概率基多目標(biāo)優(yōu)化在化工機械正交試驗及穩(wěn)健設(shè)計中的應(yīng)用

于 潔 賈 璞 肖超妮 鄭曉暉

（西北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院）

優(yōu)化問題是實際的工程和日常生活中經(jīng)常會遇到的問題，隨著社會發(fā)展和技術(shù)進步，優(yōu)化問題所涉及到的因素和需求越來越多，越來越復(fù)雜。 許多優(yōu)化問題往往需要同時考慮多個目標(biāo)或?qū)傩?，屬于多目?biāo)優(yōu)化問題。 多目標(biāo)優(yōu)化問題，在一定程度上應(yīng)該歸屬于系統(tǒng)科學(xué)類問題。 以系統(tǒng)論的觀點，將多目標(biāo)問題視為一個系統(tǒng)，進行整體優(yōu)化，才能使系統(tǒng)在整體上達到最優(yōu)，而各個目標(biāo)之間在系統(tǒng)的整體優(yōu)化的旗幟下達到某種協(xié)同或者折中。

目前，常用的多目標(biāo)算法，主要有線性加權(quán)法、帕累托解法和ε-約束法，以及機械設(shè)計和選材的層次分析法 （AHP）， 多準(zhǔn)則妥協(xié)解排序法（VIKOR），理想解相似度排序法（TOPSIS），基于比值分析的多目標(biāo)優(yōu)化法（MOORA）等。 但這些方法仍然存在一些基本問題，如：線性加權(quán)法中涉及到的權(quán)重因子和歸一化因子的確定依據(jù)不明確； 帕累托解法只能給出解的一個集合；ε-約束法只挑選出其中某一目標(biāo)進行優(yōu)化，而其他目標(biāo)則作為約束條件進行處理，也就是將多目標(biāo)優(yōu)化問題降級為單一目標(biāo)的優(yōu)化問題等。 此外，從集合論和概率論的角度來看，線性加權(quán)法就是對幾個目標(biāo)的集合進行并集運算，這顯然不符合多個目標(biāo)同時優(yōu)化應(yīng)該是幾個目標(biāo)的集合之交集運算的科學(xué)內(nèi)涵。 因此，要解決多目標(biāo)優(yōu)化問題，就需要以系統(tǒng)論的觀點從整體上深刻揭示多目標(biāo)優(yōu)化的本征內(nèi)涵，以各個目標(biāo)之間的內(nèi)在關(guān)系為導(dǎo)向，從系統(tǒng)工程的角度，探討多目標(biāo)優(yōu)化的異質(zhì)同型的系統(tǒng)性，建立普適的各個多目標(biāo)之間統(tǒng)籌兼顧的系統(tǒng)模型，并在應(yīng)用中加以發(fā)展。

近年來，ZHENG M S等以系統(tǒng)論的觀點出發(fā)，從集合論和概率論的角度分析了多目標(biāo)優(yōu)化問題，建立了全新的概率基多目標(biāo)優(yōu)化方法［1］。筆者將概率基多目標(biāo)優(yōu)化方法應(yīng)用于化工過程及機械設(shè)計的多目標(biāo)優(yōu)化問題，必將有助于恰當(dāng)解決化工機械設(shè)計和加工方面的問題，得到科學(xué)和理性的結(jié)果。

1 概率基多目標(biāo)同時優(yōu)化方法的正交試驗設(shè)計步驟

1.1 概率基多目標(biāo)優(yōu)化方法簡介

概率基多目標(biāo)優(yōu)化方法（Probability-based Multi-Objective Optimization，PMOO） 企望解決以往多目標(biāo)優(yōu)化方法中存在人為（或主觀）因素的固有問題［1］。該方法以系統(tǒng)論的觀點，引入了青睞概率這一概念，來反映候選對象在優(yōu)化過程中被青睞的程度，并將候選對象的所有性能效用指標(biāo)劃分為效益型和成本型兩種基本類型。 效益型指標(biāo)具有越大越好的特征，成本型指標(biāo)具有越小越好的特征。 各候選對象的每個性能效用指標(biāo)都定量地貢獻出一個分青睞概率。 從概率論的觀點來看，候選對象的總青睞概率就是其所有分青睞概率的乘積，這是它在優(yōu)選過程中整體性和唯一的決定性指標(biāo)。

在新的概率基多目標(biāo)優(yōu)化方法中，候選對象的效益型性能指標(biāo)的效用值以正線性相關(guān)的方式貢獻其分青睞概率，即：

其中，Xij是第i個候選對象的第j個 （效益型）性能指標(biāo)的效用值；Pij為該效益型性能指標(biāo)的效用值Xij的分青睞概率；n是相關(guān)候選對象組中候選對象的總數(shù)；m是該組中每個候選對象的性能指標(biāo)（目標(biāo)）的總數(shù)；αj是候選對象的第j個效用性能指標(biāo)的歸一化因子，αj=1/（nμj），μj是該效益型性能指標(biāo)的效用值在所涉及的對象組中的算術(shù)平均值。

對于成本型性能指標(biāo)， 可以進行對等地處理，以負(fù)線性相關(guān)的方式貢獻其分青睞概率，即：

其中，Xjmax和Xjmin分別表示對象組中該性能指標(biāo)效用值的最大值和最小值，βj是第j個性能指標(biāo)的效用值的歸一化因子，且βj=1/［n（Xjmax+Xjminμj）］。

此外，從概率論的角度看，對于多目標(biāo)的“同時優(yōu)化”，第i個候選對象的總（綜合）青睞概率Pi是其所有分青睞概率Pij的乘積，即：

候選對象的總青睞概率在整個優(yōu)選過程中作為唯一的決定性指標(biāo)，通過它就將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個單目標(biāo)優(yōu)化問題。 新的概率基多目標(biāo)優(yōu)化的主要特點是對于效益型效用指標(biāo)和成本型效用指標(biāo)進行對等處理，而且在整個處理過程中不涉及人為（或主觀）的標(biāo)度因子。

1.2 概率基多目標(biāo)優(yōu)化方法與正交試驗設(shè)計的結(jié)合

由于通過候選方案的總青睞概率能夠?qū)⒍嗄繕?biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題，而且按照概率論，總青睞概率就是多個目標(biāo)同時優(yōu)化中唯一的、全面的決定性指標(biāo)，因此就可以對總青睞概率進行正交試驗設(shè)計的極差分析，再由極差分析所得到的結(jié)果來確定相應(yīng)的最佳配置。 這個操作程序就構(gòu)建了概率基多個目標(biāo)同時優(yōu)化的正交試驗設(shè)計方法。

1.3 概率基多目標(biāo)優(yōu)化方法的穩(wěn)健性設(shè)計

早在1950年，田口玄一就意識到可以通過穩(wěn)健性（Robust，魯棒）設(shè)計來提高產(chǎn)品的質(zhì)量，并且提出可以通過降低噪聲影響的方式來進行優(yōu)化，這就是田口方法［2］。在田口方法中，將影響因素分為可控和不可控因素，他指出可以通過設(shè)計實驗來研究可控和不可控因素對響應(yīng)的影響。 田口玄一所稱的不可控因素就是噪聲因素。 穩(wěn)健性設(shè)計的思想是關(guān)于一組可控因素的設(shè)計，在最優(yōu)點處產(chǎn)品的質(zhì)量對所謂的噪聲因素具有不敏感性，或具有最小的噪聲影響。 在田口方法中，還進一步假設(shè)可控因素主要指那些實驗者或生產(chǎn)者容易控制的因素， 比如在注射成型過程中材料的選擇、注射成型時間及模具溫度等，而噪聲因素是那些不容易或非常昂貴或不可能控制的因素。 因此， 穩(wěn)健性設(shè)計就是尋找到一套產(chǎn)品和工藝參數(shù)，使在該參數(shù)處產(chǎn)品的最終質(zhì)量響應(yīng)指標(biāo)對不可控因素的變化具有最小敏感性，而不需要設(shè)法消除不可控因素。 進一步，田口玄一引入了“信噪比（SNR）”一詞來實施其穩(wěn)健性設(shè)計，可控因素的最佳設(shè)計值就對應(yīng)于信噪比最大值的狀態(tài)。 田口玄一還給出了3種標(biāo)準(zhǔn)類型的信噪比。 對于以目標(biāo)值的期望值為優(yōu)化點的情形有：

然而，文獻［3～7］的研究表明，在實際的實驗過程中， 通常實驗測試到的結(jié)果的平均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ是一組互相獨立的響應(yīng)。 但是，式（4）中信噪比SNR的表達式將這兩個響應(yīng)（μ和σ）固化成為一個信噪比（SNR）響應(yīng)，這是不合理的。 并且，SNR的最大值的優(yōu)化不等價于同時使σ達到最小、使μ接近于其目標(biāo)的優(yōu)化。 更為嚴(yán)重的是，在具有“越小越好”和“越大越好”特征問題的表達式中，甚至標(biāo)準(zhǔn)差σ并未出現(xiàn)。這一點經(jīng)常受到統(tǒng)計學(xué)家的批評［3～7］。

另外，統(tǒng)計學(xué)家們建議，可以通過使用兩個單獨的模型來考慮均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ的響應(yīng)。 因此， 對于σ的最小值和μ接近于其目標(biāo)的優(yōu)化，應(yīng)該同時采用單獨的模型來處理，以達到合理的穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計之目的。

這里，按照概率論的方法，以候選對象（方案）性能指標(biāo)的算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差作為處理中的兩個獨立響應(yīng)，便可實施穩(wěn)健性設(shè)計和產(chǎn)品的工藝優(yōu)化［1］。

2 概率基多目標(biāo)優(yōu)化方法在化工機械設(shè)計中的應(yīng)用實例

2.1 應(yīng)用于管殼式換熱器折流板結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化的正交試驗設(shè)計

管殼式換熱器廣泛應(yīng)用于石油、化工及冶煉等領(lǐng)域，具有諸多優(yōu)點，如結(jié)構(gòu)簡單、安全可靠及傳熱效率高等。 管殼式換熱器中的折流板是不可缺少的工作部件，它會影響換熱器的傳熱、流動特性，以及殼程壓降等行為。

李德濤等對折流板的缺口高度h在殼程圓筒內(nèi)徑的20%～45%范圍內(nèi)進行設(shè)計，發(fā)現(xiàn)折流板缺口高度的變化會對流體的流動狀態(tài)產(chǎn)生影響，進而對其傳熱效率造成影響，而且換熱系數(shù)和殼程壓降會隨著折流板缺口高度的增大而減小，折流板的最小間距應(yīng)不小于殼體內(nèi)徑的1/5 也不應(yīng)小于50 mm。研究表明，折流板間距越大殼程傳熱系數(shù)越小、壓降越小。 實際上，折流板間距應(yīng)該有其最佳的參數(shù)值，故針對管殼式換熱器進行了優(yōu)化設(shè)計［8］。 管殼式換熱器殼程內(nèi)徑為260 mm、殼程總長1 500 mm、進出口管內(nèi)徑90 mm、換熱管外徑24 mm、換熱管數(shù)量24根，換熱管間距36 mm。 將折流板缺口高度h、折流板數(shù)量N和折流板開孔孔徑d作為輸入自變量， 每個因素有3個設(shè)計水平，進行正交試驗設(shè)計，以換熱器的殼程壓降和表面換熱系數(shù)作為目標(biāo)，進行優(yōu)化設(shè)計。 對管殼式換熱器， 采用三維簡化模型以及CFD進行了模擬計算。 當(dāng)換熱介質(zhì)的入口流速為4 m/s時，其正交試驗設(shè)計結(jié)果列于表1。

表1 管殼式換熱器多因素正交試驗方案L9（34）及結(jié)果

按照概率基多目標(biāo)優(yōu)化方法對表1中數(shù)據(jù)進行處理，得到表2的結(jié)果。 其中，壓降△P具有越低越好的特征，屬于成本型指標(biāo)；表面換熱系數(shù)η具有越大越好的特征，屬于效益型指標(biāo)。 從表2結(jié)果可以看出， 方案2具有最大的總青睞概率，因此，優(yōu)化結(jié)果應(yīng)該在方案2附近。 進一步，對表2給出的總青睞概率進行極差分析， 得到表3的結(jié)果。

表2 管殼式換熱器多目標(biāo)試驗結(jié)果的評價情況

表3 管殼式換熱器概率基多目標(biāo)評價極差分析

極差分析表明，因素的重要性次序為h＞N＞d。而最終優(yōu)化的結(jié)果為h1N1d3， 即折流板缺口高度h=95 mm、折流板數(shù)量N=4塊、折流板開孔孔徑d=10 mm時，換熱器換熱效果可達到最優(yōu)。 然而，李德濤等采用綜合性能評價因子法，獲得的結(jié)果是h=95 mm、折流板數(shù)量N=4塊、折流板開孔孔徑d=8 mm［8］，異于本文的結(jié)果。

2.2 應(yīng)用于降黏聚結(jié)一體化裝置的優(yōu)化設(shè)計

卜凡熙等針對旋流器處理含聚介質(zhì)的“消化不良”現(xiàn)象，設(shè)計出一種降黏聚結(jié)一體化裝置。 將該裝置串聯(lián)于聚介質(zhì)的旋流處理器之前端，在降低聚合物溶液黏度的同時， 還增大了油滴粒徑，從而降低了含聚介質(zhì)黏度和油滴乳化程度對旋流器分離性能的影響。 同時，為了提高裝置的降黏聚結(jié)效果，采用正交試驗方法對其進行了結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化。試驗選取A、B、C、D、E、F、G7個因素，每個因素設(shè)定3個水平，并以油滴粒徑、黏度和壓降為3個優(yōu)化目標(biāo)，進行了優(yōu)化設(shè)計。 采用了三維簡化模型以及CFD進行模擬計算， 其正交設(shè)計結(jié)果列于表4［9］。

表4 降黏聚結(jié)一體化裝置的正交試驗L18（2137）方案及結(jié)果

按照概率基多目標(biāo)優(yōu)化方法對表4中數(shù)據(jù)進行處理，得到的結(jié)果列于表5，其中，油滴粒徑為效益型指標(biāo)，黏度和壓降為成本型指標(biāo)。從表5可以看出， 試驗方案6具有最大的總青睞概率，因此，優(yōu)化結(jié)果應(yīng)該在方案6附近。 進一步，對表5給出的總青睞概率進行極差分析， 得到表6的結(jié)果。

表5 降黏聚結(jié)一體化裝置多目標(biāo)試驗結(jié)果的評價情況

表6 降黏聚結(jié)一體化裝置概率基多目標(biāo)評價極差分析

極差分析結(jié)果表明， 因素的重要性次序為C＞F＞A＞D＞G＞E＞B， 最終優(yōu)化結(jié)果為A2B3C3D2E2F2G3時，降黏聚結(jié)一體化裝置可達到最優(yōu)。卜凡熙等采用“綜合平衡法”處理了這一問題［9］，得到的最終優(yōu)化結(jié)果為A2B2C3D2E2F2G1，和本文結(jié)果有點差異。

2.3 應(yīng)用于等距螺旋錐齒輪MIM工藝參數(shù)多目標(biāo)穩(wěn)健性優(yōu)化

劉贛華等針對等距螺旋錐齒輪， 利用Moldex3D軟件和正交試驗設(shè)計進行了金屬粉末注射成型（MIM）工藝成形的仿真分析。 以體積收縮率和粉末濃度為目標(biāo)函數(shù)，試圖通過對目標(biāo)函數(shù)均值分析和極差的分析，并利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合非支配排序遺傳算法（NSGA-Ⅱ）進行MIM工藝參數(shù)的優(yōu)化。 MIM工藝參數(shù)優(yōu)化考慮了5個影響因子，即保壓壓力A、充填時間B、澆口直徑C、熔體溫度D和模具溫度E，每個因子設(shè)計了5個水平，并采用L25（55）進行正交試驗設(shè)計［10］。 其正交設(shè)計結(jié)果列于表7。其中，μ和σ分別表示體積收縮率與粉末濃度的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差；合金粉末的輸入體積分?jǐn)?shù)為60%。

表7 MIM工藝參數(shù)的L25（55）正交試驗方案及體積收縮率與粉末濃度結(jié)果

筆者針對這一問題，采用概率基多目標(biāo)穩(wěn)健性評價［1］，由于粉末濃度的輸入值為60%，故其效用值應(yīng)為ε=|60%-μv|，具有越小越好的特征；同時體積收縮率的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差、粉末濃度的標(biāo)準(zhǔn)差也具有越小越好的特征。按照概率基多目標(biāo)優(yōu)化方法的穩(wěn)健性評價方法，以及粉末濃度的效用值ε的定義，對表7中數(shù)據(jù)進行處理得到表8的結(jié)果。

表8 MIM工藝參數(shù)試驗結(jié)果的多目標(biāo)穩(wěn)健性評價情況

以Pt=（Pμv·Pσv）×（Pμd·Pσd）為依據(jù)進行總青睞概率Pt的評估［1］。 由表8可知，試驗方案25（A5B5C4D3E2）具有最大的總青睞概率，因此，優(yōu)化結(jié)果應(yīng)該在方案25附近。 進行極差分析得到表9結(jié)果。

表9 MIM工藝參數(shù)試驗結(jié)果的概率基多目標(biāo)評價極差分析

極差分析結(jié)果顯示，因素的重要性次序為C＞B＞A＞D＞E，最終優(yōu)化結(jié)果為A5B1C4D3E2，即保壓壓力A=106 MPa、 充填時間B=0.20 s、 澆口直徑C=0.55 mm、熔體溫度D=240 ℃和模具溫度E=40 ℃。劉贛華等采用“BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合非支配排序遺傳算 法（NSGA-Ⅱ）”處 理 了 這 一 問 題［10］，得 到 的Pareto最優(yōu)解為：保壓壓力A=99.183 MPa、充填時間B=0.241 s、澆口直徑C=0.548 mm、熔體溫度D=240.702 ℃、模具溫度E=63.981 ℃，有異于本文的結(jié)果。

上述3個案例的計算結(jié)果均與本文結(jié)果存在差異，其原因在于概率基多目標(biāo)優(yōu)化屬于系統(tǒng)的優(yōu)化方法，期待之后有學(xué)者對計算效果進行驗證評價。

3 結(jié)束語

將概率基多目標(biāo)優(yōu)化方法和正交試驗設(shè)計，以及穩(wěn)健性設(shè)計結(jié)合起來，可以得到概率基多目標(biāo)正交試驗優(yōu)化設(shè)計和穩(wěn)健性設(shè)計方法。 將概率基多目標(biāo)正交試驗優(yōu)化設(shè)計方法應(yīng)用于管殼式換熱器折流板結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化的正交試驗設(shè)計和降黏聚結(jié)一體化裝置的優(yōu)化設(shè)計，概率基多目標(biāo)穩(wěn)健性設(shè)計方法應(yīng)用于等距螺旋錐齒輪MIM工藝參數(shù)多目標(biāo)的穩(wěn)健性設(shè)計，得到了多個目標(biāo)同時優(yōu)化的結(jié)果。 該方法簡便易行，可望在廣泛領(lǐng)域得到應(yīng)用。