半Markov跳變系統(tǒng)的有限時(shí)間耗散控制

李秀英,姜 囡

(1.通化師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 通化 134002;2.中國(guó)刑事警察學(xué)院聲像資料檢驗(yàn)技術(shù)系,遼寧 沈陽(yáng) 110854)

0 引言

眾所周知,Markov跳變系統(tǒng)作為一類(lèi)特殊的混雜系統(tǒng)在電力系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)等方面具有廣泛應(yīng)用[1-6].但在Markov跳變系統(tǒng)中,Markov過(guò)程的駐留時(shí)間遵循指數(shù)分布,從而系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率是常數(shù).而半Markov跳變系統(tǒng)的駐留時(shí)間可以延伸到更普遍的分布,對(duì)比Markov跳變系統(tǒng),半Markov跳變系統(tǒng)在實(shí)際問(wèn)題中占有更重要的地位.文獻(xiàn)[7]研究了半Markov跳變系統(tǒng)的輸出反饋滑膜控制;文獻(xiàn)[8]給出了一類(lèi)駐留時(shí)間依賴(lài)轉(zhuǎn)移概率的半Markov跳變系統(tǒng)的模態(tài)依賴(lài)H∞濾波器設(shè)計(jì)方法;文獻(xiàn)[9]考慮了具有時(shí)變時(shí)滯的半Markov跳變系統(tǒng)的輸出反饋控制問(wèn)題;文獻(xiàn)[10]研究了一類(lèi)具有時(shí)滯的半Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的基于濾波器的故障檢測(cè)問(wèn)題.

有限時(shí)間穩(wěn)定是指系統(tǒng)的狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)不超過(guò)某個(gè)設(shè)定的閾值,因此,有限時(shí)間穩(wěn)定能更好地刻畫(huà)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能.文獻(xiàn)[11]針對(duì)有限頻段Markov跳變系統(tǒng),研究了有限時(shí)間H∞濾波問(wèn)題;文獻(xiàn)[12]研究了半Markov跳變系統(tǒng)的有限時(shí)間的H∞控制問(wèn)題;文獻(xiàn)[13]研究了具有一般轉(zhuǎn)移概率的半Markov跳變系統(tǒng)的有限時(shí)間隨機(jī)穩(wěn)定性分析與控制問(wèn)題.

耗散控制是H∞控制的推廣,在系統(tǒng)穩(wěn)定性理論研究中具有舉足輕重的作用,但關(guān)于半Markov跳變系統(tǒng)的有限時(shí)間耗散控制的研究成果還不多見(jiàn).本文針對(duì)一類(lèi)半Markov跳變系統(tǒng),考慮了該系統(tǒng)的有限時(shí)間耗散性分析與控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題.將嚴(yán)格耗散概念引入半Markov跳變系統(tǒng),設(shè)計(jì)了模態(tài)依賴(lài)耗散狀態(tài)反饋控制器,使閉環(huán)系統(tǒng)有限時(shí)間有界且嚴(yán)格耗散,給出了數(shù)值算例表明所給方法的有效性.

本文對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣X,Y,X

1 預(yù)備知識(shí)

考慮如下連續(xù)半Markov跳變系統(tǒng):

(1)

其中:x(t)∈n是狀態(tài)向量;u(t)∈m是控制輸入;ω(t)∈p是外部輸入且取值于L2[0,+∞)空間;z(t)∈q是控制輸出;x0,r0,t0分別表示初始狀態(tài)、初始模態(tài)與初始時(shí)間;{r(t),t≥0}是取值在有限集合S={1,2,…,N}內(nèi)的連續(xù)時(shí)間半Markov過(guò)程,為表述方便,對(duì)任意的r(t)=i∈S,記r(t)的函數(shù)f(r(t))=f(i).對(duì)任意的r(t)=i∈S,Ai,Bi,Ci,Di,Gi,Hi是已知的適當(dāng)維數(shù)的矩陣.

半Markov過(guò)程{r(t),t≥0}中,從模態(tài)i到模態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率為

(2)

其中:

(3)

注1 半Markov過(guò)程中的轉(zhuǎn)移概率λij(h)是依賴(lài)于駐留時(shí)間h的時(shí)變的函數(shù),較Markov過(guò)程具有更廣泛的研究意義.

假設(shè)1 對(duì)于給定的正數(shù)τ與T,外部輸入ω(t)是時(shí)變的且滿(mǎn)足以下約束條件:

針對(duì)系統(tǒng)(1),當(dāng)u(t)=0時(shí),給出如下定義:

定義1[12]稱(chēng)系統(tǒng)(1)是關(guān)于(c1,c2,T,Mi,τ)有限時(shí)間有界的,如果滿(mǎn)足

其中00,i∈S.

注2 當(dāng)系統(tǒng)(1)中ω(t)=0時(shí),有限時(shí)間有界轉(zhuǎn)化為有限時(shí)間穩(wěn)定,這表明有限時(shí)間穩(wěn)定是有限時(shí)間有界的特殊情形.

考慮系統(tǒng)(1),當(dāng)u(t)=0時(shí),引入二次型能量函數(shù)

G(ω,z,T)=〈z,Qiz〉T+2〈z,Siω〉T+〈ω,Riω〉T,

定義2 給定對(duì)稱(chēng)矩陣Qi,Ri和矩陣Si,稱(chēng)系統(tǒng)(1)的自治系統(tǒng)(u(t)=0)是嚴(yán)格(Qi,Si,Ri)-耗散的,如果存在α>0,使得在零初始條件下,對(duì)任意的實(shí)數(shù)T≥0,有

E{G(ω,z,T)}≥αE{〈ω,ω〉T}.

假設(shè)2Qi≤0.

本文目的是對(duì)系統(tǒng)(1),設(shè)計(jì)模態(tài)依賴(lài)狀態(tài)反饋控制器

u(t)=K(r(t))x(t),

(4)

使閉環(huán)系統(tǒng)

(5)

是有限時(shí)間有界且嚴(yán)格(Qi,Si,Ri)-耗散的,相應(yīng)的控制器稱(chēng)為有限時(shí)間耗散狀態(tài)反饋控制器.

引理1[12]設(shè)τ1與τ2是有界的駐留時(shí)間且滿(mǎn)足0≤τ1≤τ2.若對(duì)于任意t∈[τ1,τ2],V(x(t),r(t),t)與LV(x(t),r(t),t)是有界的,則

注3 本文假設(shè)滿(mǎn)足引理1的條件.

引理2[12]設(shè)W∈n×n是對(duì)稱(chēng)矩陣,x∈n是任意向量,則以下不等式成立:

λmin(W)xTx≤xTWx≤λmax(W)xTx.

2 有限時(shí)間耗散性分析

定理1 令u(t)=0,給定常數(shù)c1>0,T>0及對(duì)稱(chēng)矩陣Qi,Ri和矩陣Si,半Markov跳變系統(tǒng)(1)是關(guān)于(c1,c2,T,Mi,τ)有限時(shí)間有界的.若在假設(shè)1下,則存在常數(shù)α>0,ρ>0和矩陣Pi>0,i∈S使得

(6)

(7)

(8)

其中

證明對(duì)系統(tǒng)(1)(u(t)=0),選取Lyapunov函數(shù)V(x(t),r(t),t)=xT(t)P(r(t))x(t),令L表示半Markov過(guò)程{r(t),t≥0}的弱無(wú)窮小算子,有

由(6)式可得LV(x(t),r(t),t)≤αV(x(t),r(t),t)+ρ2ωT(t)ω(t).

以e-αt乘上式兩邊得E{L[e-αtV(x(t),r(t),t)]}≤ρ2e-αtωT(t)ω(t),由引理1有

由引理2有

于是利用假設(shè)1有

(9)

同時(shí)

(10)

由(9)與(10)式可得

因此,由定義1知系統(tǒng)(1)關(guān)于(c1,c2,T,Mi,τ)有限時(shí)間有界.

定理2 令u(t)=0,給定常數(shù)c1>0,T>0及對(duì)稱(chēng)矩陣Qi,Ri和矩陣Si,半Markov跳變系統(tǒng)(1)是關(guān)于(c1,c2,T,Mi,τ)有限時(shí)間有界且嚴(yán)格(Qi,Si,Ri)-耗散的.若在假設(shè)1與假設(shè)2下,則存在常數(shù)α>0,ρ>0和矩陣Pi>0,i∈S使得

(11)

(12)

證明利用Schur補(bǔ)引理,由(11)和(12)式可得

(13)

由定理1知系統(tǒng)(1)關(guān)于(c1,c2,T,Mi,τ)有限時(shí)間有界.令

J(t)=-zT(t)Qiz(t)-2zT(t)Siω(t)-ωT(t)Riω(t),

當(dāng)(13)式成立時(shí)有

LV(x(t),r(t),t)≤αV(x(t),r(t),t)-J(t),

則

E{L[e-αtV(x(t),r(t),t)]}≤-E{e-αtJ(t)}.

在零初始條件下有

于是

E{G(ω,z,T)}≥αE{〈ω,ω〉T},

即系統(tǒng)(1)是嚴(yán)格(Qi,Si,Ri)-耗散的,于是定理2成立.

注4 當(dāng)Qi=-I,Si=0,Ri=γ2I時(shí),定理1的結(jié)果轉(zhuǎn)化為H∞性能,同時(shí)說(shuō)明系統(tǒng)(1)關(guān)于(Qi,Si,Ri)-的嚴(yán)格耗散性包括H∞性能.

3 有限時(shí)間耗散控制

定理3 令u(t)=0,給定常數(shù)c1>0,T>0及對(duì)稱(chēng)矩陣Qi,Ri和矩陣Si,半Markov跳變系統(tǒng)(1)存在有限時(shí)間耗散狀態(tài)反饋控制器.若在假設(shè)1與假設(shè)2下,則存在常數(shù)α>0,ρ>0和矩陣Xi>0,i∈S,Wij>0,i,j∈S,i≠j及矩陣Yi>0,i∈S使得(12)式與以下條件成立:

(14)

(15)

(16)

其中:

證明將(11)式中的Ai,Ci分別替換為Ai+BiKi,Ci+DiKi,有

(17)

(18)

4 數(shù)值算例

考慮形如系統(tǒng)(1)的半Markov跳變系統(tǒng),系統(tǒng)參數(shù)如下:

模態(tài)1為

模態(tài)2為

對(duì)于i=1,2,設(shè)半Markov過(guò)程{r(t),t≥0}服從韋布爾分布,即

f1(h)=f2(h)=2he-h2,h>0,

則轉(zhuǎn)移概率矩陣為

轉(zhuǎn)移概率λ12(h)的數(shù)學(xué)期望為

取α=1,ρ=1,根據(jù)定理3可得

5 結(jié) 論

本文針對(duì)半Markov跳變系統(tǒng),通過(guò)線(xiàn)性矩陣不等式和構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的方法,給出了半Markov跳變系統(tǒng)的有限時(shí)間耗散狀態(tài)反饋控制器的存在條件和設(shè)計(jì)方法,該控制器能保證閉環(huán)系統(tǒng)有限時(shí)間有界且嚴(yán)格耗散.數(shù)值算例結(jié)果表明,控制器可通過(guò)求解線(xiàn)性矩陣不等式而得到.