朱賢良 成輝
【摘? 要】? “誤中悟”教育理念將學(xué)生學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的錯誤看成是一種具有開發(fā)價值的教學(xué)資源,鼓勵并引導(dǎo)學(xué)生從錯誤中去發(fā)現(xiàn)規(guī)律、重構(gòu)真理.“誤中悟”教育理念以培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,圍繞學(xué)習(xí)主題來創(chuàng)設(shè)適切的情境,從“誤區(qū)”與“霧區(qū)”出發(fā),預(yù)設(shè)聚焦目標(biāo)性“大問題”的層層遞進(jìn)的子問題串,通過聯(lián)系、比較、試誤、調(diào)整、重構(gòu)等過程,使認(rèn)識從模糊、零碎、淺表逐步進(jìn)階到清晰、整體、深刻.其課堂活動主線由“博學(xué)格物”“審問疑霧”“慎思試誤”“明辨頓悟”“篤行溫焐”“反思務(wù)本”六個環(huán)節(jié)構(gòu)成.
【關(guān)鍵詞】? 誤中悟;導(dǎo)數(shù);幾何意義;切線
傳統(tǒng)意義上的高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課一般包括主干知識梳理、典型例題精講和變式練習(xí)鞏固等幾個教學(xué)環(huán)節(jié),其中主干知識梳理還往往得不到重視,復(fù)習(xí)課徹底淪為“題型+方法+練習(xí)”的單一模式.這樣的復(fù)習(xí)方法在學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與核心素養(yǎng)的培養(yǎng)方面存在著相當(dāng)程度的矛盾和缺陷[1]:一方面,數(shù)學(xué)課堂除了教師的講解和學(xué)生簡單的操練之外,沒有充分供學(xué)生探究和反思的時間與空間;另一方面,在平常的學(xué)習(xí)過程中,不少學(xué)生雖然長時間在數(shù)學(xué)題海中浮沉,但對于一些新穎情境的試題尤其是對數(shù)學(xué)能力要求較高的試題仍然是束手無策、一籌莫展.那么,一輪復(fù)習(xí)中究竟應(yīng)該怎樣設(shè)計教學(xué)流程、開展教學(xué)活動,才能有效提高教學(xué)效率、培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢?
從課堂教學(xué)出發(fā),筆者所在教研團(tuán)隊(duì)進(jìn)行了多年的理論學(xué)習(xí)與實(shí)踐探索,提出了“誤中悟”教育理念.“誤中悟”教育理念倡導(dǎo)懷疑和批判精神,善待錯誤,將學(xué)生學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的形形色色的錯誤看成是一種具有開發(fā)價值的教學(xué)資源,鼓勵并引導(dǎo)學(xué)生從錯誤中去發(fā)現(xiàn)規(guī)律、重構(gòu)真理.“誤中悟”教育理念以培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,圍繞學(xué)習(xí)主題來創(chuàng)設(shè)適切的情境,從“誤區(qū)”與“霧區(qū)”出發(fā),預(yù)設(shè)聚焦目標(biāo)性“大問題”的層層遞進(jìn)的子問題串,敏銳、及時地捕捉錯誤.在具體的課堂教學(xué)過程中,“誤中悟”教育理念以問題引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“博學(xué)格物”“審問疑霧”“慎思試誤”“明辨頓悟”“篤行溫焐”“反思務(wù)本”六個環(huán)節(jié),通過聯(lián)系、比較、試誤、調(diào)整、重構(gòu)等過程,使認(rèn)識從模糊、零碎、淺表逐步進(jìn)階到清晰、整體、深刻[2].本文以“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”一輪復(fù)習(xí)第一課時為例,設(shè)計“誤中悟”教育理念下的復(fù)習(xí)教學(xué).1? 案例設(shè)計1.1? 曲線的切線的知識背景與教學(xué)要求1.1.1? 曲線的切線的知識背景[3]
初中平面幾何中對圓的切線作了這樣的定義:如果直線和圓有惟一公共點(diǎn),則稱直線與圓相切.這時直線叫做圓的切線,惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).
圓是一種特殊的曲線,上述定義并不適用于一般曲線的切線.比如,圖1中,對于曲線C,直線l1雖然與曲線C有惟一的公共點(diǎn)N,但我們不能認(rèn)為它與曲線C相切;而另一條直線l2,雖然與曲線C有不只一個公共點(diǎn),我們還是認(rèn)為它是曲線C在點(diǎn)M處的切線.因此,以上圓的切線的定義并不適用于一般的曲線.
如圖2,設(shè)Q為曲線C上不同于P的一點(diǎn),這時直線PQ稱為曲線C的割線.隨著點(diǎn)Q沿曲線C向點(diǎn)P運(yùn)動,割線PQ在點(diǎn)P附近越來越逼近曲線C.當(dāng)點(diǎn)Q無限逼近點(diǎn)P時,直線PQ最終就成為在點(diǎn)P處最逼近曲線的直線l,這條直線l稱為曲線C在點(diǎn)P處的切線.
由平面幾何知識可知,割線PQ斜率kPQ=f(x0+d)-f(x0)d.當(dāng)點(diǎn)Q無限接近點(diǎn)P時,即d趨近于0時,f′(x0)=limd→0f(x0+d)-f(x0)d的值即為曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線斜率,這也就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.所以,曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
通過逼近的方法,將割線趨于的確定位置的直線定義為切線,適用于各種曲線.所以,這個變化過程真正反映了切線的本質(zhì)特征.切線的本質(zhì),是在切點(diǎn)附近最接近曲線的直線.在這一點(diǎn)附近,比起用其他直線,用切線近似地代替曲線,誤差最小.函數(shù)的表達(dá)式千變?nèi)f化,但只要可導(dǎo),就可以在一點(diǎn)附近用一次函數(shù)近似地代替,而使得誤差最小.這就是微積分中重要的思想——以直代曲,實(shí)現(xiàn)了以簡單對象刻畫復(fù)雜對象的目的.1.1.2? 曲線的切線的教學(xué)要求與考查內(nèi)容
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》明確給出了本知識點(diǎn)的要求:通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.在近幾年高考中,“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”屬于高頻考點(diǎn),考查的基本類型主要包括四類:第一類,直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求解曲線在某點(diǎn)或過某點(diǎn)的切線方程;第二類,求解兩曲線的公切線方程;第三類,根據(jù)曲線的切線方程或切線條數(shù)求參數(shù)的取值或范圍;第四類,數(shù)形結(jié)合,借助“潛伏”的“隱切線”來求解相關(guān)問題.從題型來看,本知識點(diǎn)既頻繁在選擇、填空題中作為主角登場,又常在解答題中客串出場.從求解策略來看,解決這類問題的關(guān)鍵在于緊抓切點(diǎn),并求取切線方程.
1.2? “誤中悟”教育理念下的復(fù)習(xí)教學(xué)環(huán)節(jié)
1.2.1? 博學(xué)格物:完善導(dǎo)數(shù)的知識體系,并在具體問題中重溫求取切線方程的一般程序數(shù)學(xué)課堂中創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境,就是呈現(xiàn)給學(xué)生刺激性的數(shù)學(xué)信息,引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,喚起學(xué)生強(qiáng)烈的問題意識,使學(xué)生全心投入、全神貫注.一般來說,創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境時要遵循三個基本原則:一是力求真實(shí)而自然合理,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的緊密關(guān)聯(lián),引領(lǐng)學(xué)生使用抽象數(shù)學(xué)解決具體問題;二是富于趣味而引人深思,學(xué)生在問題驅(qū)動下更好地理解、內(nèi)化知識,逐步讓知識轉(zhuǎn)化為能力與素養(yǎng);三是促進(jìn)重構(gòu)而完善系統(tǒng),學(xué)生為了解決新舊知識之間的認(rèn)知沖突,需要擴(kuò)充與完善知識體系.
問題1? 上節(jié)課中,我們一起復(fù)習(xí)了“導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算”,那么利用導(dǎo)數(shù)這一工具可以解決哪些數(shù)學(xué)問題呢?(求曲線的切線方程、判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值與最值、研究函數(shù)的圖象與零點(diǎn)、證明不等式等等)
設(shè)計意圖? 通過回顧導(dǎo)數(shù)一章的知識體系,引導(dǎo)學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用形成系統(tǒng)認(rèn)知.
問題2? 圖3定格的是我國遼寧號航空母艦上艦載飛機(jī)滑躍起飛的瞬間,大家是否知道飛機(jī)在飛離甲板的那一瞬間,其速度的方向是怎樣的嗎?(速度的方向與甲板相切)
追問1? 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,我們曾用過哪些思路來求切線的方程?(函數(shù)圖象的切線利用導(dǎo)數(shù)法求解,圓的切線借助切線的性質(zhì)“d=r”解決,圓錐曲線的切線利用“Δ=0”求得)
追問2? 導(dǎo)數(shù)與切線有什么關(guān)系?(導(dǎo)數(shù)值f′(x0)表示曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處切線的斜率,此即導(dǎo)數(shù)的幾何意義)
追問3? 求函數(shù)圖象的切線方程分幾步完成?(求導(dǎo)函數(shù)f′(x)求切線的斜率k=f′(x0)寫出切線的方程并整理)
設(shè)計意圖? 借助實(shí)際問題引出本節(jié)課的復(fù)習(xí)內(nèi)容,增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識,并引發(fā)學(xué)生思考高中數(shù)學(xué)中求取曲線切線方程的思路方法,完善切線問題知識體系.在回顧導(dǎo)數(shù)的幾何意義的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生梳理利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求取切線方程的一般程序.例1? 求函數(shù)f(x)=x3的圖象在點(diǎn)(1,1)處的切線方程.
變式1-1? 過點(diǎn)P(1,0)作函數(shù)f(x)=x3圖象的切線,求切線的方程.
變式1-2? 過點(diǎn)Q(1,1)作函數(shù)f(x)=x3圖象的切線,求切線的方程.
師生活動:師生共同完成例1,并總結(jié)求取切線方程的“十二字口訣”——抓切點(diǎn),求斜率;點(diǎn)斜式,寫方程.學(xué)生先獨(dú)立完成兩道變式題并板演,再進(jìn)行討論、修正并形成共識.師生共同總結(jié)“在某點(diǎn)處的切線”與“過某點(diǎn)的切線”的區(qū)別,并完善對上述“十二字口訣”的認(rèn)知.
設(shè)計意圖? 借助實(shí)際問題引出本節(jié)課的復(fù)習(xí)內(nèi)容,并引發(fā)學(xué)生思考高中數(shù)學(xué)中求取曲線切線方程的思路方法,完善切線問題知識體系.在回顧導(dǎo)數(shù)幾何意義的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生梳理利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求取切線方程的一般程序.
1.2.2? 審問疑霧:探究函數(shù)奇偶性對切線斜率的影響,并由此簡化運(yùn)算過程
維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論將學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平與潛在發(fā)展水平之間的區(qū)域叫最近發(fā)展區(qū),最近發(fā)展區(qū)又分為自發(fā)展水平(通過自身努力可以達(dá)成的水平)和助發(fā)展水平(需要求助方可達(dá)成的發(fā)展水平).“誤中悟”教育理念將自發(fā)展水平與助發(fā)展水平之間的區(qū)域稱為“霧區(qū)”.高效地突破“霧區(qū)”,需要教師預(yù)設(shè)目標(biāo)性的“大問題”及其子問題串,引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)的視角(即形狀、位置、大小、度量、運(yùn)算、關(guān)系、模型等)來審視具體問題,探求破解之道.
例2? (2016年高考全國Ⅲ卷·文16)已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x≤0時,f(x)=e-x-1-x,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為?? ?.
師生活動:學(xué)生思考、討論,明確解題步驟:先求x>0時f(x)的解析式,再求其導(dǎo)數(shù)f′(x),進(jìn)而得到點(diǎn)(1,2)處的切線斜率k=f′(1),最后寫出切線的方程.
追問1? 用GGB軟件繪制某一偶函數(shù)f(x)的圖象,再作出圖象在關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn)A與A′處的切線(如圖4).當(dāng)我們移動點(diǎn)A時,你發(fā)現(xiàn)兩條切線的斜率之間有怎樣的關(guān)聯(lián)?
追問2? 這表明偶函數(shù)f(x)在關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)有什么樣的關(guān)系?(互為相反數(shù))你能否用數(shù)學(xué)表達(dá)式來表示這個結(jié)論?(f′(-x)=-f′(x))這一結(jié)論表明偶函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)具有怎樣的性質(zhì)?(f′(x)為奇函數(shù))
追問3? 你能利用這一發(fā)現(xiàn)來重新求解例2嗎?(先求得f′(-1),即可得到f′(1))
追問4? 類似地,觀察奇函數(shù)f(x)的圖象在關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn)B與B′處的切線(如圖5),你又能得出什么樣的結(jié)論?(f′(-x)=f′(x),即奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù))
設(shè)計意圖? 在具體問題的求解中,引導(dǎo)學(xué)生直觀感知函數(shù)的奇偶性對切線斜率的影響,并進(jìn)行抽象概括,由此發(fā)展學(xué)生的直觀想象與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).同時,利用所得結(jié)論簡化求解切線的過程,重構(gòu)方法體系.
例3? (2022年新高考全國Ⅱ卷·14)曲線y=lnx過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為??? 、??? .
師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生思考,并明確本題求解的兩個關(guān)鍵點(diǎn):一是“過坐標(biāo)原點(diǎn)”的切線,切點(diǎn)不明確,必須設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo);二是需要分別求x>0時曲線y=lnx的切線方程、x<0時曲線y=ln(-x)的切線方程,但結(jié)合函數(shù)的奇偶性與圖形的對稱性可以判斷,兩條切線的斜率互為相反數(shù),由此可以使運(yùn)算量減半.
設(shè)計意圖? 深化學(xué)生對“在某點(diǎn)處的切線”與“過某點(diǎn)的切線”區(qū)別的認(rèn)識,掌握含絕對值函數(shù)求導(dǎo)數(shù)與切線方程的一般思路,并領(lǐng)會函數(shù)的奇偶性與圖形的對稱性對切線斜率的影響.由此,可以培養(yǎng)學(xué)生分類討論意識、數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象素養(yǎng).
1.2.3? 慎思試誤:以公切線問題為契機(jī),給學(xué)生提供深思慎取、大膽試誤的舞臺
桑代克的“聯(lián)結(jié)—試誤”理論將人類的學(xué)習(xí)過程定義為刺激與反應(yīng)之間的聯(lián)結(jié),認(rèn)為知識與技能的獲得必須通過“嘗試—錯誤—再嘗試”這樣的一個試誤過程.錯誤、挫折的刺激,會產(chǎn)生強(qiáng)烈的反應(yīng),引起“觀念沖突”,這種刺激—反應(yīng)的聯(lián)結(jié),會觸動心靈,觸及靈魂,刻骨銘心,進(jìn)而喚起深度學(xué)習(xí).試誤需要沉浸式慎思,慎思就是要深思而慎取.學(xué)生通過自己的思維活動來仔細(xì)考察、思考、分析,充分發(fā)揮好奇心與想象力,大膽試誤,積極尋求有效的問題解決方案,借助證據(jù)和合理推理進(jìn)行有效論證.這一系列過程可以培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力,使其學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界[4].
例4? (2016年高考全國Ⅱ卷·理16)若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=??? .
師生活動:學(xué)生動手練習(xí),與教師預(yù)想的一致,出現(xiàn)了一類典型錯誤:由y=lnx+2得y′=1x;由y=ln(x+1)得y′=1x+1.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則k=1x0=1x0+1,無解.設(shè)計意圖? 在學(xué)生的易錯點(diǎn)處精心設(shè)置問題,可以充分暴露學(xué)生在知識掌握與思維邏輯上的缺陷,從而給教學(xué)活動提供良好的契機(jī).1.2.4? 明辨頓悟:引導(dǎo)學(xué)生明辨錯解中的不合理之處,形成對問題求解的正確認(rèn)知教師要鼓勵學(xué)生積極發(fā)表自己的意見,展示試誤的結(jié)果,并合作交流,在互動中明辨問題,批判質(zhì)疑,碰撞思維,擦出思想火花,互啟靈感,誘發(fā)頓悟,生成發(fā)現(xiàn).教師還要引導(dǎo)學(xué)生給出合理的評判和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C過程,得到定理、法則、公式的確認(rèn),然后用自然語言、圖形語言、符號語言予以表達(dá).如此,可培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力,使其學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界[4].問題3? 所謂公切線,即這條直線與兩條曲線都相切.換而言之,兩條曲線的所有切線中相同的直線即為公切線,求公切線問題實(shí)際上就是去尋找兩條曲線的所有切線中重合的直線.因此,既然是公切線,例4中曲線f(x)的切線斜率與g(x)的切線斜率自然相等,但k=1x0=1x0+1無解,難道曲線f(x)與g(x)沒有公切線?圖6
追問1? 以我們熟悉的兩圓的公切線為例.如圖6所示,當(dāng)兩圓相外切時,公切線有三條:直線a與兩圓相切于不同的兩點(diǎn)A1,A2,直線b與兩圓相切于不同的兩點(diǎn)B1,B2,直線c與兩圓相切于同一點(diǎn)C.由此,你能反思上述例4的解答過程有什么問題嗎?(公切線與兩曲線未必相切于同一個點(diǎn),可能切于不同的兩個點(diǎn))
追問2? 在例4中,直線y=kx+b與曲線y=lnx+2和y=ln(x+1)是相切于同一點(diǎn),還是不同的兩點(diǎn)呢?(不確定)方程k=1x0=1x0+1無解說明什么?(公切線與曲線f(x),g(x)不可能相切于同一個點(diǎn))
追問3? 上述例4的解答用一種特殊情況代替了一般性的情形,所以導(dǎo)致方程無解.在具體解題中,我們要特別注意思維過程的嚴(yán)密性,否則就會產(chǎn)生類似這樣的錯誤.現(xiàn)在,當(dāng)我們不能確定兩切點(diǎn)是否是同一個點(diǎn)時,應(yīng)該怎么辦?(分別設(shè)出兩個切點(diǎn))由此,你能給出例4的正確的解答過程嗎?
師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識公切線的實(shí)質(zhì),并對比兩圓的公切線的各種情形,引發(fā)學(xué)生反思與討論,認(rèn)識分析錯解產(chǎn)生的根源,并在此基礎(chǔ)上形成正確的求解過程.解? 設(shè)直線y=kx+b與曲線y=lnx+2相切于點(diǎn)(x1,lnx1+2),而y′=1x,故切線的斜率k=1x1,切線的方程為y-lnx1-2=1x1(x-x1),即y=1x1x+lnx1+1.
再設(shè)直線y=kx+b與曲線y=ln(x+1)相切于點(diǎn)(x2,ln(x2+1)),而y′=1x+1,故切線的斜率k=1x2+1,切線的方程為y-ln(x2+1)=1x2+1(x-x2),即y=1x2+1x+ln(x2+1)-x2x2+1.
因?yàn)閮蓷l切線重合,故k=1x1=1x2+1,b=lnx1+1=ln(x2+1)-x2x2+1,解得x1=12,x2=-12,所以b=ln12+1=1-ln2.
設(shè)計意圖? 從學(xué)生熟悉的兩圓的公切線入手,可以引發(fā)較為強(qiáng)烈的刺激,促使學(xué)生進(jìn)行自覺分析,辨明錯解產(chǎn)生的根源,并最終形成公切線問題的正確求解思路.
1.2.5? 篤行溫焐:學(xué)以致用,鞏固與強(qiáng)化對公切線問題求解程序的認(rèn)識
我國明代著名思想家王陽明的“知行合一”思想認(rèn)為,“知是行之始,行是知之成”“知是行的主意,行是知的功夫”.在學(xué)生獲得頓悟后,教師要精心設(shè)計適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練,注重基礎(chǔ)性、探究性、實(shí)踐性、綜合性的練習(xí),體現(xiàn)有關(guān)、有用、有趣,鞏固“誤中悟”的成果,將所悟及時“小火慢燉” 即“溫焐”,使其固化為本領(lǐng)和素養(yǎng).當(dāng)然,鞏固訓(xùn)練要有梯度,漸次漸進(jìn)、逐層逐級、循序漸進(jìn).訓(xùn)練要有溫度,用心用情個性化量身定制,切忌“大火爆炒”“直通高考”[4].
例5? 求曲線f(x)=ex-1與曲線g(x)=elnx的公切線方程.
變式? (2020年高考全國Ⅲ卷·理10)若直線l與曲線y=x和x2+y2=15都相切,則l的方程為(? ).
A.y=2x+1??? B.y=2x+12
C.y=12x+1? D.y=12x+12
設(shè)計意圖? 篤行溫焐旨在深化理解已學(xué)知識,厚積活動經(jīng)驗(yàn),焐熟技能方法,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用遷移、問題解決能力.
1.2.6? 反思務(wù)本:梳理、總結(jié)學(xué)習(xí)過程,深化對知識與思想方法的理解
元認(rèn)知理論認(rèn)為,反思性學(xué)習(xí)就是學(xué)習(xí)者對自身學(xué)習(xí)活動的過程以及活動過程中所涉及的有關(guān)信息、思維、結(jié)果等學(xué)習(xí)特征的反向思考.學(xué)生主動反思本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程、建立知識探究框架、觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)、凝練思想方法;教師在學(xué)生反思的基礎(chǔ)上對學(xué)生進(jìn)行評價指導(dǎo),可以借助思維導(dǎo)圖工具呈現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu),回溯經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn),回憶結(jié)果與結(jié)論,回顧過程與方法,回味情感與價值.反思務(wù)本就是務(wù)元務(wù)本,達(dá)到深入淺出,厚積薄發(fā),由厚到薄,大道至簡的境界[4].
問題4? 本節(jié)課,我們一起復(fù)習(xí)了“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”這一知識點(diǎn),你有哪些新的認(rèn)識?
師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程,整理自己對知識與思想方法的新認(rèn)識,并梳理自己的學(xué)習(xí)成果.學(xué)生對“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”的新的感悟包括:求切線方程的核心是抓住切點(diǎn);注意“在點(diǎn)A處的切線”與“過點(diǎn)A的切線”的區(qū)別;曲線“在點(diǎn)A處的切線”是唯一的,“過點(diǎn)A的切線”可能有多條;當(dāng)切點(diǎn)未知時,要先設(shè)出切點(diǎn);求公切線時,要分別設(shè)出兩個切點(diǎn)……
設(shè)計意圖? 經(jīng)過淺出、薄發(fā)、聚合形成創(chuàng)新意識、科學(xué)精神、文化認(rèn)同,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法,悟育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
2? 教學(xué)反思
一輪復(fù)習(xí)不是對學(xué)過的舊知識的簡單重復(fù),通過復(fù)習(xí)要使學(xué)生加深對所學(xué)知識的理解,啟發(fā)學(xué)生體會知識間的聯(lián)系和發(fā)展等辯證觀點(diǎn),使學(xué)生不僅獲得“知”,更讓學(xué)生得到“識”,使學(xué)生既要得到“魚”,又要學(xué)會“漁”.“誤中悟”教育理念指導(dǎo)下的復(fù)習(xí)課教學(xué)就是強(qiáng)調(diào)把相關(guān)知識點(diǎn)置于具有一定復(fù)雜性的問題情境中,從大膽試誤出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生暴露自己的思維過程,通過列舉反例、變式等手段組織學(xué)生進(jìn)行辯論、交流,讓學(xué)生深深地卷入教學(xué)情境,思維表現(xiàn)出較高的批判性,進(jìn)而矯正并豐富學(xué)生的認(rèn)知,建構(gòu)準(zhǔn)確、合理的知識體系[5].2.1? 轉(zhuǎn)換視角,將“錯誤”視為具有開發(fā)價值的教學(xué)資源
如何看待學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的形形色色的錯誤,是我們開展“誤中悟”教學(xué)所要考慮的首要問題.“誤中悟”教育理念認(rèn)為,要真正追求知識,探尋真理,犯錯是必要的階段,沒有誰的認(rèn)識能繞過錯誤.換而言之,學(xué)生在掌握新的定義定理公式、領(lǐng)悟知識內(nèi)涵的過程中,“錯誤”是必經(jīng)的關(guān)卡,這就如同孩子是在多次的跌倒中慢慢學(xué)會走路,學(xué)生也是通過犯錯后的不斷總結(jié)與反思來生成新的知識、掌握新的本領(lǐng).因此,擅長總結(jié)錯誤,從錯誤中分析出合理與不合理的成分,是對知識與方法形成正確認(rèn)知的一項(xiàng)必備技能,而教師引導(dǎo)學(xué)生放開手腳、不受外在約束地大膽嘗試與創(chuàng)新就成為培育學(xué)生理性思維與探究精神的重要手段.
從教師“教”的角度來看,學(xué)生的“錯誤”往往反映了其認(rèn)知過程中的盲區(qū)與疑難所在,這給我們準(zhǔn)確掌握學(xué)情、合理確定教學(xué)重心提供了參考,從而強(qiáng)化教學(xué)活動的針對性與有效性.從學(xué)生“學(xué)”的角度來看,數(shù)學(xué)概念與技能的掌握,既需要樹立正面的“形象”,還需要“錯誤”這面鏡子.以“錯誤”為鑒,可糾正偏離的認(rèn)知.正、反“形象”的比照,對學(xué)生的思維可產(chǎn)生強(qiáng)烈的刺激,以促進(jìn)對正確理念的深刻理解、領(lǐng)悟與牢固記憶,增強(qiáng)對“錯誤”的免疫力,并豐富他們的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).“誤中悟”教育理念所倡導(dǎo)的,就是要充分開發(fā)、利用好“錯誤”這一資源,分析其中對教與學(xué)有積極影響的因素,讓“錯誤”成為改善教與學(xué)方式的強(qiáng)大推動力.
2.2? 精心設(shè)計,讓“錯誤”成為提升復(fù)習(xí)效率的重要抓手
如前所述,一輪復(fù)習(xí)課不是對高一、高二教學(xué)內(nèi)容的簡單重復(fù)與強(qiáng)化,而是引導(dǎo)學(xué)生在舊知識與已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,對所學(xué)知識與思想方法的再構(gòu)與系統(tǒng)化.為調(diào)動學(xué)生思維的參與,我們同樣需要像新課那樣創(chuàng)設(shè)問題情境激活關(guān)于舊知的記憶,在問題解決中加深對知識的再理解.顯然,這樣做比直白的告知或匆匆過一遍的教學(xué)效果要好得多. 這就需要教師課前要精心設(shè)計能串起所復(fù)習(xí)的主干知識的問題.如果我們能從學(xué)生易迷糊、易疏忽、易犯錯的知識點(diǎn)或是問題著手,強(qiáng)烈的認(rèn)知落差容易激發(fā)學(xué)生的好奇心,讓學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲.因此,在復(fù)習(xí)教學(xué)時,我們可以精心設(shè)計,把學(xué)生的認(rèn)知“迷霧”與“錯誤”作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)或是重要環(huán)節(jié),讓“迷霧”與“錯誤”成為提升一輪復(fù)習(xí)效率的重要抓手.
開展具體的復(fù)習(xí)教學(xué)時,教師要充分調(diào)研學(xué)情與考情,并根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)預(yù)判學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)與易錯點(diǎn).比如在“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”復(fù)習(xí)之前,筆者根據(jù)班級學(xué)生的知識掌握情況,將本節(jié)課的易錯點(diǎn)歸結(jié)為兩個:一是不能區(qū)分“在一點(diǎn)處的切線”與“過一點(diǎn)的切線”,這是部分同學(xué)存在的問題,可以讓其他同學(xué)參與討論并糾正錯誤;二是兩條曲線的公切線問題,部分同學(xué)未認(rèn)識到切點(diǎn)一般有兩個這一事實(shí),也有部分同學(xué)束手無策.本節(jié)課還有一個容易讓人迷糊的地方,就是高考試題中出現(xiàn)的函數(shù)解析式未明確或是不能直接求導(dǎo)時,該怎樣去求取切線的斜率這一問題.基于以上的分析與判斷,筆者在實(shí)施“誤中悟”教育理念下的一輪復(fù)習(xí)時,把導(dǎo)數(shù)的幾何意義置于多種具有一定復(fù)雜性的問題情境中,分別著眼于不同的側(cè)面,使學(xué)生對相關(guān)知識與思想方法形成多角度、多層次的理解.
2.3? 穿越迷霧,借“糾錯”活動發(fā)展科學(xué)理性的思維能力
“誤中悟”教育理念將學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中敢于嘗試錯誤并分析、辯論、反思錯誤的行為看成是一種科學(xué)、理性的探究精神.這種敢于試錯、分析并總結(jié)反思的行為習(xí)慣有利于分辨知識的表象與本質(zhì),促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的深入理解.從這個意義上說,“錯誤”讓知識以一種更自然的方式生成,也正是在出錯和修正錯誤的探究過程中,課堂才是最鮮活的,教學(xué)才是最美麗動人的.正如著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞所說的那樣,“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑都是由自己去實(shí)踐探究,因?yàn)檫@種方式理解得最深刻,也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系”[6].因而,教師需要做的是鼓勵并引導(dǎo)學(xué)生去嘗試探究,穿越層層迷霧,讓學(xué)生在“糾錯”過程中積累活動經(jīng)驗(yàn),發(fā)展科學(xué)、理性的思維能力.
能力來源于實(shí)踐,沒有實(shí)踐活動,沒有過程的參與體驗(yàn),就沒有經(jīng)驗(yàn)的積累,也談不上思維的訓(xùn)練.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中,一道數(shù)學(xué)題,一個數(shù)學(xué)概念,我們都可以從障礙、錯誤、總結(jié)等方面進(jìn)行活動設(shè)計,在解決認(rèn)知障礙、糾正思維錯誤、總結(jié)活動經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,真正達(dá)成思維能力的提升[7].從展示錯例出發(fā),逐步引導(dǎo)學(xué)生暴露自己的思維過程,通過列舉反例、變式等手段組織學(xué)生進(jìn)行辯論、交流,讓學(xué)生深深地進(jìn)入教學(xué)情境,思維表現(xiàn)出較高的批判性,并對知識的對與錯表現(xiàn)出高度的敏感,進(jìn)而矯正并豐富學(xué)生的認(rèn)知,建構(gòu)準(zhǔn)確、合理的知識體系.在糾錯過程中,教師要退到引導(dǎo)者、參與者的角度,要讓學(xué)生成為思維的主體、探究的主體、辯論的主體、反思的主體.學(xué)生動眼觀察、動手解答、動口交流、動腦總結(jié),如此教與學(xué),能力可以提升,素養(yǎng)方能達(dá)成.
參考文獻(xiàn)
[1]? 施小斌,沈新權(quán).基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計——以《曲線的切線方程的求法及應(yīng)用》為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2017(23):19-22.
[2]? 朱賢良,唐錄義.“誤中悟”教育理念下的“導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中),2023(04):46-50.
[3]? 新青年數(shù)學(xué)教師工作室.高中數(shù)學(xué)素養(yǎng)養(yǎng)成手冊·選擇性必修第二冊[M].長沙:湖南教育出版社,2022.
[4]? 唐錄義.“6W”方式課堂表征[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2022(05):12-15.
[5]? 朱賢良,唐錄義,金超.錯誤資源巧開發(fā),誤中悟道明真知——“誤中悟”教育理念的開發(fā)背景與應(yīng)用前景[J].理科考試研究,2020(01):30-36.
[6]? 黃偉亮.芻議探究式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)課堂中的運(yùn)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬),2022(11):30-33.
[7]? 洪金堅,陳燕昌.基于“微主題”的高中數(shù)學(xué)校本教研實(shí)踐探索——以函數(shù)圖像公切線問題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2022(34):69-71.
作者簡介? 朱賢良(1981—),男,安徽樅陽人,高級教師;基礎(chǔ)教育省級教學(xué)成果一等獎獲得者,曾獲市級名教師、學(xué)科帶頭人、骨干教師、先進(jìn)教研個人等稱號;主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究;發(fā)表教學(xué)論文120多篇.
成輝(1981—),男,湖南永州人,一級教師;曾獲市級優(yōu)秀教師、學(xué)科帶頭人、骨干教師、優(yōu)秀黨員等稱號;主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.