三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)對(duì)稱軸的應(yīng)用

■許衛(wèi)華

一、三角函數(shù)的解析式問題

對(duì)稱軸都是經(jīng)過函數(shù)圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的直線,把對(duì)稱軸方程代入到函數(shù)解析式中,此時(shí)函數(shù)取得最大值或最小值。本題的易錯(cuò)點(diǎn)是:令,從而出現(xiàn)錯(cuò)誤。

變式練習(xí)1:函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ為常數(shù),且A>0,x∈R)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,它的周期是π,則( )。

二、三角函數(shù)的參數(shù)問題

例2 如果函數(shù)y=sin2x+acos2x的圖像關(guān)于直線對(duì) 稱,則a的 值為_____。

分析:本題解法多種,可以代入驗(yàn)證,也可以根據(jù)對(duì)稱軸的方程求解,還可以根據(jù)最值求解。

本題的解法比較巧妙,緊扣對(duì)稱性的定義,利用特殊值法代入求解,這種方法快捷方便,值得同學(xué)們重視。

變式練習(xí)2:設(shè)ω>0,若函數(shù)f(x)=2sinωx在上單調(diào)遞增,則ω的取值范圍是_____。

三、三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題

利用正、余弦函數(shù)的對(duì)稱軸方程求單調(diào)區(qū)間,可先利用對(duì)稱軸方程求一個(gè)單調(diào)區(qū)間,然后在兩端分別加上周期的整數(shù)倍即得。

四、三角函數(shù)的性質(zhì)問題

例4 設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)f(x)=sinωx的圖像C的一個(gè)對(duì)稱中心,若點(diǎn)P到圖像C的對(duì)稱軸的距離的最小值為,則函數(shù)f(x)的最小正周期是_____。

分析:正弦(或余弦)函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心到一條對(duì)稱軸的距離的最小值等于周期。

三角函數(shù)的對(duì)稱性和三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值息息相關(guān),要注意相互轉(zhuǎn)化。

變式練習(xí)4:設(shè)f(x)是定義在R 上的奇函數(shù),且函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_____。