李 江，魏春金

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門(mén) 361021)

0 引言

長(zhǎng)期以來(lái)，在種群動(dòng)力系統(tǒng)中，捕食與食餌模型是許多學(xué)者的一個(gè)重要研究方向，這方面的研究也取得了大量豐富的成果[1-7]。生態(tài)學(xué)研究主要關(guān)注的是捕食者與食餌之間的相互作用，這種相互作用主要是由捕食者對(duì)食餌的直接消耗控制的。文獻(xiàn)[8]提出了模型

(1)

其中：x(t)、y(t)分別表示食餌和捕食者在t時(shí)刻的種群密度；c為轉(zhuǎn)化率；f1(x(t))、f2(y(t))分別表示食餌和捕食者的增長(zhǎng)率；p(x(t)、y(t))為功能反應(yīng)函數(shù)。然而，最新的理論研究和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，除了直接捕食之外，捕食者的間接效應(yīng)也會(huì)顯著改變整個(gè)生態(tài)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)[9-11]。僅僅是捕食威脅就足以迫使食餌改變自身的生活習(xí)慣并表現(xiàn)出各種反捕食的行為，如選擇新的棲息地、改變覓食時(shí)間和尋找更安全的覓食地點(diǎn)等，這也會(huì)使得食餌生長(zhǎng)、生存和繁殖的能力下降[12-15]?；诖?，文獻(xiàn)[16]考慮捕食者引起的恐懼并建立了模型

(2)

其中：f(k,y)為恐懼函數(shù)；k為迫使食餌做出反捕食行為的恐懼程度；r0為食餌的內(nèi)稟增長(zhǎng)率；a為食餌種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)；c為轉(zhuǎn)化率；g(x)為功能反應(yīng)函數(shù)；di(i=1，2)為自然死亡率。

事實(shí)上，除了出生率，食餌的反捕食行為還會(huì)影響捕食者的捕獲率。此外，現(xiàn)實(shí)世界中的隨機(jī)干擾是處處存在的，種群在環(huán)境中不可避免會(huì)受到各種隨機(jī)干擾的影響[17-19]。因此，與確定性模型相比，隨機(jī)模型更具有真實(shí)性。受到文獻(xiàn)[20-21]的啟發(fā)，本文在模型(2)的基礎(chǔ)上對(duì)隨機(jī)模型

(3)

1 預(yù)備知識(shí)

隨機(jī)微分方程

dx(t)=f(x(t)，t)dt+g(x(t)，t)dB(t)

(4)

的解記作x(t)=(x1(t)，x2(t)，…，xn(t))(t≥0)。其中：f∈L1(Rn×R+，Rn)；g∈L2(Rn×R+，Rn×m)；B(t)是n維布朗運(yùn)動(dòng)。

定理1[22](存在唯一性定理) 假設(shè)f(x(t)，t)和g(x(t)，t)關(guān)于x(t)滿足下列條件：1)局部Lipschitz條件，存在ck>0(k=1，2，…)，使得?x，y∈Rn且|x|∨|y|≤k，有|f(x，t)-f(y，t)|∨|g(x，t)-g(y，t)|≤ck|x-y|；2)線性增長(zhǎng)條件，存在c>0，使得|f(x，t)|∨|g(x，t)|≤c|1+|x||，?(x，t)∈Rn×R+，則初始條件為x(0)=x0∈Rn的系統(tǒng)(4)存在唯一連續(xù)的局部解x(t)(t∈[0，τe))，τe是爆破時(shí)間。

引理1[23-24]對(duì)Markov過(guò)程X(t)，若具有正則邊界的有界區(qū)域U∈Rd有如下性質(zhì)：1)對(duì)任意的x∈U，擴(kuò)散矩陣A(X)的最小特征值是非零的；2)存在非負(fù)C2-函數(shù)V，使得LV在RdU上為負(fù)數(shù)，則Markov過(guò)程X(t)存在唯一的遍歷平穩(wěn)分布μ(·)。

2 全局正解的存在性

證明首先考慮方程

(5)

令k0>0足夠大，使得(x(t)，y(t))∈[1/k0，k0]×[1/k0，k0]，對(duì)于任意的正數(shù)k≥k0，定義一個(gè)停時(shí)序列：τk=inf{t∈[0，τe)：x(t)(1/k，k)或y(t)(1/k，k)}。

假設(shè)τ∞→/∞，則存在常數(shù)T1≥0、∈(0，1)和一個(gè)正整數(shù)k1≥k0，使得P{τk≤T1}≥ε，?k≥k1。

dV(x，y)=LV(x，y)dt+(x-1)σ1dB1+(y-1)σ2dB2，

后續(xù)證明與文獻(xiàn)[26]類(lèi)似，在此省略。

3 隨機(jī)持久與滅絕

4 遍歷平穩(wěn)分布的存在性

5 數(shù)值模擬結(jié)果

為了驗(yàn)證上述理論，本文采用Milstein高階方法[27]對(duì)給定初始值和參數(shù)的隨機(jī)模型(3)進(jìn)行數(shù)值模擬。

下面討論白噪聲強(qiáng)度σ1和恐懼導(dǎo)致的出生率變化強(qiáng)度c2對(duì)系統(tǒng)的影響。

6 結(jié)論

本文研究了具有恐懼效應(yīng)的隨機(jī)捕食-食餌模型，證明了對(duì)于任意給定的正初始值，系統(tǒng)(3)存在唯一的全局正解；得到了系統(tǒng)(3)的平均持續(xù)生存與滅絕的充分條件；應(yīng)用Has’minskii的平穩(wěn)分布理論，得到了系統(tǒng)(3)存在唯一遍歷平穩(wěn)分布的充分條件。此外，數(shù)值模擬結(jié)果表明，恐懼效應(yīng)的存在極大地豐富了捕食食餌模型的動(dòng)力學(xué)。出于對(duì)被捕食的恐懼，食餌會(huì)表現(xiàn)出一系列反捕食行為，這有利于食餌的生存，并有可能導(dǎo)致捕食者最終滅絕。然而，反捕食行為尤其是更換棲息地對(duì)食餌出生率有較大的影響，這不利于食餌新生代的繁殖，并將最終影響整個(gè)種群的生存，因此，在捕食食餌模型中考慮恐懼效應(yīng)是有實(shí)際意義的。