張安妮，周 曉，婁立都，胡欣雨

（南華大學(xué)計算機(jī)學(xué)院，衡陽 421000）

0 引言

時間序列是按照時間排序的隨機(jī)變量集合，通常在相等間隔的時間段內(nèi)以給定的采樣率對某種潛在過程進(jìn)行觀測［1］。時間序列預(yù)測可分為單變量預(yù)測和多變量預(yù)測［2］。在單變量預(yù)測中，每次分析時序數(shù)據(jù)集時獨立進(jìn)行序列，不交叉學(xué)習(xí)。ARIMA（autoregressive integrated moving average）模型因其豐富的統(tǒng)計基礎(chǔ)和Box-Jenkins方法的選擇過程而備受青睞［3］。

多元時間序列預(yù)測廣泛應(yīng)用于交通、能源、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域［4-6］。在多元時間序列建模中，變量的預(yù)測不僅與它們自身的歷史值有關(guān)，還受到其他變量的影響。這種影響可能是直接的，也可能是間接的。例如，在一個城市的溫度預(yù)測中，不僅要考慮該城市過去的溫度，還需要考慮周圍城市的溫度對該城市的影響。VAR（vector autoregressive）模型作為一種早期多維時間序列的分析方法，可以用來探究多個相關(guān)聯(lián)的經(jīng)濟(jì)變量之間的動態(tài)關(guān)系［7］。

為了進(jìn)一步研究序列之間的相關(guān)性是否會對VAR 模型預(yù)測結(jié)果產(chǎn)生影響，采用傳統(tǒng)ARIMA和VAR方法，對給定的中國銀行數(shù)據(jù)（開盤價Open、最高價High、最低價Low、關(guān)盤價Close和成交量Volume）進(jìn)行多元時間序列預(yù)測。

1 數(shù)據(jù)與方法

1.1 數(shù)據(jù)集選擇

本次我們選擇網(wǎng)上公開的2014年1月1日至2014 年4 年30 日（即1～4 月）中國銀行數(shù)據(jù)，將其劃分為訓(xùn)練集（1～3 月數(shù)據(jù)）和測試集（4 月數(shù)據(jù)）。

1.2 ARMIA模型

ARIMA(p,d,q)模型全稱為差分自回歸移動平均模型，其中AR 是自回歸，p是自回歸項；MA是移動平均，q是移動平均項數(shù)；d是時間序列變得平穩(wěn)時所做的差分次數(shù)［8］。

ARIMA(p,d,q)模型是ARMA(p,q)模型的擴(kuò)展。ARIMA(p,d,q)模型可以表示為

其中，L是滯后算子（Lag operator），d∈Z,d＞0。

1.3 VAR模型

向量自回歸模型，簡稱VAR 模型［9］，是AR模型的推廣，是一種常用的計量經(jīng)濟(jì)模型，是AR 模型的擴(kuò)展。它由克里斯托弗·西姆斯于1980 年提出。VAR 模型考慮了多個變量之間的相互影響，因此比單純的AR 模型更為全面。在某些條件下，多元MA和ARMA模型也可以轉(zhuǎn)化成VAR 模型。在VAR 模型中，每個變量都被回歸到所有變量的當(dāng)前值和滯后值上。

模型的基本形式是弱平穩(wěn)過程的自回歸表達(dá)式，描述的是在同一樣本期間內(nèi)的若干變量可以作為它們過去值的線性函數(shù)。

其中，Yt表示k維內(nèi)生變量列向量，Yt-1,i=1,2,…,p為滯后的內(nèi)生變量，Yt表示d維外生變量列向量，p和T分別是滯后階數(shù)和樣本個數(shù)，?i即?1,?2,…,?p為k×k維的待估矩陣，B為k×d維的待估矩陣，εt～N（0, Σ）為k維白噪聲向量。

2 具體實現(xiàn)

2.1 總體技術(shù)路線

為了更直觀地展示實驗過程，總體技術(shù)路線如圖1所示。

圖1 總體技術(shù)路線

2.2 原數(shù)據(jù)可視化

先將2014 年1 月1 日至2014 年4 年30 日（即1～4 月）的所有指標(biāo)（即Open，High，Low，Close，Volume）數(shù)據(jù)可視化，如圖2所示。

圖2 ChinaBank數(shù)據(jù)可視化

2.3 因果分析

本次選擇VAR 做預(yù)測，首先對五個序列進(jìn)行因果分析。結(jié)果見表1。

表1 因果分析表格

如果p值小于0.05，則表明存在格蘭杰因果性［10］。從結(jié)果來看，Open、High、Low 和Close是存在因果關(guān)系的，但是Volume 跟這四個指標(biāo)之間的因果關(guān)系不大。因此可以將前面四個和最后一個序列分開預(yù)測。

2.4 ADF檢驗

在進(jìn)行實驗之前，有必要先檢查單個變量的穩(wěn)定性。雖然從可視化過程中也可以看出這幾個序列不穩(wěn)定，但為了更科學(xué)地判斷，本文對數(shù)據(jù)進(jìn)行了ADF測試。結(jié)果表明：前四組序列是不平穩(wěn)的，只有“Volume”序列是穩(wěn)定的。因此，將這兩個序列分開預(yù)測能夠更加合理和準(zhǔn)確。

2.5 VAR+ARIMA模型建立和預(yù)測

由于前四個序列都不平穩(wěn)，首先對前面四個序列使用VAR預(yù)測。對這四個序列做協(xié)整檢驗，看是否存在線性組合平穩(wěn)。結(jié)果如圖3所示。

圖3 前四個序列協(xié)整檢驗

由圖3可知，不存在線性組合。因此需要先差分使它們平穩(wěn)。劃分訓(xùn)練集（1～3 月數(shù)據(jù)）和測試集（4月數(shù)據(jù)）。對訓(xùn)練集全部進(jìn)行一階差分之后重新進(jìn)行ADF 檢驗，發(fā)現(xiàn)四個一階差分序列平穩(wěn)，之后再建立模型并訓(xùn)練。

模型建立需要根據(jù)AIC 值做模型測試，從結(jié)果發(fā)現(xiàn)lag=6 時達(dá)到局部最優(yōu)，且擬合結(jié)果較好，因此選擇lag=6 建立模型。然后檢驗殘差項中是否還存在相關(guān)性，這一步的目的是確保模型已經(jīng)解釋了數(shù)據(jù)中所有的方差和模式，檢驗值越接近2，說明模型越好。結(jié)果見表2。

表2 前四個序列殘差檢驗表

從表2 可以看出，結(jié)果都接近2，說明模型可以用于下一步預(yù)測。根據(jù)檢驗數(shù)據(jù)，完全有理由使用VAR模型進(jìn)行預(yù)測，將差分結(jié)果還原，得到前四個序列最終的預(yù)測結(jié)果。

單獨對“Volume”進(jìn)行預(yù)測。重新導(dǎo)入數(shù)據(jù)，并且劃分訓(xùn)練集和測試集。因為之前已經(jīng)對“Volume”序列做過ADF 檢驗，確定是平穩(wěn)序列，所以這里直接使用訓(xùn)練集數(shù)據(jù)通過ACF和PACF判斷參數(shù)。結(jié)果如圖4所示。

圖4 Volume序列ADF和PADF檢驗

從圖4可以發(fā)現(xiàn)是零階，所以采用遍歷尋優(yōu)的方法，選擇BIC 的最小值作為模型參數(shù)，經(jīng)測試，選擇AR1 和MA0 作為模型參數(shù)。使用訓(xùn)練集訓(xùn)練ARIMA（1，0，0）模型，對結(jié)果進(jìn)行預(yù)測，將結(jié)果可視化，如圖5所示。

圖5 ARIMA預(yù)測Volume可視化

2.6 VAR模型建立和預(yù)測

基于最初的ADF 檢驗，首先對五個序列做一次協(xié)整檢驗，結(jié)果表明：不存在使序列平穩(wěn)的線性組合。

對訓(xùn)練集前四個序列進(jìn)行差分，然后將差分之后的結(jié)果重新與第五個序列做拼接。之后對五個序列重新進(jìn)行ADF 檢驗，五個序列全部平穩(wěn)。根據(jù)AIC值，做模型測試，結(jié)果表明lag=2 時達(dá)到局部最優(yōu)，所以選擇lag=2，擬合效果好。檢查殘差項發(fā)現(xiàn)其結(jié)果都接近2，說明模型可用于進(jìn)行下一步預(yù)測。根據(jù)檢驗數(shù)據(jù)，完全有理由使用VAR 模型。使用VAR 預(yù)測，并將前面四個序列的差分結(jié)果還原，最后得到原始數(shù)據(jù)和預(yù)測數(shù)據(jù)，估計預(yù)測誤差。

3 結(jié)果

3.1 評價指標(biāo)

假設(shè)A和B分別為真實值矩陣和預(yù)測值矩陣，都是n× 5 的矩陣，用下面公式評價預(yù)測誤差：

3.2 對比實驗結(jié)果

本文進(jìn)行了VAR+ARIMA 模型和純VAR 模型實驗。通過評價指標(biāo)計算最后預(yù)測偏差和，結(jié)果見表3。

表3 模型偏差和對比

對于前四個序列，純VAR 模型的偏差和平均達(dá)到0.9，VAR+ARIMA 模型對應(yīng)值平均為0.5，結(jié)果表明：VAR+ARIMA 模型結(jié)合了VAR模型和ARIMA 模型的優(yōu)點，能夠更好地捕捉多個變量之間的相互影響以及時間序列的季節(jié)性和趨勢性。對于沒有因果關(guān)系的Volume 序列，強(qiáng)行加入前四個序列采用VAR 直接預(yù)測反而影響預(yù)測精度。

4 結(jié)語

本文通過對中國銀行數(shù)據(jù)進(jìn)行多元時間序列分析，探究因果時序采用VAR 模型做預(yù)測的影響，得到結(jié)果如下：

（1）通過對比具有因果關(guān)系前四組序列和不具因果關(guān)系第五組序列預(yù)測偏差發(fā)現(xiàn)，具有因果關(guān)系的序列組預(yù)測效果更佳。

（2）相反，非因果序列的預(yù)測效果可能會受到影響，并且還可能導(dǎo)致因果序列的擬合效果下降。這是因為非因果序列中的變量可能會引入噪聲或誤差，從而干擾因果序列中變量之間的真實關(guān)系。

此外，本實驗存在一些不足之處，比如：本文只使用了一種數(shù)據(jù)集進(jìn)行多元時間序列分析，因此結(jié)果可能受到數(shù)據(jù)集的限制。同時，數(shù)據(jù)集中可能存在一些噪聲或錯誤數(shù)據(jù)，這可能會影響到分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。但是結(jié)果仍然具有一定的參考價值。在將來的研究中，可以通過增加數(shù)據(jù)集的數(shù)量、提高數(shù)據(jù)集的質(zhì)量、選擇更適合的模型、正確判斷因果關(guān)系以及增加樣本的代表性等方式來改進(jìn)研究方法，提高分析結(jié)果的可靠性和泛化能力。