徐國(guó)紅

摘? 要：數(shù)學(xué)教學(xué)要重視單元起始課教學(xué)，給學(xué)生宏觀的指引和整體的印象，將學(xué)生帶進(jìn)單元學(xué)習(xí)的大門(mén)。以《對(duì)稱(chēng)圖形——圓》一章為例，說(shuō)明單元起始課教學(xué)要注意“虛實(shí)結(jié)合”：幫助學(xué)生構(gòu)建學(xué)習(xí)路徑，窺探學(xué)習(xí)內(nèi)容，了解“學(xué)什么”的順序；引導(dǎo)學(xué)生明確核心概念，初探根本性質(zhì)，體會(huì)“怎么學(xué)”的方法。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；單元起始課；《對(duì)稱(chēng)圖形——圓》

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》確立了核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)，為此，強(qiáng)調(diào)教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化。［1］因此，教師需要重視單元（包括教材編排的章節(jié)和教師根據(jù)內(nèi)在的關(guān)聯(lián)跨越教材章節(jié)整合的“知識(shí)塊”）整體教學(xué)。對(duì)此，尤其要關(guān)注單元起始課教學(xué)，給學(xué)生宏觀的指引和整體的印象，將學(xué)生帶進(jìn)單元學(xué)習(xí)的大門(mén)。在教學(xué)中，筆者體會(huì)到單元起始課教學(xué)要注意“虛實(shí)結(jié)合”。下面，以蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第2章《對(duì)稱(chēng)圖形——圓》為例來(lái)說(shuō)明。

一、“虛”：構(gòu)建學(xué)習(xí)路徑，窺探學(xué)習(xí)內(nèi)容，了解“學(xué)什么”的順序

為了給學(xué)生宏觀的指引和整體的印象，單元起始課教學(xué)要幫助學(xué)生構(gòu)建單元學(xué)習(xí)路徑（包括起源背景），窺探單元學(xué)習(xí)內(nèi)容（包括相互關(guān)聯(lián)），讓學(xué)生了解“學(xué)什么”的順序。這就是單元起始課教學(xué)的“虛”：不具體研究某個(gè)“知識(shí)點(diǎn)”。它可以讓學(xué)生在后續(xù)的單元學(xué)習(xí)中有目標(biāo)、有動(dòng)力，也有助于學(xué)生初步體會(huì)單元學(xué)習(xí)的一般觀念。

相比于小學(xué)數(shù)學(xué)課程，初中數(shù)學(xué)課程的安排進(jìn)一步體現(xiàn)了近代數(shù)學(xué)發(fā)展基礎(chǔ)的抽象結(jié)構(gòu)思想：不僅要知道研究對(duì)象是什么，更重要的是知道研究對(duì)象的性質(zhì)是什么、關(guān)系是什么、運(yùn)算是如何開(kāi)展的。［2］聚焦到“圖形與幾何”領(lǐng)域，研究對(duì)象除了主要作為圖形要素存在的點(diǎn)、線、面、角之外，主要是幾個(gè)基本的平面封閉圖形，包括直邊圖形三角形（包括特殊的等腰三角形、直角三角形等）、四邊形（包括特殊的平行四邊形、梯形以及更特殊的矩形、菱形、正方形）和曲邊圖形圓。具體到“圓”這部分內(nèi)容，小學(xué)階段，學(xué)生從生活事物中抽象出圓這種圖形，進(jìn)而學(xué)會(huì)用圓規(guī)畫(huà)圓，同時(shí)知道了圓心、半徑、直徑、扇形、弧、圓心角等相關(guān)概念，但是沒(méi)有給圓下定義；然后，通過(guò)測(cè)量、歸納的方法認(rèn)識(shí)了圓周率，知道了圓的周長(zhǎng)公式；通過(guò)剪拼將圓轉(zhuǎn)化為近似的平行四邊形，借助極限思想，探索出圓的面積公式。

因此，《對(duì)稱(chēng)圖形——圓》一章的起始課教學(xué)可以基于抽象結(jié)構(gòu)思想，類(lèi)比初中學(xué)習(xí)的三角形、四邊形有關(guān)內(nèi)容，順承小學(xué)學(xué)習(xí)的圓的有關(guān)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建學(xué)習(xí)路徑，窺探學(xué)習(xí)內(nèi)容。初中學(xué)習(xí)“圓”，首先要發(fā)現(xiàn)圓的本質(zhì)特征，給圓下一個(gè)定義。其次要進(jìn)一步研究圓的“性質(zhì)”（包括“判定”，常表現(xiàn)為“關(guān)系”）?？紤]到圓既是更為復(fù)雜的曲邊圖形，也和較為簡(jiǎn)單的直邊圖形有著豐富的聯(lián)系。于是，既要研究圓和點(diǎn)的位置關(guān)系、圓之間的位置關(guān)系和大小關(guān)系、圓中弧的位置關(guān)系和大小關(guān)系，也要研究圓和直線的位置關(guān)系、圓中線段的大小關(guān)系、圓和角的位置關(guān)系、圓中角的大小關(guān)系，可能還要研究圓中弧、線段和角的關(guān)系，以及圓與三角形、四邊形乃至多邊形的關(guān)系，特別是研究其中的一些特殊情況（比如位置關(guān)系、大小關(guān)系的特殊情況以及與特殊的三角形、四邊形乃至多邊形的關(guān)系）。由此，學(xué)生不僅能初步了解本章“學(xué)什么”的順序，而且能初步體會(huì)“先研究概念，再研究性質(zhì)等，最后開(kāi)展應(yīng)用”和“從點(diǎn)、線、角等要素以及與其他圖形關(guān)系的角度研究平面圖形”等作為學(xué)習(xí)路徑的一般觀念。

二、“實(shí)”：明確核心概念，初探根本性質(zhì)，體會(huì)“怎么學(xué)”的方法

單元起始課教學(xué)出于目標(biāo)定位的考慮，受到課堂時(shí)間的限制，不太需要關(guān)注微觀的學(xué)習(xí)方法和局部的學(xué)習(xí)內(nèi)容。但是，如果只關(guān)注宏觀的學(xué)習(xí)路徑和整體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，則容易使課堂教學(xué)流于虛空。因此，還應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注單元基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)內(nèi)容和貫穿的學(xué)習(xí)方法，引導(dǎo)學(xué)生在明確核心概念、初探根本性質(zhì)的過(guò)程中體會(huì)“怎么學(xué)”的方法，從而更好地將學(xué)生帶進(jìn)單元學(xué)習(xí)的大門(mén)。這樣，可以讓學(xué)生在后續(xù)的單元學(xué)習(xí)中有抓手、有策略，同樣有助于學(xué)生初步體會(huì)單元學(xué)習(xí)的一般觀念。

顯然，《對(duì)稱(chēng)圖形——圓》一章的核心概念是圓。學(xué)生在小學(xué)學(xué)會(huì)了用圓規(guī)畫(huà)圓。這時(shí)，圓的本質(zhì)特征其實(shí)已經(jīng)呼之欲出，只是考慮到小學(xué)生的抽象概括能力還比較弱，也缺乏用準(zhǔn)確嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)的能力，所以暫時(shí)不讓學(xué)生給圓下定義。到了初中，隨著學(xué)生年齡的增長(zhǎng)以及更具有抽象性和邏輯性的數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和交流，在《對(duì)稱(chēng)圖形——圓》一章的起始課中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回憶用圓規(guī)畫(huà)圓的過(guò)程，抽象概括出圓的本質(zhì)特征——圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，從而用準(zhǔn)確嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言給圓下一個(gè)定義。為了幫助學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)（理解）圓的本質(zhì)特征，教師可以讓學(xué)生同桌合作完成以下數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究：（1） 一位同學(xué)在白紙上畫(huà)一個(gè)半徑為3 cm的圓，記作“⊙O”；（2） 另一位同學(xué)在⊙O所在的白紙上任意畫(huà)3個(gè)點(diǎn)，記為“點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C”；（3）兩位同學(xué)共同判斷所取的3個(gè)點(diǎn)與⊙O有怎樣的位置關(guān)系，并思考判斷的依據(jù)。在此基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考如何判斷圓所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)和圓的位置關(guān)系——

師? （在黑板上畫(huà)一個(gè)圓和一個(gè)明顯在圓外的點(diǎn)）這個(gè)點(diǎn)和圓有什么位置關(guān)系？

生? 在圓外面。

師? 你是怎么知道的？

生? 看到的。

師? 很好！借助直觀是研究圖形的一個(gè)重要方法。（再畫(huà)一個(gè)和圓貼得很緊的點(diǎn)）這個(gè)點(diǎn)和圓有什么位置關(guān)系？

生? 感覺(jué)點(diǎn)在圓外。

生? 不那么容易確定。

師? 這說(shuō)明我們的直觀感知不夠準(zhǔn)確嚴(yán)謹(jǐn)，那么，我們?cè)趺磥?lái)判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系呢？或者說(shuō)，我們?cè)趺唇o圓下定義呢？

由此，教師便可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“到定點(diǎn)（圓心）的距離等于定長(zhǎng)（半徑）的點(diǎn)的集合”給圓下定義，通過(guò)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，并聯(lián)系之前學(xué)習(xí)的三角形、四邊形有關(guān)內(nèi)容，進(jìn)一步體會(huì)到“以數(shù)助形、定量刻畫(huà)”“實(shí)驗(yàn)探索、邏輯推理”是研究平面圖形的重要方法，也是一般觀念。

結(jié)合蘇科版教材的編寫(xiě)，不難發(fā)現(xiàn)，圓的根本性質(zhì)是對(duì)稱(chēng)性，包括中心對(duì)稱(chēng)性（更一般地看，是旋轉(zhuǎn)不變性）、軸對(duì)稱(chēng)性。在《對(duì)稱(chēng)圖形——圓》一章的起始課中，教師可以給學(xué)生發(fā)放圓形紙片，讓學(xué)生在圓周上任取兩點(diǎn)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)使一點(diǎn)移動(dòng)到另一點(diǎn)原來(lái)的位置，通過(guò)對(duì)折使兩點(diǎn)重合，從而發(fā)現(xiàn)圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后都能和原來(lái)的圖形重合，圓關(guān)于任意一條直徑對(duì)稱(chēng)，即發(fā)現(xiàn)圓的旋轉(zhuǎn)不變性和軸對(duì)稱(chēng)性。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)增加點(diǎn)、連成線后旋轉(zhuǎn)，初步感受“同一個(gè)圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等”的結(jié)論；通過(guò)連成線后的對(duì)折，初步感受“垂直于弦的直徑平分弦，也平分弦所對(duì)的兩條弧”和“平分不是直徑的弦的直徑垂直于弦，并平分弦所對(duì)的兩條弧”的結(jié)論（垂徑定理）——對(duì)這兩個(gè)結(jié)論，只需要初步感受、大致表達(dá)，不需要嚴(yán)格證明、精確闡述。由此，教師便可以引導(dǎo)學(xué)生初步體會(huì)到“化曲為直”（化弧為弦、角）這種轉(zhuǎn)化方法可能是研究圓（突破其“曲邊”難點(diǎn)）的重要方法，也是一般觀念。

在此基礎(chǔ)上，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生思考：我們?cè)谛W(xué)是通過(guò)測(cè)量、歸納的方法實(shí)驗(yàn)得到圓的周長(zhǎng)公式的，卻通過(guò)“化曲為直”（將圓剪拼近似為平行四邊形）的方法推導(dǎo)得到圓的面積公式，那么，也能通過(guò)“化曲為直”的方法推導(dǎo)得到圓的周長(zhǎng)公式嗎？對(duì)此，可能有學(xué)生在小學(xué)通過(guò)拓展閱讀材料（如蘇教版教材中的《你知道嗎》欄目）初步了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽曾經(jīng)采用的“割圓術(shù)”的求解思路：把圓周等分成若干段，近似看作線段求長(zhǎng)度和，具體從六等分開(kāi)始不斷加倍，逐步逼近準(zhǔn)確值?；诖耍處熆梢赃M(jìn)一步介紹“割圓術(shù)”的求解關(guān)鍵：如圖1，利用垂徑定理和勾股定理，找到分加倍前后線段長(zhǎng)度關(guān)系的遞推公式。［3］

由此，學(xué)生可以進(jìn)一步體會(huì)到“化曲為直”的轉(zhuǎn)化方法常常和“無(wú)限逼近”的極限方法一起使用，從而不僅為本章后續(xù)學(xué)習(xí)“圓與正多邊形”（理解其必要性）做好鋪墊，而且為高中學(xué)習(xí)“球的表面積公式和體積公式”做好鋪墊，乃至為高中或大學(xué)學(xué)習(xí)“定積分”做好鋪墊；同時(shí)，初步體會(huì)到垂徑定理處理圓問(wèn)題的價(jià)值，以及遞推方法（數(shù)學(xué)歸納法思想）處理無(wú)限問(wèn)題的作用。

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：23.

［2］史寧中.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂與核心素養(yǎng)［J］.教育研究與評(píng)論，2022（5）：24.

［3］孫四周.還原祖沖之——我是如何在中學(xué)講割圓術(shù)的［J］.教育研究與評(píng)論，2016（6）：6466.