張建明 祝峰

摘要： 數(shù)學(xué)抽象是具有嚴(yán)謹(jǐn)性、純粹性、形式化、模式化的思維方式，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展一般經(jīng)歷感知到識別、分類到概括、想象到構(gòu)建、定義到表征、系統(tǒng)化到結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知過程?；赥PACK理論，以有意義使用信息技術(shù)，發(fā)展高中學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)思維框架為指導(dǎo)，闡明TPACK視角下，信息技術(shù)與發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)課堂教學(xué)深度融合的可為性，構(gòu)建了“數(shù)學(xué)內(nèi)容用技術(shù)表征”“為技術(shù)匹配數(shù)學(xué)內(nèi)容”“用技術(shù)改進(jìn)已有教學(xué)”三個(gè)路徑，探索利用信息技術(shù)有效發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的基本策略。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué) ?抽象素養(yǎng) ?TPACK視角

如何處理好技術(shù)和數(shù)學(xué)抽象教學(xué)的關(guān)系？從數(shù)學(xué)抽象教學(xué)的視角看信息技術(shù)，從信息技術(shù)的視角審視數(shù)學(xué)抽象教學(xué)，兩者缺一不可。只有理順信息技術(shù)、教學(xué)策略、學(xué)科知識、學(xué)科能力、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)，把信息技術(shù)與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)深度融合，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的課程目標(biāo)才能落到實(shí)處。本文嘗試基于TPACK理論框架，構(gòu)建信息技術(shù)與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)教學(xué)深度融合的知識網(wǎng)絡(luò)，并在此基礎(chǔ)上從數(shù)學(xué)內(nèi)容用技術(shù)表征、為技術(shù)匹配數(shù)學(xué)內(nèi)容、用技術(shù)改進(jìn)已有教學(xué)三個(gè)角度，在實(shí)踐中探索信息技術(shù)與發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的課堂教學(xué)深度融合的有效路徑。

一、TPACK理論

TPACK由“學(xué)科內(nèi)容、教學(xué)法和技術(shù)”知識有機(jī)融合而成，2005年由Mishra和Koehler在PCK基礎(chǔ)上提出，并構(gòu)建了TPACK模型。兩人把技術(shù)知識融入教師知識中，明確學(xué)科內(nèi)容教學(xué)法和技術(shù)三者并非機(jī)械疊加，而是深度融合并生成的一種全新知識。教學(xué)實(shí)踐中，三者處于動(dòng)態(tài)平衡，每個(gè)因素的變化都會(huì)導(dǎo)致其他因素的相應(yīng)調(diào)整，不存在對各個(gè)知識點(diǎn)、各種教學(xué)法的普適技術(shù)，反之亦然。TPACK理論日趨成熟，并深入具體學(xué)科。

于文字、胡典順在TPACK視角下，創(chuàng)立了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的雙模型，如圖1所示，并提出了準(zhǔn)備、過程、目標(biāo)三階段教師TPACK提升和學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展實(shí)踐路徑。張景中等以區(qū)域教師網(wǎng)絡(luò)畫板培訓(xùn)為例，進(jìn)行了“互聯(lián)網(wǎng)+”數(shù)學(xué)教師TPACK能力培訓(xùn)模式研究。相關(guān)文獻(xiàn)顯示，研究者多關(guān)注教師TPACK發(fā)展，對TPACK視閾下有效發(fā)展學(xué)生具體數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的研究不多。

二、TPACK視角下發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)教學(xué)的可為性分析

（一）數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)的特征及基本過程

與其他學(xué)科的抽象活動(dòng)不同，數(shù)學(xué)抽象只針對“數(shù)量關(guān)系”及“空間形式”，目的是獲得包括概念、關(guān)系、方法、思想、規(guī)律和結(jié)構(gòu)在內(nèi)的數(shù)學(xué)研究對象。特殊的抽象對象，清晰的抽象目標(biāo)，使得數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)過程具有穩(wěn)定的規(guī)律性。其一般經(jīng)歷概括、表征和系統(tǒng)三個(gè)階段，每個(gè)階段又有著其獨(dú)特認(rèn)知場域，也可認(rèn)為是一個(gè)獨(dú)特的認(rèn)知空間。

概括需在對抽象對象感知、識別、分類的基礎(chǔ)上進(jìn)行，三者分別是概括活動(dòng)的一個(gè)維度，相互作用、反復(fù)影響下，構(gòu)建了抽象活動(dòng)的概括空間。同理，表征空間由想象、建構(gòu)、定義三個(gè)維度構(gòu)成，系統(tǒng)空間由聯(lián)想、結(jié)構(gòu)、應(yīng)用三維構(gòu)成。數(shù)學(xué)抽象的三階段認(rèn)識過程層層遞進(jìn)，反復(fù)回蕩。

（二）TPACK視角下信息技術(shù)與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)教學(xué)深度融合框架

借鑒閆志明、李美鳳的“整合技術(shù)的學(xué)科教學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)（TCPNet）”理論框架，充分尊重?cái)?shù)學(xué)抽象活動(dòng)的特征，以及發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)教學(xué)的特殊性，構(gòu)建出“整合信息技術(shù)的學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)發(fā)展教學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)”，如圖2所示。

該知識網(wǎng)絡(luò)嚴(yán)格遵循TPACK框架的系統(tǒng)性和解釋力，在明確的學(xué)科范疇內(nèi)，聚焦單一的學(xué)科教學(xué)目標(biāo)，克服了TPACK框架中PK、CK、TK內(nèi)涵模糊，關(guān)系寬泛、實(shí)踐中無法界定等操作不確定性。把PK、CK、TK限定為：在事物的具體背景下，對數(shù)量關(guān)系、空間形式、一般規(guī)律、結(jié)構(gòu)特征、數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)模型、方法思想、數(shù)學(xué)體系的抽象和構(gòu)建過程中的相關(guān)知識。

該網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建過程中注重PK、CK和TK的作用與反作用，強(qiáng)調(diào)“與數(shù)學(xué)抽象相關(guān)的信息技術(shù)知識”（TK）對 “發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)容知識”（CK）的作用體現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是信息技術(shù)能夠更合理地表征學(xué)習(xí)內(nèi)容，更利于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)的開展；二是新的信息技術(shù)能拓展數(shù)學(xué)抽象學(xué)習(xí)內(nèi)容的領(lǐng)域，助推數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)向著更深層、更廣闊的領(lǐng)域進(jìn)發(fā)。反過來，CK對TK有著決定性作用，即信息技術(shù)的選擇必須符合學(xué)習(xí)內(nèi)容的特點(diǎn)，技術(shù)的好壞應(yīng)以是否利于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)的開展為標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)然，為了數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)的開展，CK對PK也起到改進(jìn)甚至創(chuàng)造的奇效。

對于TK與PK之間作用，持以下觀點(diǎn)。與數(shù)學(xué)抽象相關(guān)的信息技術(shù)知識對教學(xué)知識的作用表現(xiàn)為增強(qiáng)、限制以及創(chuàng)新。增強(qiáng)是指信息技術(shù)依靠本身的強(qiáng)大功能，為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)提供有力支持。限制則指信息技術(shù)本身的局限性可能會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)用、誤用等。創(chuàng)新的內(nèi)涵是用技術(shù)改進(jìn)傳統(tǒng)教學(xué)。教學(xué)知識對信息技術(shù)知識的作用為選擇、改進(jìn)和創(chuàng)造，類似于CK對PK的作用。

三、TPACK視角下發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)教學(xué)的實(shí)踐路徑

（一）為數(shù)學(xué)內(nèi)容尋求技術(shù)表征

抽象源于直觀，感性先于理性。學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生認(rèn)識模式不匹配，是數(shù)學(xué)抽象概括階段學(xué)生面臨的最大問題。如何把數(shù)學(xué)抽象對象以恰當(dāng)?shù)姆绞街糜趯W(xué)生思維及認(rèn)知能力的前一站，契合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和習(xí)慣？準(zhǔn)確把握學(xué)習(xí)內(nèi)容特點(diǎn)，基于內(nèi)容個(gè)性尋求恰當(dāng)?shù)男畔⒓夹g(shù)表征，能夠助力學(xué)生數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)的順利開展。表述、分析、模擬是常見的三種信息技術(shù)表征支持方式。

為學(xué)習(xí)內(nèi)容尋求信息技術(shù)表征的教學(xué)設(shè)計(jì)的基本思路為：遵循學(xué)習(xí)內(nèi)容的特點(diǎn)合理選擇信息技術(shù)，結(jié)合表征的信息技術(shù)遴選具體的教學(xué)手段。這樣的過程中，與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)發(fā)展相關(guān)的PK、CK和TK自然相互作用、互為促進(jìn)、深度融合，達(dá)成發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)。實(shí)際教學(xué)中，也會(huì)出現(xiàn)表征的信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容“自動(dòng)結(jié)合”的情形，如超幾何畫板、Geogebra、圖形計(jì)算器等軟件，開發(fā)時(shí)就把數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容嵌入其表征方式中，從而形成能夠增強(qiáng)表征能力的信息技術(shù)產(chǎn)品。再如PhET平臺(tái)、我國的數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心等，都開發(fā)了豐富的學(xué)科教學(xué)相關(guān)工具。它們一般集表述、分析與模擬功能于一身，支持學(xué)生完成感知、識別、分類等數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)。教學(xué)中教師可依據(jù)這些軟件與網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)設(shè)計(jì)教學(xué)過程，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容、信息技術(shù)、教學(xué)方法三者深度融合。

（二）為信息技術(shù)匹配教學(xué)內(nèi)容

這里的信息技術(shù)指信息技術(shù)、通信技術(shù)的合稱。隨著信息技術(shù)日新月異地更新及發(fā)展，可用于數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)場景的信息技術(shù)軟硬件、平臺(tái)琳瑯滿目，內(nèi)置大量教學(xué)功能，支持授課全程、線上線下混合、師生互動(dòng)平臺(tái)的各類教育云平臺(tái)、電子白板等，支持多通信場景的智學(xué)網(wǎng)、騰訊會(huì)議、釘釘會(huì)議等也被廣泛用于特定場景下的教學(xué)中。

大量可供數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)所用的信息技術(shù)的出現(xiàn)，為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教學(xué)，提供了諸多可能。充分利用信息技術(shù)所提供的“信息傳輸”功能，借助其發(fā)送、接收、加工、分析、展示等作用，合理解決數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)發(fā)展教學(xué)中，信息分布不均、非對稱、低效傳輸、形式呆板等一系列問題。為此，教師必須深刻理解現(xiàn)有 信息技術(shù)的各種功能，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)思考這些信息技術(shù)的合理利用方式，才能改進(jìn)甚至徹底改變發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)教學(xué)中的種種困境，進(jìn)而再反思這些信息技術(shù)的應(yīng)用是否改變了學(xué)生的認(rèn)知困難。聚焦教學(xué)目標(biāo)，再篩選、再融合，并最終確定可行的教學(xué)計(jì)劃，達(dá)成為信息技 術(shù)匹配發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)內(nèi)容的目的。具體路徑如圖4所示。

（三）用技術(shù)改進(jìn)已有教學(xué)

教學(xué)是一門缺憾的藝術(shù)，不同方式和路徑下構(gòu)建的教學(xué)設(shè)計(jì)，盡管能夠獨(dú)立完成相關(guān)教學(xué)任務(wù)，不同程度達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，但整體上氣氛沉悶、參與度低、耗時(shí)長，局部上學(xué)生認(rèn)識不全、抽象活動(dòng)不充分、表征形式單調(diào)死板、認(rèn)識視角狹窄，是教學(xué)實(shí)踐中常見的實(shí)然狀態(tài)。借助信息技術(shù)改進(jìn)已有的不滿意教學(xué)，也是TPACK視角下發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)教學(xué)中常見的實(shí)踐路徑之一。

該路徑發(fā)端于一個(gè)不夠理想的教學(xué)環(huán)節(jié)，可能是內(nèi)容理解不到位、學(xué)生分析不充分、教法使用不合理、信息技術(shù)選擇不貼切等。從信息技術(shù)視角，替換、強(qiáng)化、改變、重構(gòu)教學(xué)，以達(dá)成更輕松、更合理、更高效完成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展目標(biāo)，基本流程如圖5所示。

理性觀察、分析發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的課堂教學(xué)，是用信息技術(shù)改進(jìn)教學(xué)的依據(jù)。充分調(diào)用PK、CK、PCK，理解數(shù)學(xué)、理解教材、理解學(xué)生、理解教學(xué)，合理轉(zhuǎn)化、審視、解讀教學(xué)內(nèi)容，在實(shí)際教學(xué)實(shí)踐中評價(jià)、反思自我教學(xué)。準(zhǔn)確定位教學(xué)中難點(diǎn)、低效點(diǎn)，甚至是無效點(diǎn)，兼顧學(xué)習(xí)內(nèi)容特點(diǎn)及信息技術(shù)特征，用信息技術(shù)解決教學(xué)中所面臨的實(shí)際困難，是用信息技術(shù)改進(jìn)已有教學(xué)的價(jià)值取向。值得關(guān)注的是，信息技術(shù)改進(jìn)教學(xué)是一個(gè)無止境的循環(huán)過程，比如信息技術(shù)改進(jìn)教學(xué)后，可能會(huì)考慮重置更高的學(xué)習(xí)目標(biāo)，自然會(huì)有新的待改進(jìn)問題，如此循環(huán)遞進(jìn)，以追求課堂教學(xué)中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)效率的最大化。

四、結(jié)語

以TPACK理論和合理使用信息技術(shù)的教學(xué)思維為導(dǎo)向，以高效發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)為根本目的，在明確數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)特征和過程的基礎(chǔ)上，闡明信息技術(shù)與發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的課堂教學(xué)深度融合的可為性。在問題引領(lǐng)下，構(gòu)建了用技術(shù)表征、為技術(shù)匹配內(nèi)容、用技術(shù)改進(jìn)的基本教學(xué)路徑。借助信息技術(shù)更好發(fā)揮數(shù)學(xué)育人的特有方式，實(shí)現(xiàn)“追求最大限度的一般性”，讓學(xué)生體會(huì)并掌握數(shù)學(xué)思考的結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性、普適性。在深度融合信息技術(shù)的課堂教學(xué)中讓學(xué)生親歷抽象化、符號化、邏輯分析、推理、計(jì)算等抽象過程，并不斷改進(jìn)、推廣，在縱深領(lǐng)域洞察本質(zhì)，在更廣領(lǐng)域進(jìn)行抽象，真正達(dá)成學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的有效發(fā)展。

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責(zé)任編輯：黃大燦