余 越，申 桐，張磬瀚，鄭繼紅

（上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093）

引言

傳統(tǒng)光學(xué)元件采用面形變化來實(shí)現(xiàn)特定的相位分布，從而實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的功能器件，系統(tǒng)體積和重量通常較大[1]。伴隨著工藝的發(fā)展與成熟，現(xiàn)在的光學(xué)系統(tǒng)對(duì)透鏡的體積和分辨率有著更高的要求，隨之一種新型透鏡出現(xiàn)在人們的視野中。2000 年，Pendry[2]和Zhang 等[3]提出了一塊負(fù)折射率材料平板，該結(jié)構(gòu)被稱為超透鏡。由于超透鏡能夠顯著提高圖像分辨率，在光學(xué)成像應(yīng)用領(lǐng)域引起了廣泛的關(guān)注。

超透鏡是基于超表面的成像器件，具有平面化、輕量化、易集成等優(yōu)點(diǎn)[4]。在超透鏡高清成像領(lǐng)域中，可以通過設(shè)計(jì)大數(shù)值孔徑超構(gòu)透鏡，用油浸的方式，實(shí)現(xiàn)高分辨率的聚焦成像。2012 年，Shen 等[5]提出了一種具有表面缺陷的蜂窩 光子晶體（photonic crystal，PC）結(jié)構(gòu)的平板透鏡，并且使用頻率為 0.299 6（2πc/a）的點(diǎn)光源模擬該透鏡亞波長(zhǎng)成像的結(jié)果，證實(shí)了表面缺陷可以幫助提升光子晶體的成像質(zhì)量。2014年，Zong 等[6]基于隨機(jī)單分子定位技術(shù)，利用熒光分子確定其點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的中心，然后通過循環(huán)疊加提高顯微鏡的分辨率，將其應(yīng)用在顯微成像中。2014 年，Digaum 等[7]發(fā)現(xiàn)了一種集成光子學(xué)的空間變化光子晶體結(jié)構(gòu)，其中單元的排列作為位置的函數(shù)而變化，能夠僅使用具有非常高偏振選擇性的低折射率材料來引導(dǎo)光束，其中一種紅外偏振光遇到該晶格結(jié)構(gòu)時(shí)不會(huì)通過，而另一種偏振光直接通過空間變體光子晶體傳播。2016 年，Mahin等設(shè)計(jì)了一種硅納米結(jié)構(gòu)與空氣相結(jié)合的平凹透鏡，并結(jié)合Au 耦合涂層，利用其超材料的特性最終實(shí)現(xiàn)了成像質(zhì)量的提高以及超分辨聚焦[8-10]。2016 年，哈佛大學(xué)Capasso小組利用微納米結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了一種超透鏡陣列，通過控制其陣列可以實(shí)現(xiàn)對(duì)入射光的調(diào)制，實(shí)現(xiàn)了數(shù)值孔徑NA=0.8，并達(dá)到了較高的聚焦效率[11]。2018 年，Haxha 等[12]利用光子晶體內(nèi)嵌入銀棒，降低了光子晶體結(jié)構(gòu)本身的色散，通過引入反射鏡等因素，提高了成像質(zhì)量，最終突破了衍射極限。2021 年，仇宮潤(rùn)等[13]提出了一種工作在800 nm（紅外波段）的超透鏡，它的主要結(jié)構(gòu)是亞波長(zhǎng)光柵，通過模擬后發(fā)現(xiàn)它的聚焦效率最高可達(dá)84.1%。通過克服光傳播的經(jīng)典衍射極限[14]，獲得了分辨率超高的圖像?；诠庾泳w的相位調(diào)控特性來實(shí)現(xiàn)突破衍射極限的超分辨聚焦，紅外波段的研究偏多，而對(duì)于紅光的研究甚少，且著重于內(nèi)凹結(jié)構(gòu)中半圓形缺陷對(duì)超透鏡成像影響的研究，與此同時(shí)，當(dāng)下使用較多的點(diǎn)光源和線偏振光源兩種光源中，以線偏振光源作為超透鏡的輸入光源方面的研究也比較少。因此，本文提出了一種工作在717 nm（可見光紅光波段，其輸入光源為TE 模式線偏振光）的超透鏡，將光子晶體結(jié)構(gòu)與波導(dǎo)進(jìn)行了結(jié)合，利用波導(dǎo)可以將光限制在波導(dǎo)內(nèi)傳輸，從而提高了光的利用率，加上光子晶體可以產(chǎn)生負(fù)折射率特性，從而該透鏡實(shí)現(xiàn)了亞波長(zhǎng)成像與納米尺度的高分辨率[15-17]；并引入了圓形、半圓形、矩形3 種典型的內(nèi)凹缺陷因素，通過不斷改變?nèi)毕莸某叽?，發(fā)現(xiàn)矩形缺陷的成像效果最好，半高全寬達(dá)到了244.66 nm，分辨率也達(dá)到了0.556λ，明顯地提高了成像質(zhì)量。

1 材料及方法

基于光子晶體的特性而產(chǎn)生的負(fù)折射率能夠?qū)崿F(xiàn)納米尺度的高分辨率，本文提出了一種光子晶體平板超透鏡（后文中統(tǒng)稱為PC 超透鏡）。該P(yáng)C 超透鏡的結(jié)構(gòu)如圖1 所示，由R= 0.2a（R為光子晶體柱的半徑），a= 0.1 μm（a為光子晶體結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)）的Au 和GaP 兩種周期相同、晶格常數(shù)相同、半徑相同的光子晶體構(gòu)成，以兩者相切的結(jié)構(gòu)刻入TiO2平板波導(dǎo)上。

圖1 PC 超透鏡結(jié)構(gòu)Fig. 1 PC superlens structure

1.1 材料

Au 在FDTD 材料庫(kù)中分為Palik 和CRC 兩種模式[18-19]，除此之外，還有另外一種熟知材料庫(kù)未有的模式——Drude 模型[20]。Drude 模型是用類似于理想氣體的一個(gè)模型來簡(jiǎn)化金屬材料中這些傳導(dǎo)電子的運(yùn)動(dòng)，Au 中大多數(shù)電子是自由的，它們不與原子核結(jié)合，回復(fù)力是微不足道的，并且沒有自然頻率發(fā)生，從而對(duì)光在Au 中的色散采用Drude 模型來解釋。Lumerical 軟件有官方的Drude 模型的公式，表達(dá)式為

式中：ε 為介電常數(shù)；ωp為等離子體共振頻率；νc為等離子體碰撞頻率；f為頻率。ε∞表示正離子核的凈貢獻(xiàn)：對(duì)于理想的自由電子氣體ε∞=1；對(duì)于金屬，取決于帶間響應(yīng)[12]，ε∞= 1～10。

式中：m*為電子的有效質(zhì)量；N為電子的密度；e為單個(gè)電子攜帶的電荷量；ε0為真空中的介電常數(shù)。

在模擬中，參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 Drude 模型參數(shù)設(shè)置示意圖Tab. 1 Schematic diagram of Drude model parameter setting

GaP 光子晶體可以有效提高透鏡的成像質(zhì)量，其主要是由于光子晶體本身的周期性結(jié)構(gòu)對(duì)光的調(diào)制作用非常明顯[21]。襯底使用的是TiO2波導(dǎo)，目的是利用波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的全內(nèi)反射使光能夠有效進(jìn)入到光子晶體結(jié)構(gòu)中。

1.2 方法

本研究是基于時(shí)域有限差分法（finite difference time domain-method，F(xiàn)DTD）對(duì)光子晶體與電場(chǎng)作用的仿真結(jié)果[22-23]。網(wǎng)格使用mesh 來細(xì)分，精度定位dx= dy＜λ/（10n），n為材料中的最大折射率。本文中除能帶圖外所有的仿真都是建立在2D（x，y平面）范圍內(nèi)的仿真，能帶圖3D范圍模擬如圖2 所示。

圖2 能帶圖模擬3D 視圖Fig. 2 Simulation of 3D view of band structure

圖3 結(jié)構(gòu)折射率圖Fig. 3 Structural refractive index

2 數(shù)值模擬與分析

2.1 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與光源分析

本文研究了Au 和GaP 組合構(gòu)成的平板PC 超透鏡結(jié)構(gòu)對(duì)于光波長(zhǎng)的選擇性以及不同形狀的缺陷對(duì)透鏡成像質(zhì)量的影響，該P(yáng)C 超透鏡的長(zhǎng)為20 個(gè)周期，寬為10 個(gè)周期，光被限制在TiO2平板波導(dǎo)內(nèi)傳播。為了觀測(cè)其結(jié)構(gòu)，在空間內(nèi)放置了折射率監(jiān)視器，然后得到結(jié)構(gòu)折射率（見圖3）。從折射率監(jiān)視器上可以很明顯地觀察到三部分不同的折射率，分別是Au 光子晶體（下方圓柱），GaP 光子晶體（上方圓柱）和TiO2平板波導(dǎo)（襯底），Au 光子晶體和GaP 光子晶體在TiO2平板波導(dǎo)上相切，半徑用R表示，R= 0.02 μm，晶格常數(shù)用a來表示，a= 0.1 μm。

本文采用六角晶格狀結(jié)構(gòu)的PC 透鏡設(shè)計(jì)，結(jié)構(gòu)具有高度對(duì)稱性，對(duì)其進(jìn)行TE 模式光的能帶分析如圖4 所示。

圖4 TE 模式能帶圖Fig. 4 TE mode band stucture

從能帶圖中可以分析出：有效負(fù)折射率是在當(dāng)歸一化角頻率ω0=0.139 4，波長(zhǎng)λ=0.717 μm時(shí)，在這種情況下，能帶的梯度指示電磁波以負(fù)群速度傳播，可以支持以倏逝波的形式來提高圖像分辨率[24]。

因此本次研究中選用光源波長(zhǎng)為0.717 μm的TE 偏振光，如圖5 所示。光源在y方向上的范圍為2 μm，與PC 透鏡在y方向上的長(zhǎng)度相同，厚度為2a，從而可以使透鏡達(dá)到最好的聚焦效果。

圖5 TE 模式光源圖Fig. 5 TE mode light source

將光源置于PC 結(jié)構(gòu)左側(cè)0.5 μm 處（即緊貼光子晶體波導(dǎo)結(jié)構(gòu)），并在結(jié)構(gòu)右側(cè)放置一個(gè)監(jiān)視器，用這個(gè)監(jiān)視器檢測(cè)光強(qiáng)，本次模擬全部采用的都是近場(chǎng)成像（光源距離成像器件小于等于一個(gè)波長(zhǎng)的距離稱為近場(chǎng)成像），且光的傳播方向全部都是由-x到x方向傳播，本次評(píng)定成像質(zhì)量的好壞是根據(jù)光在圖像上呈現(xiàn)的焦斑大小以及其電場(chǎng)強(qiáng)度大小。強(qiáng)度越高，焦斑越小，成像質(zhì)量越好。將Au 光子晶體移除前后，其成像結(jié)果如圖6 所示。

圖6 移除Au 光子晶體前后對(duì)比圖Fig. 6 The comparison chart before and after the removal of Au photonic crystal

從圖6（a）中可以看出，將Au 光子晶體移除前，光源只有少部分被反射回來，大部分通過結(jié)構(gòu)之后形成一個(gè)圓點(diǎn)，即焦點(diǎn)。從圖6（a）和（b）的現(xiàn)象以及表2 的對(duì)比，可以清楚地觀測(cè)到加了Au 光子晶體之后，焦斑范圍減小，強(qiáng)度增大，成像質(zhì)量也隨之有效提高。

表2 圖6 中焦點(diǎn)處最大強(qiáng)度對(duì)比Tab. 2 Comparison of maximum intensity at the focus in fig.6

2.2 不同形狀缺陷對(duì)結(jié)構(gòu)成像質(zhì)量的影響

光子晶體具有光子局域的特性，缺陷的屬性決定了光子局域的性能和特性，光子晶體中加入面缺陷時(shí)，面缺陷相當(dāng)于一塊完全的反射鏡，光波完全被局域限制在平面缺陷內(nèi)。在光子晶體缺陷模式（頻率處于完全禁帶或模式禁帶內(nèi)的缺陷結(jié)構(gòu)本征電磁模式），和缺陷帶（所有缺陷模式覆蓋的禁帶頻率范圍），那么頻率處于缺陷帶的光波可以被長(zhǎng)時(shí)間（低損失）地強(qiáng)局域在光子晶體中的缺陷結(jié)構(gòu)中。當(dāng)在光子晶體中引入缺陷介質(zhì)時(shí)可以獲得較大的透射光強(qiáng)，缺陷的位置選擇要綜合考慮平板的對(duì)稱性，以此來提高成像的分辨率[16]。

為了研究不同形狀的缺陷對(duì)PC 結(jié)構(gòu)成像的影響，本文討論了3 種形狀的缺陷。

當(dāng)缺陷為圓形結(jié)構(gòu)時(shí)，將透鏡右側(cè)做成內(nèi)凹圓形結(jié)構(gòu)（即移除一部分Au 棒和GaP 光子晶體以形成內(nèi)凹缺陷），且圓形缺陷外側(cè)與結(jié)構(gòu)右側(cè)相切，圓形缺陷的半徑：r= 0.3 μm，結(jié)構(gòu)如圖7 所示。

圖7 圓形缺陷示意圖Fig. 7 Schematic diagram of circular defect

加入圓形缺陷之后，模擬得到的成像示意圖如圖8 所示。

相比于圖6（a）、圖8 焦點(diǎn)光斑形成在內(nèi)凹缺陷內(nèi)部，小且亮，表3 中圖8 強(qiáng)度對(duì)比有所變強(qiáng)，說明結(jié)構(gòu)形成內(nèi)凹缺陷后可以有效提高成像質(zhì)量。為了觀察缺陷半徑對(duì)成像情況的影響，通過移除金棒和GaP 光子晶體，形成不同半徑的內(nèi)凹圓形缺陷。將半徑減小至0.2 μm，發(fā)現(xiàn)雖然被反射回去的光很少，但是在圖像上并沒有很明顯的聚焦現(xiàn)象，成像質(zhì)量并沒有達(dá)到明顯的提升；然后將半徑減小至0.1 μm，成像如圖9 所示。

表3 圖6（a）、圖8 焦點(diǎn)處最大強(qiáng)度對(duì)比Tab. 3 Comparison of maximum intensity at the focus in fig.6(a) and fig.8

圖8、圖9 和表4 對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圓形缺陷尺寸r從0.3 μm 逐漸減小至0.1 μm 的過程中，成像質(zhì)量下降十分明顯，繼續(xù)將r減小至0.05 μm，發(fā)現(xiàn)成像質(zhì)量并沒有很明顯地升高，因此得出：當(dāng)圓形缺陷半徑r從0.3 μm 逐漸減小時(shí)，成像質(zhì)量并沒有提高，而呈現(xiàn)下降狀態(tài)。將圓形半徑增大，在增大的過程中發(fā)現(xiàn)：焦點(diǎn)亮度并沒有增強(qiáng)，甚至在逐步減弱，所以增大圓形半徑也并沒有明顯提高成像質(zhì)量。綜上所述，圓形缺陷半徑r= 0.3 μm 時(shí)，成像質(zhì)量最高。

當(dāng)缺陷結(jié)構(gòu)為矩形時(shí)，設(shè)置長(zhǎng)Lx為0.5 μm，寬Ly為1 μm，右邊與PC 透鏡相切，結(jié)構(gòu)示意如圖10 所示，成像結(jié)果如圖11 所示。

從圖11 可以看出來該矩形缺陷相比于r=0.3 μm 圓形缺陷來說，焦斑也是成像在缺陷內(nèi)部，焦斑變得圓且亮，表5 對(duì)比最大強(qiáng)度時(shí)，圖11 有所減弱。改變矩形缺陷的尺寸，Lx保持不變，Ly增大至2 μm，相當(dāng)于減少光子晶體x方向上的周期數(shù)，成像如圖12 所示。

表5 圖8、圖11 焦點(diǎn)處最大強(qiáng)度對(duì)比Tab. 5 Comparison of maximum intensity at the focus in fig.8 and fig.11

圖12 矩形缺陷Lx = 0.5 μm，Ly = 2 μm 時(shí)的成像示意圖Fig. 12 Schematic diagram when rectangular defect Lx = 0.5 μm, Ly = 2 μm

逐漸改變Ly的大小，多次模擬之后可以發(fā)現(xiàn)，Ly從1 μm 到2 μm 的過程中，焦點(diǎn)亮度和強(qiáng)度（表6）都不如往前；嘗試減小Ly，觀察成像效果，減小至Ly= 0.8 μm 時(shí)，如圖13 與表7，發(fā)現(xiàn)成像質(zhì)量最好。

表6 圖11、圖12 焦點(diǎn)處最大強(qiáng)度對(duì)比Tab. 6 Comparison of maximum intensity at the focus in fig.11 and fig.12

表7 圖11、圖13 焦點(diǎn)處最大強(qiáng)度對(duì)比Tab. 7 Comparison of maximum intensity at the focus in fig.11 and fig.13

圖13 矩形缺陷Lx = 0.5 μm，Ly = 0.8 μm 時(shí)的成像示意圖Fig. 13 Schematic diagram when rectangular defect Lx = 0.5μm, Ly = 0.8 μm

保持Ly= 0.8 μm 不變，將Lx進(jìn)行一些放大或者縮小，觀察其現(xiàn)象。經(jīng)過多次重復(fù)模擬，發(fā)現(xiàn)改變對(duì)于成像質(zhì)量的提高并沒有很明顯的作用，甚至還會(huì)降低成像質(zhì)量。綜上，矩形缺陷尺寸為L(zhǎng)x= 0.5 μm，Ly= 0.8 μm 時(shí)成像質(zhì)量最高。

當(dāng)這個(gè)缺陷的形狀為半圓時(shí)，結(jié)構(gòu)示意圖如圖14 所示。

首先設(shè)定半圓缺陷的半徑為0.23 μm，成像效果如圖15 所示，從圖像中可以觀察出明顯的聚焦現(xiàn)象，且焦斑半徑較小，成像質(zhì)量較好。

圖15 半圓形缺陷r = 0.23 μm 時(shí)的成像示意圖Fig. 15 Schematic diagram when semicircular defect r = 0.23 μm

調(diào)節(jié)半圓缺陷的半徑，多次仿真之后，發(fā)現(xiàn)當(dāng)半圓缺陷的半徑為0.23 μm 時(shí)，成像質(zhì)量最高。

通過多次重復(fù)模擬實(shí)驗(yàn)，將3 種形狀的缺陷進(jìn)行最終成像效果對(duì)比：發(fā)現(xiàn)當(dāng)矩形缺陷為L(zhǎng)x= 0.5 μm，Ly= 0.8 μm 時(shí)，焦斑呈現(xiàn)出來的效果最好，且光強(qiáng)最高。表8 列出了各個(gè)缺陷時(shí)的半高全寬（full width at half maximum，F(xiàn)WHM），圖16 畫出了表8 中對(duì)應(yīng)各種結(jié)構(gòu)的半高全寬圖。

表8 原結(jié)構(gòu)以及3 種缺陷成像質(zhì)量最好時(shí)對(duì)應(yīng)的半高全寬Tab. 8 The full width at half maximum to the original structure and the three defects with the best imaging quality

圖16 原結(jié)構(gòu)、半圓缺陷、圓形缺陷、矩形缺陷的半高全寬圖Fig. 16 The full width at half maximum diagram of original structure, half-circle defect, circular defect, rectangular defect

為了分析和獲得更高質(zhì)量的分辨率，模擬中保持光源的厚度不變（厚度為2a），在PC 結(jié)構(gòu)左側(cè)放置兩個(gè)相互平行的線光源（兩個(gè)光源的厚度相同，初相位相同，頻率相同，且相位差恒定，保證可以產(chǎn)生干涉），由于光源在空間中只要相遇就會(huì)產(chǎn)生干涉，所以在出口處放置一個(gè)監(jiān)視器，用來觀測(cè)兩個(gè)光源的干涉情況，兩者之間的距離d= 0 時(shí)（見圖17）。逐漸改變兩光源之間的距離，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)d= 0.399 nm，也就是0.556λ 時(shí)，兩個(gè)光源恰好可以被分辨出來，成像如圖18 所示，干涉情況示意圖如圖19 所示。

圖17 兩光源之間的距離d = 0 時(shí)的干涉情況Fig. 17 The interference situation when the distance between the two light sources is d = 0

圖18 兩光源之間的距離d = 0.556λ 的成像示意圖Fig. 18 Schematic diagram of the distance d = 0.556λ between two light sources

圖19 兩光源之間的距離d = 0.556λ 時(shí)的干涉情況Fig. 19 The interference situation when the distance between the two light sources is d = 0.556λ

3 結(jié)論

本文提出了一種新型結(jié)構(gòu)的PC 超透鏡，由Au/TiO2/GaP 構(gòu)成，能夠有效地將平板波導(dǎo)和光子晶體結(jié)合在一起，并且研究了結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生不同形狀的缺陷以及缺陷的數(shù)據(jù)改變對(duì)結(jié)構(gòu)整體成像質(zhì)量的影響，經(jīng)過能帶圖的整體分析發(fā)現(xiàn)該P(yáng)C 超透鏡整體結(jié)構(gòu)對(duì)于717 nm 光波（即紅光）可以呈現(xiàn)有效負(fù)折射率，并且Au 光子晶體的添加確實(shí)有效提高了PC 超透鏡整體的成像質(zhì)量；不同的缺陷形狀以及數(shù)據(jù)改變過程中，其中矩形缺陷Lx= 0.5 μm，Ly= 0.8 μm 時(shí)，成像質(zhì)量最高，半高全寬最?。焕镁哂芯匦稳毕莸腜C 超透鏡整體來對(duì)兩個(gè)平行光源進(jìn)行干涉成像時(shí)，將兩個(gè)光源之間的距離從0 到0.556λ 不斷變化，通過曲線圖可以有效地觀測(cè)到兩個(gè)光源的干涉情況，d= 0.556λ 時(shí)，兩個(gè)光源恰好可以被區(qū)分開。經(jīng)過此次模擬，提出了一種超透鏡的新型組成方式，對(duì)于現(xiàn)在的工藝來說可以實(shí)現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)的過程也并不是特別復(fù)雜，精細(xì)程度上也可以達(dá)到要求，有望達(dá)到實(shí)體化；該P(yáng)C 超透鏡在二維平面（x和y）內(nèi)達(dá)到了成像中的可見光控制，可以應(yīng)用于精細(xì)醫(yī)療設(shè)備、可攜帶設(shè)備等小型成像器件方面。