翟立朋,劉 悠*,程 琳,常凱歌,張俊武

(1.西安交通大學(xué) 物理學(xué)院 大學(xué)物理國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心,陜西 西安 710049;2.西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710048)

Fano共振最早是在1961年由意大利物理學(xué)家Ugo Fano在研究惰性氣體的吸收特性時(shí)發(fā)現(xiàn)并解釋的一種反對(duì)稱共振現(xiàn)象[1],是因?yàn)闅怏w分子系統(tǒng)中分離態(tài)能級(jí)與連續(xù)態(tài)能帶進(jìn)行量子干涉而產(chǎn)生的一種特殊的共振現(xiàn)象。隨著人們對(duì)Fano共振研究的深入,這種特殊的共振狀態(tài)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用在納米超材料[2]、波導(dǎo)微腔[3]、石墨烯[4]、光子晶體[5]、電磁誘導(dǎo)[6]等前沿?zé)狳c(diǎn)領(lǐng)域。

Fano共振與傳統(tǒng)共振現(xiàn)象最重要的區(qū)別在于其共振譜線呈反對(duì)稱分布。傳統(tǒng)共振認(rèn)為系統(tǒng)在做受迫振動(dòng)時(shí),當(dāng)受迫頻率與自身的固有頻率相等時(shí),系統(tǒng)做受迫振動(dòng)的振幅最大,受迫頻率與固有頻率的差值越大,受迫振動(dòng)的振幅單調(diào)減小,這種共振譜線稱為洛倫茲線型,這在大學(xué)物理[7-8]和大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[9-13]課程中有比較系統(tǒng)地體現(xiàn)。Fano共振在共振點(diǎn)附近不僅出現(xiàn)了振動(dòng)增強(qiáng)還出現(xiàn)了振動(dòng)減弱的現(xiàn)象,所以構(gòu)成了一種特殊的反對(duì)稱線型。

Fano共振在大學(xué)物理和物理實(shí)驗(yàn)[14-16]中也有了初步的探索和應(yīng)用。本文使用傳統(tǒng)的諧振子模型,系統(tǒng)地解釋Fano共振現(xiàn)象產(chǎn)生的動(dòng)力學(xué)機(jī)理,詳細(xì)闡述了Fano共振特性在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的設(shè)計(jì)與應(yīng)用,設(shè)計(jì)并研究了一種既包含了傳統(tǒng)共振也包含F(xiàn)ano共振的物理實(shí)驗(yàn)儀器,以期提高物理實(shí)驗(yàn)課程內(nèi)容的高階性、綜合性和創(chuàng)新性。

1 Fano共振的動(dòng)力學(xué)原理

圖1 雙耦合諧振子共振實(shí)驗(yàn)儀結(jié)構(gòu)圖

為了更清晰的進(jìn)行雙耦合諧振子模型的動(dòng)力學(xué)分析,將圖1所示的儀器結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)化為如圖2所示的受力模型圖,上下兩個(gè)模型分別表示振子處于平衡狀態(tài)和非平衡狀態(tài)時(shí)的受力情況,其中x為彈簧的原長(zhǎng),而x0、x1、x2表示的是驅(qū)動(dòng)振子、振子A1、振子A2的位移,m1、m2為兩個(gè)振子的質(zhì)量。

圖2 雙耦合諧振子共振實(shí)驗(yàn)受力模型圖

振子A1、A2的動(dòng)力學(xué)方程可表示為

(1)

(2)

將上式整理可以得到:

驅(qū)動(dòng)振子受驅(qū)動(dòng)力的控制做頻率特定的簡(jiǎn)諧振動(dòng),可表示為

x0=A0eiωt。

振子A1、A2做受迫振動(dòng),在受迫振動(dòng)穩(wěn)定以后做頻率與驅(qū)動(dòng)頻率一樣的簡(jiǎn)寫振動(dòng),則x1和x2解的形式可表示為

x1=A1(ω)eiωt,

(3)

x2=A2(ω)eiωt。

(4)

將(3)(4)解的形式代入到(1)、(2)動(dòng)力學(xué)方程中,待定系數(shù)以后可以得到:

(5)

(6)

從(5)、(6)關(guān)于振動(dòng)的表達(dá)式可以看出,當(dāng)滿足:

2k+iμω-m1ω2=0 ,

(7)

2k+iμω-m2ω2=0 ,

(8)

A1(ω)和A2(ω)的分母都為最小值,即振幅強(qiáng)度最大,可以出現(xiàn)共振峰。當(dāng)滿足式(8)時(shí),A1(ω)的分子為零,此時(shí)共振的最大值和最小值會(huì)出現(xiàn)狀態(tài)疊加,量子物理中解釋為暗模狀態(tài)和亮模狀態(tài)的疊加,即Fano共振現(xiàn)象。

A1(ω)和A2(ω)中不僅包含了振子的振幅信息還包含了振動(dòng)的相位信息,所以還可以將其表示為

A1(ω)=|A1(ω)|·eiφ1(ω),

(9)

A2(ω)=|A2(ω)|·eiφ2(ω)。

(10)

結(jié)合歐拉公式可以得到:

(11)

(12)

其中imag和real分別表示取虛部和取實(shí)部運(yùn)算。對(duì)于兩個(gè)振子的相位差,可以使用(9)(10)直接做差,也可以設(shè):

Δφ=φ1(ω)-φ2(ω) ,

由歐拉公式,可以得到:

ei(φ1-φ2)=eiΔφ=cosΔφ+isinΔφ,

將(9)(10)兩式相除得到:

對(duì)應(yīng)到實(shí)部和虛部:

整合以后可以得到:

則相位差Δφ可表示為

(13)

這樣即從理論上得到了雙耦合諧振系統(tǒng)的振幅和相位差。

圖3所示的(a)、(b)分別展示了該系統(tǒng)的幅頻與相頻特性。從幅頻特性上可以看到每個(gè)振子都有兩個(gè)共振峰,兩個(gè)振子的自由振蕩頻率ω1和ω2處分別對(duì)應(yīng)式(7)、(8)計(jì)算得到的共振頻率,這與常規(guī)的共振特性是一致的。但振子A1在ω2附近會(huì)出現(xiàn)一個(gè)強(qiáng)度為零的谷,導(dǎo)致該處的幅頻曲線呈反對(duì)稱分布,即為Fano共振現(xiàn)象。

ω/(rad·s-1)(a)

ω/(rad·s-1)(a)

2 雙耦合諧振子共振儀設(shè)計(jì)與測(cè)量方法

2.1 雙耦合諧振子共振儀設(shè)計(jì)

按照如圖1所示的結(jié)構(gòu),本文設(shè)計(jì)了如圖5所示的雙耦合諧振子共振儀。共振儀主要包括信號(hào)源、驅(qū)動(dòng)電機(jī)、驅(qū)動(dòng)振子、振子A1、振子A2五個(gè)部分。

圖5 雙耦合諧振子共振儀實(shí)物圖

信號(hào)源輸出特定頻率的方波信號(hào),控制驅(qū)動(dòng)電機(jī)產(chǎn)生對(duì)應(yīng)頻率的轉(zhuǎn)動(dòng),驅(qū)動(dòng)電機(jī)與驅(qū)動(dòng)振子之間通過(guò)機(jī)械桿相連,這樣驅(qū)動(dòng)電機(jī)與驅(qū)動(dòng)振子之間具有完全相同的振幅、相位。驅(qū)動(dòng)振子、振子A1、振子A2之間通過(guò)彈簧連接,形成雙耦合共振系統(tǒng)。為了測(cè)量振子的振動(dòng)周期和振幅,在振子上安裝BWT61CL型藍(lán)牙加速度(陀螺儀)傳感器,對(duì)振子運(yùn)動(dòng)的加速度進(jìn)行實(shí)時(shí)測(cè)量。

2.2 振幅與相位差的測(cè)量方法

從加速度傳感器得到的數(shù)據(jù)需要經(jīng)過(guò)處理才能得到本文需要的振幅與相位差。從傳感器得到a(t)數(shù)據(jù)以后,首先經(jīng)過(guò)時(shí)間積分可以得到速度隨時(shí)間的變化關(guān)系:

(14)

對(duì)速度進(jìn)行時(shí)間積分以后即可得到位移隨時(shí)間的變化關(guān)系:

(15)

如圖6(a)所示,當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率為1.562 5 Hz時(shí),雙耦合系統(tǒng)陀螺儀輸出的A1、A2振子加速度隨時(shí)間的變化關(guān)系數(shù)據(jù)。經(jīng)過(guò)時(shí)間積分以后可以分別得到圖6(b)、(c)所示的速度時(shí)間關(guān)系和位移時(shí)間關(guān)系數(shù)據(jù)?？梢钥吹诫p耦合振子在做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí),振子的平衡位置有輕微的抖動(dòng),這也是本模型可能出現(xiàn)測(cè)量誤差的地方。

t/s(a)

得到振子的位移時(shí)間關(guān)系以后,對(duì)x(t)進(jìn)行離散傅里葉變換得到:

(16)

A(f)代表的是每個(gè)不同頻率下對(duì)應(yīng)的振幅,即振子振動(dòng)的頻譜。從頻譜中找到最大值及其對(duì)應(yīng)的頻率,即為此時(shí)振子受迫振蕩的振幅和頻率。如圖7(a)所示,經(jīng)過(guò)頻譜變換以后可以得到各自振幅和頻率的具體數(shù)值。兩個(gè)受迫振蕩的頻率與驅(qū)動(dòng)頻率1.562 5 Hz吻合,一方面證實(shí)了穩(wěn)定受迫的頻率與驅(qū)動(dòng)頻率一致,另一方面驗(yàn)證了該方案測(cè)量頻率和振幅可行。圖7(b)畫出了本文所有測(cè)量點(diǎn)受迫振蕩頻率測(cè)量值與驅(qū)動(dòng)頻率的相對(duì)誤差,發(fā)現(xiàn)頻率測(cè)量誤差不會(huì)超過(guò)5.0%。

頻率/Hz(a)

借鑒李薩茹圖形測(cè)量相位差的原理[3],將兩個(gè)振子的振動(dòng)合成為如圖8所示的李薩茹圖形。因?yàn)檎褡幼鍪芷日駝?dòng)的頻率都等于驅(qū)動(dòng)頻率,所以李薩茹圖形為橢圓。將測(cè)量數(shù)據(jù)擬合后即可得到橢圓方程:

Al位移/cm圖8 相位差的測(cè)量

中的相位差Δφ為0.692 rad。

3 雙耦合諧振子模型的Fano共振特性

本文設(shè)計(jì)的雙耦合諧振子共振儀,兩個(gè)振子的質(zhì)量分別為

m1=195.71 g ,

m2=299.80 g ,

兩個(gè)彈簧的勁度系數(shù)為

k=6.445 N/m ,

小車運(yùn)動(dòng)過(guò)程中阻尼系數(shù)為

μ=0.216 ,

控制驅(qū)動(dòng)電機(jī)的振動(dòng)頻率在[0.625 00 Hz,1.718 75 Hz]范圍內(nèi),均勻選取36個(gè)測(cè)量點(diǎn),得到了雙耦合振子各自的幅頻曲線和相頻曲線。

圖9所示為所搭建的雙耦合共振儀測(cè)量得到的幅頻曲線和相頻曲線,其中點(diǎn)代表測(cè)量值、線代表的是理論值。從圖中可以看出,雙耦合諧振子振動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn)了兩個(gè)共振主峰,并且振子A1在第一個(gè)共振峰附近的振幅接近零,即出現(xiàn)了Fano共振現(xiàn)象;在Fano共振的頻率范圍內(nèi)兩個(gè)振子之間的相位差發(fā)生了突變。另外,圖9所示的幅頻曲線既包含了經(jīng)典的洛倫茲共振,也包含本文所展示的Fano共振。實(shí)驗(yàn)上幅頻相頻的變化規(guī)律、共振主峰的位置、Fano共振谷的位置都與理論結(jié)果吻合很好,說(shuō)明該模型有很好的應(yīng)用可行性。

頻率/Hz(a)

4 結(jié) 論

本文先從理論上詳細(xì)闡述了雙耦合諧振子的共振特性,使用雙耦合振子模型可以非常好地展現(xiàn)出反對(duì)稱的Fano共振現(xiàn)象,同時(shí)在實(shí)驗(yàn)上設(shè)計(jì)了一種雙耦合諧振子共振儀,給出了具體的實(shí)驗(yàn)測(cè)量方案,為Fano共振現(xiàn)象在基礎(chǔ)物理和基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)體系中的應(yīng)用提供了理論和實(shí)踐方案。本文為了測(cè)量振幅和相位差,結(jié)合離散傅里葉變換和李薩茹圖形對(duì)雙耦合諧振子模型,詳細(xì)闡述了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理過(guò)程,提高了該實(shí)驗(yàn)的綜合性和挑戰(zhàn)度,也得到了與理論值吻合非常好的Fano共振數(shù)據(jù),為新實(shí)驗(yàn)的開設(shè)提供了充分的理論和實(shí)踐依據(jù)。該實(shí)驗(yàn)還可以在勁度系數(shù)、阻尼系數(shù)、振子質(zhì)量比等參數(shù)對(duì)Fano共振特性的影響等方面進(jìn)行更深入的拓展研究。