占據(jù)重要地位[37].同樣類型的樣品在不同濕度下,掃描出來(lái)的結(jié)果往往大不相同,這是因?yàn)樵趻呙柽^程中毛細(xì)力的大小受到液橋形成與破碎的影響.當(dāng)毛細(xì)力存在時(shí),其他類型的力往往會(huì)被掩蓋[38].一般對(duì)于AFM 微懸臂梁來(lái)說,它每振動(dòng)一個(gè)周期,細(xì)長(zhǎng)針尖都會(huì)與樣品接觸一次,因此確定在不同空氣濕度下毛細(xì)力對(duì)能量耗散的貢獻(xiàn)是十分重要的.關(guān)于液橋的形成,可根據(jù)以往的研究成果總結(jié)為以下模型:擠出模型、毛細(xì)凝聚模型和液膜流動(dòng)模型[17].

當(dāng)AFM 系統(tǒng)在大氣環(huán)境中工作時(shí),對(duì)于親水性質(zhì)的樣品,它的表面往往會(huì)吸附水分子進(jìn)而形成水膜,當(dāng)有針尖的微懸臂梁探針接觸樣品時(shí),探針和樣品表面的水膜受到力的作用被擠出形成液橋,從熱力學(xué)角度來(lái)看,此時(shí)的液橋還未達(dá)到平衡狀態(tài).當(dāng)探針接觸樣品過程中,兩者附近會(huì)形成一道狹縫,狹縫會(huì)吸附周圍的水分子使其產(chǎn)生凝聚,這個(gè)過程所用時(shí)間很短.之后,散布在狹縫區(qū)外圍的水分子也會(huì)由于擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)而發(fā)生凝聚,這一過程所需時(shí)間較長(zhǎng),因此毛細(xì)凝聚的特征時(shí)間主要取決于擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的特征時(shí)間.另外,當(dāng)探針針尖開始脫離樣品表面時(shí),由針尖與樣品表面分離所產(chǎn)生的負(fù)壓和分離壓會(huì)驅(qū)動(dòng)著水膜向液橋方向流動(dòng),這個(gè)流動(dòng)模型的特征時(shí)間由流動(dòng)過程控制.總之,在這3 種液橋形成機(jī)理中,根據(jù)文獻(xiàn)[17]可知,AFM 探針與樣品接觸的時(shí)間極短,而液膜擠出的特征時(shí)間數(shù)量級(jí)為 10-6s;毛細(xì)凝聚的特征時(shí)間數(shù)量級(jí)為 10-3s;液膜流動(dòng)的特征時(shí)間數(shù)量級(jí)為 10-4～10-2s,據(jù)此可以得到在探針針尖接觸樣品表面并形成液橋這一過程中,在液橋耗散中貢獻(xiàn)最多的是擠出模型.

AFM 系統(tǒng)的探針在親水樣品表面會(huì)由于范德華力而形成水膜,水膜的分離壓力為

式中,AH代表哈梅克常數(shù),hl為水膜厚度.

液橋負(fù)壓受Young-Laplace 方程控制,表達(dá)式為

式中,?p表示液橋的內(nèi)外壓差,ra和rm為液橋的主曲率半徑,γl為水的表面張力系數(shù).

當(dāng)其平衡時(shí),液膜分離壓與液橋內(nèi)外壓差相等,又由開爾文方程

式中,rk為開爾文半徑,pl代表氣體環(huán)境蒸汽壓,ps代表氣體的飽和蒸汽壓,pl/ps為相對(duì)濕度,為普適氣體常數(shù),T為開爾文溫度,Vm為水的摩爾體積.

通過上面3 個(gè)式子,能得到水膜厚度與相對(duì)濕度的表達(dá)式為

式中,AH取值為 -8.7×1021J,Vm取值為1.8×10-5m3·mol-1,取值為 8.31 J·K-1·mol-1,T取值為293 K.由式(27)可得水膜厚度與相對(duì)濕度的關(guān)系曲線,并將理論的結(jié)果與其他實(shí)驗(yàn)者的實(shí)驗(yàn)值[39-40]進(jìn)行比較,得到如圖8 所示曲線.從圖中可以看出,Kelvin 模型與其他實(shí)驗(yàn)者所做的實(shí)驗(yàn)曲線符合得很好,這進(jìn)一步證明了模型建立的正確性.

圖8 液膜厚度與相對(duì)濕度的關(guān)系Fig.8 Relationship between water film thickness and relative humidity

文獻(xiàn)[41]詳盡計(jì)算了不同液橋生成模型對(duì)液橋耗散的貢獻(xiàn),明確了在3 種模型中擠出模型占據(jù)主導(dǎo)地位.液橋模型示意圖如圖9 所示,若不考慮探針針尖與樣品表面接觸后發(fā)生彈性形變,可以得到液橋擠出模型體積的表達(dá)式為

圖9 液橋模型示意圖Fig.9 Schematic diagram of liquid bridge model

式中,Rt為針尖的曲率半徑,Rt?hl.

一般認(rèn)為液橋在凝聚和破碎過程中處于等容過程,即液橋的體積不變.那么毛細(xì)力應(yīng)是液橋表面張力和液橋內(nèi)外的Young-Laplace 壓力差之和,具體表達(dá)式為[42]

之后,當(dāng)探針離開樣品,微懸臂梁探針需克服毛細(xì)力的作用做功,由此通過積分可以得到因液橋成形與拉斷導(dǎo)致的能量耗散大小為

將其視為一單自由度系統(tǒng),通過品質(zhì)因數(shù)的定義,能得到液橋耗散的品質(zhì)因數(shù)為

其中,W是系統(tǒng)存儲(chǔ)的總能量,D是懸臂梁的振幅,通常是幾十納米,ke為懸臂梁的等效剛度.

詳細(xì)的理論求解可參考文獻(xiàn)[17,41-42],通過實(shí)驗(yàn)?zāi)艿玫胶纳⒛芘c相對(duì)濕度的關(guān)系如圖10 所示,擠出模型的理論值與實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如圖11 所示.

圖10 相對(duì)濕度與耗散能的關(guān)系Fig.10 Relationship between relative humidity and dissipation energy

圖11 不同相對(duì)濕度下品質(zhì)因數(shù)的關(guān)系Fig.11 Relationship of quality factor under different relative humidity

從圖10 和圖11 中可以看出,探針在靠近接觸樣品的過程中AFM 耗散能會(huì)隨著相對(duì)濕度的增加而增加,品質(zhì)因數(shù)Q會(huì)隨著相對(duì)濕度的增大而減小.通過實(shí)驗(yàn)和理論模型的分析,能發(fā)現(xiàn)擠出模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得比較好.并且通過圖10,得到液橋的耗散能大約為 10-18～10-17J 的量級(jí),從品質(zhì)因數(shù)的變化來(lái)看,由液橋帶來(lái)的耗散使AFM 探針的品質(zhì)因數(shù)從405 降到了380.通過計(jì)算,?Q=6156,那么可以估計(jì)微懸臂梁在液橋耗散的影響下,系統(tǒng)品質(zhì)因數(shù)的變化大概在 103量級(jí).

2.3 在液體中的外部耗散

AFM 作為一種顯微鏡技術(shù),其工作的范圍并不僅限于氣體環(huán)境,在液體環(huán)境也有十分重要的應(yīng)用.如在生物學(xué)研究領(lǐng)域,由于幾乎所有的生物過程都是在液體中發(fā)生的,這些過程往往依賴于某些鹽的存在和溶液的濃度.另外,許多生物樣品在干燥時(shí)會(huì)顯著發(fā)生結(jié)構(gòu)的改變,導(dǎo)致不能獲得樣品原本的信息.因此,AFM 能在緩沖溶液中成像和測(cè)量樣品的能力對(duì)許多生物實(shí)驗(yàn)至關(guān)重要[20].

AFM 在液體中的成像,與在大氣環(huán)境下類似,會(huì)受到自身的內(nèi)稟耗散,支撐損耗及外部環(huán)境中液體黏性阻尼的作用,但與大氣環(huán)境不同的是,由于液體的不可壓縮性及完全處于水分子的環(huán)境,此時(shí)系統(tǒng)中壓膜阻尼和液橋的影響都不存在.同時(shí),與微懸臂梁在空氣中的振動(dòng)相比,在液體中懸臂梁的振動(dòng)行為發(fā)生了顯著的改變.例如,對(duì)于矩形懸臂梁來(lái)說,其在水中一階共振模式的頻率為在大氣環(huán)境下的1/5 ～1/3[43].共振頻率的降低可以用流體載荷的影響來(lái)解釋,液體的密度比空氣大,使得微懸臂梁的有效質(zhì)量增加,液體的黏滯性增加了流體動(dòng)力阻尼,使得品質(zhì)因數(shù)降低.在這里,對(duì)微懸臂梁探針遠(yuǎn)離樣品表面的振動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行討論,并且為了研究方便,可以把微懸臂梁探針看作是一個(gè)具有集中質(zhì)量的振動(dòng)球的形式,懸臂梁和振動(dòng)球的轉(zhuǎn)化示意圖如圖12 所示.

圖12 微懸臂梁在液體中振動(dòng)示意圖Fig.12 Schematic diagram of vibration of micro-cantilever beam in liquid

一般來(lái)說,當(dāng)AFM 在離樣品較遠(yuǎn)處振動(dòng)時(shí),由流體帶來(lái)的附加阻尼力的影響可以用阻尼項(xiàng)和慣性項(xiàng)來(lái)表示

其中,ce3表示液體的等效阻尼,mL表示液體帶來(lái)的附加質(zhì)量,u表示懸臂梁的位置.

經(jīng)過上面的分析,在液體中微懸臂梁的等效質(zhì)量可表示為

其中,me由式(14)可知為 0.24m.

為了明確在液體中微懸臂梁等效質(zhì)量的大小,使用簡(jiǎn)化的Greenspon[44]理論來(lái)計(jì)算液體中梁的振動(dòng),得到表達(dá)式為

而對(duì)于黏性阻尼部分,分析與大氣環(huán)境中相同,兩者差別在于兩者密度及動(dòng)力黏度不同,等效阻尼表示為

其中,ηL表示液體的動(dòng)力黏度,以水為例ηL=8.59×10-4kg/(s·m),ρL=997 kg/m3.這樣能得到液體中梁品質(zhì)因數(shù)的表達(dá)式為

同樣討論尺寸為 135 μm×40 μm×4 μm 的微懸臂梁探針,探針材料為硅,考慮所處液體環(huán)境為水環(huán)境,能得到梁在水中的各項(xiàng)參數(shù)及品質(zhì)因數(shù)如表3 所示.

表3 液體中梁的參數(shù)及品質(zhì)因數(shù)Table 3 Parameters and quality factor of beam in liquid

從表3 的結(jié)果可以看出,當(dāng)AFM 微懸臂梁探針在液體環(huán)境中振動(dòng)時(shí),流體的慣性效應(yīng)使得液體中微懸臂梁的有效質(zhì)量增加,同時(shí),由于流體的黏性力也比氣體環(huán)境大很多,其耗散阻尼增加,使得品質(zhì)因數(shù)降低.在這里,我們分析了微懸臂梁探針在遠(yuǎn)離樣品時(shí)由于液體的黏性阻尼對(duì)品質(zhì)因數(shù)的影響,對(duì)于尺寸為 135 μm×40 μm×4 μm 的微懸臂梁來(lái)說,論述了它在液體環(huán)境下的等效質(zhì)量及等效阻尼的影響,得到了梁在水環(huán)境下的理論品質(zhì)因數(shù)為8.83.由此能估計(jì)微懸臂梁在液體環(huán)境下,由于流體的黏性阻尼所引起的耗散對(duì)微懸臂梁品質(zhì)因數(shù)的貢獻(xiàn)量級(jí)大概在10 左右.有文獻(xiàn)給出,溶液中微懸臂梁品質(zhì)因數(shù)的范圍為 1 ～5[19,45],但考慮到微懸臂梁尺寸、剛度及液體種類不同,可以認(rèn)為由本文所計(jì)算出的理論品質(zhì)因數(shù)是合理的.

3 討論

AFM 微懸臂梁探針在一個(gè)振動(dòng)周期中存在著各種不同類型的能量耗散,其中核心耗散是要重點(diǎn)關(guān)注的部分,其他的耗散會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生影響,使其品質(zhì)因數(shù)降低.本文針對(duì)一個(gè)典型的輕敲式AFM探針系統(tǒng)進(jìn)行了研究,得到眾多耗散的量級(jí)示意圖如圖13 所示.在不同的工作環(huán)境,AFM 工作過程中的能量耗散機(jī)制也稍有區(qū)別,下面將對(duì)不同環(huán)境下的能量耗散進(jìn)行討論,并明確其具體的貢獻(xiàn)量級(jí).

圖13 典型輕敲式AFM 探針品質(zhì)因數(shù)量級(jí)分布圖Fig.13 Order of magnitude distribution of quality factor for a typical tapping mode AFM probe

當(dāng)AFM 在超高真空下工作時(shí),此時(shí)沒有氣體作用,氣體阻尼不對(duì)微懸臂梁探針產(chǎn)生影響,能量耗散主要是由內(nèi)稟耗散及外部耗散中的支撐損耗組成.根據(jù)圖13 所示,可知內(nèi)稟耗散中的表面耗散和熱彈性耗散對(duì)品質(zhì)因數(shù)的影響能達(dá)到 105量級(jí),而其他內(nèi)稟耗散對(duì)品質(zhì)因數(shù)的影響與前兩者具有數(shù)量級(jí)的差距.同時(shí),外部耗散的支撐損耗對(duì)品質(zhì)因數(shù)的影響在104量級(jí),比前兩者稍大.可見此時(shí)在這些耗散中占據(jù)主導(dǎo)作用的耗散機(jī)制為支撐損耗、表面耗散和熱彈性耗散,這就是當(dāng)AFM 系統(tǒng)在超高真空中工作時(shí),品質(zhì)因數(shù)往往會(huì)達(dá)到上萬(wàn)的原因.

當(dāng)AFM 在氣體環(huán)境中工作時(shí),如果不考慮水分子的作用,如在氮?dú)猸h(huán)境下.此時(shí)氣體環(huán)境中沒有水分子的存在,液橋耗散不納入考慮,那么氣體對(duì)微懸臂梁的品質(zhì)因數(shù)產(chǎn)生影響的是由于氣體黏性阻尼和氣體壓膜阻尼帶來(lái)的耗散.雖然此時(shí)內(nèi)稟耗散和支撐損耗也存在,但相比于氣體阻尼產(chǎn)生的耗散來(lái)說十分微小.從圖13 所展示的量級(jí)來(lái)看,氣體阻尼中黏性阻尼和壓膜阻尼對(duì)品質(zhì)因數(shù)的影響量級(jí)范圍在102左右,而對(duì)系統(tǒng)影響最大的內(nèi)稟耗散,如表面損耗和熱彈性損耗,對(duì)微懸臂梁品質(zhì)因數(shù)的影響量級(jí)在 105,外部耗散的支撐損耗對(duì)品質(zhì)因數(shù)的影響量級(jí)在 104,這些耗散都遠(yuǎn)低于氣體阻尼所引起的耗散.可見在氮?dú)猸h(huán)境下起主要耗散作用的是氣體黏性阻尼和壓膜阻尼.

而當(dāng)AFM 在另一個(gè)極端環(huán)境下工作時(shí),即考慮微懸臂梁在液體中的振動(dòng)情況.前面有討論大氣中由于水分子的作用針尖和樣品表面通常會(huì)形成一層薄薄的水膜,受到毛細(xì)力的作用,產(chǎn)生液橋耗散.而當(dāng)探針完全浸沒在液體環(huán)境中工作時(shí),毛細(xì)力的影響消失,此時(shí)的耗散是液體黏性阻尼所引起的耗散.由于液體的密度比空氣的密度大,慣性作用使液體中微懸臂梁的有效質(zhì)量增加,同時(shí)液體的黏滯性會(huì)導(dǎo)致微懸臂梁振動(dòng)的流體動(dòng)力阻尼,使得微懸臂梁的品質(zhì)因數(shù)和頻率降低.在前文中,通過理論分析給出了當(dāng)AFM 的微懸臂梁探針在遠(yuǎn)離樣品的水中振動(dòng)時(shí),其受到水的黏性阻尼作用使得梁品質(zhì)因數(shù)的量級(jí)范圍在10 左右,此時(shí)內(nèi)稟耗散及支撐損耗仍然存在,但相比于液體黏性阻尼所引起的耗散來(lái)說幾乎可以忽略.可見在液體環(huán)境中,主導(dǎo)微懸臂梁品質(zhì)因數(shù)的耗散是由液體黏性阻尼產(chǎn)生的耗散.

對(duì)于更一般的情況,AFM 通常都在大氣環(huán)境中工作,此時(shí),空氣中存在多種氣體成分.對(duì)于探針振動(dòng)周期中一個(gè)連續(xù)性過程的能量耗散研究,有如下的闡述.當(dāng)探針在遠(yuǎn)離樣品時(shí),空氣中的黏性阻尼在耗散中占據(jù)主導(dǎo),對(duì)梁品質(zhì)因數(shù)的影響量級(jí)范圍為102.之后在探針靠近樣品的過程中,壓膜阻尼需要納入考慮,壓膜阻尼對(duì)探針品質(zhì)因數(shù)的影響量級(jí)在102～103.然后隨著探針接觸樣品,針-樣之間由于空氣中水分子所形成的水膜而會(huì)有液橋耗散的產(chǎn)生,由液橋?qū)α浩焚|(zhì)因數(shù)產(chǎn)生的影響量級(jí)為 103.同樣,內(nèi)稟耗散和支撐耗散在這一連續(xù)過程的各個(gè)階段都存在,但從圖13 的量級(jí)分布圖可以看出,這些耗散相比于前面的3 種耗散來(lái)說都較小.可見,在這一個(gè)連續(xù)的振動(dòng)周期中,雖然在不同位置處主導(dǎo)的耗散不同,但這些耗散都與外部環(huán)境的空氣有關(guān).

上文已經(jīng)討論了不同工作環(huán)境下,整個(gè)AFM 系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)大小.我們發(fā)現(xiàn),內(nèi)稟耗散和支撐損耗遠(yuǎn)比流體阻尼引起的耗散低.另外,在不同環(huán)境條件下由流體阻尼引起的能量耗散也不盡相同,其中液體的黏性阻尼導(dǎo)致的能量耗散最多,大氣環(huán)境中由于水分子的作用,存在3 種不同的能量耗散機(jī)制,引起的能量耗散也不小,而氮?dú)猸h(huán)境不考慮水分子的影響,只有兩種耗散機(jī)制,相較于前兩者稍低,最后在真空環(huán)境中無(wú)流體阻尼作用,其能量耗散最小.總結(jié)AFM 探針在這些環(huán)境下的耗散,能得到在不同環(huán)境下系統(tǒng)品質(zhì)因數(shù)的大小如表4 所示.

表4 不同環(huán)境條件下其他耗散類型及量級(jí)對(duì)比Table 4 Comparison of other dissipation types and magnitudes under different environmental conditions

之后,對(duì)于其他耗散與核心耗散的關(guān)系,以空氣環(huán)境為例,當(dāng)探針在大氣環(huán)境中掃描樣品時(shí),通過實(shí)驗(yàn)得到的品質(zhì)因數(shù)依據(jù)樣品種類不同而有所區(qū)別,但在完整的一個(gè)過程中,總的耗散包含了核心耗散和其他耗散(內(nèi)稟耗散及外部耗散)的影響.從上文中關(guān)于其他耗散的討論來(lái)看,其中由空氣阻尼產(chǎn)生的耗散對(duì)系統(tǒng)品質(zhì)因數(shù)的影響最大,影響的量級(jí)范圍能到 102,這其中包括了3 種耗散機(jī)制的影響,空氣黏性阻尼、壓膜阻尼及液橋耗散.而若將核心耗散納入考慮,根據(jù)所測(cè)樣品種類的不同,核心耗散的品質(zhì)因數(shù)量級(jí)范圍在 1 ～105[18],此時(shí)在眾多的能量耗散中,核心耗散才是我們所重視的.但是,其他耗散并沒有遠(yuǎn)低于核心耗散,甚至在某些樣品情況下其他耗散遠(yuǎn)大于核心耗散,因而,研究其他耗散對(duì)系統(tǒng)核心耗散的“掩蓋”作用是必不可少的.

最后,在眾多的耗散機(jī)制中,所有耗散都會(huì)對(duì)系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)產(chǎn)生影響,然而,只有探針與樣品真正接觸的黏附耗散(核心耗散)才能反映樣品真實(shí)的性質(zhì),其所對(duì)應(yīng)的相位信息才是我們需要的.而其他耗散會(huì)降低核心耗散在系統(tǒng)總耗散中的占比,引起掃描圖像對(duì)比度降低,使得圖像中的有效信息被削弱.本文針對(duì)這一情況對(duì)這些其他耗散的量級(jí)范圍進(jìn)行了估計(jì),明確了在不同環(huán)境下存在的耗散機(jī)制及量級(jí)貢獻(xiàn).這為減弱其他耗散對(duì)系統(tǒng)品質(zhì)因數(shù)的影響從而達(dá)到優(yōu)化系統(tǒng),提高系統(tǒng)靈敏度和準(zhǔn)確性的目的,具有十分重大的意義.

4 結(jié)論

本文研究了微懸臂梁在一個(gè)振動(dòng)周期中,不同階段和不同環(huán)境下的能量耗散機(jī)理,明確了各耗散機(jī)制對(duì)系統(tǒng)總能量耗散的貢獻(xiàn),為減弱其他耗散對(duì)系統(tǒng)品質(zhì)因數(shù)的影響提供了理論參考.在文中,根據(jù)耗散來(lái)源的不同,對(duì)影響AFM 系統(tǒng)的其他耗散進(jìn)行了具體分類,將其分為了內(nèi)稟耗散及外部耗散,并在此基礎(chǔ)上對(duì)它們的作用機(jī)理和對(duì)總品質(zhì)因數(shù)的量級(jí)貢獻(xiàn)進(jìn)行了詳細(xì)的闡述.

之后,對(duì)于在空氣中工作的AFM,考慮了不同能量耗散機(jī)制之間的耦合關(guān)系,將探針從遠(yuǎn)離樣品到靠近并接觸樣品表面這一動(dòng)態(tài)連續(xù)過程進(jìn)行了綜合考慮,并利用實(shí)驗(yàn)和理論的方法進(jìn)行了驗(yàn)證,分析表明,在這一連續(xù)過程中起主導(dǎo)作用的其他耗散包括空氣黏性阻尼,壓膜阻尼及液橋耗散.最后,討論了在不同環(huán)境下存在的能量耗散類型,說明了在真空中,無(wú)水分子的氮?dú)猸h(huán)境,正常大氣及液體中的主要能量耗散機(jī)制,得到了它們?cè)诟髯原h(huán)境下對(duì)系統(tǒng)總品質(zhì)因數(shù)的量級(jí)貢獻(xiàn).比較這些耗散,我們發(fā)現(xiàn),液體環(huán)境中的能量耗散作用最強(qiáng),正常大氣環(huán)境次之,然后是氮?dú)猸h(huán)境以及具有最小耗散的真空環(huán)境.