關(guān)注數(shù)學(xué)課堂細(xì)節(jié)，發(fā)展學(xué)生幾何直觀
——從一節(jié)“數(shù)軸”新授課的觀課說起

■張海華

最近，筆者參加學(xué)校組織的青年教師匯報(bào)課的觀課與評課活動(dòng)，內(nèi)容是蘇科版數(shù)學(xué)七年級上冊“數(shù)軸（第1 課時(shí)）”。開課的六位教師都是近三年參加工作的，教學(xué)熱情高，課前都進(jìn)行了精心備課，不論是教案、學(xué)案的精致呈現(xiàn)，還是課件的精美設(shè)計(jì)都是值得肯定的。課堂上，教師也能與學(xué)生保持積極互動(dòng)、對話追問。七年級學(xué)生剛剛進(jìn)入初中階段，對數(shù)學(xué)充滿興趣，“數(shù)軸”的教材內(nèi)容不算太難，課堂氛圍很好。課后帶教師父、教研專家們對青年教師們的點(diǎn)贊式課堂予以高度評價(jià)。然而，對于數(shù)軸這樣一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具，如何教出深度？還是引發(fā)了筆者的進(jìn)一步思考。

一、從一節(jié)“數(shù)軸”新授課的觀課說起

1.關(guān)于“原點(diǎn)”位置

教師在講解數(shù)軸定義時(shí)，給出的數(shù)軸都是標(biāo)準(zhǔn)的圖形，即原點(diǎn)位于“正中”位置，后續(xù)練習(xí)時(shí)提供的數(shù)軸原點(diǎn)也都處在“正中”位置。從學(xué)生的畫圖和練習(xí)來看，學(xué)生都是這樣來畫數(shù)軸的。比如，教師給出一道練習(xí)題，讓學(xué)生在數(shù)軸上表示出-1 和6.5這兩個(gè)數(shù)，結(jié)果很多學(xué)生畫成如圖1所示的數(shù)軸。

圖1

圖2

教師在點(diǎn)評或展示學(xué)生的作業(yè)時(shí)，如果能發(fā)現(xiàn)如圖2所示的畫法，應(yīng)給予學(xué)生表揚(yáng)，這將有利于學(xué)生深刻理解數(shù)軸三要素之一的“原點(diǎn)”。因?yàn)樵c(diǎn)并不一定要在直線的“正中”，它只是一個(gè)基準(zhǔn)，“基準(zhǔn)”是一種規(guī)定，也是培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性的重要機(jī)會(huì)。

2.對“單位長度”的理解

圖3

圖4

上述講解方式有利于學(xué)生理解“更小”的分?jǐn)?shù)（小數(shù)）的表示方法，但是筆者認(rèn)為，這種方法還不能引導(dǎo)學(xué)生深刻理解“單位長度”的本質(zhì)。比如，我們需要在數(shù)軸上表示出（如圖4）。這時(shí)教師需要引導(dǎo)學(xué)生對照數(shù)軸定義理解圖4是否滿足定義中“規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線”，這樣做能加深學(xué)生對數(shù)軸定義的理解。為了鞏固學(xué)生對數(shù)軸的理解，教師還可以進(jìn)一步追問學(xué)生“如何在數(shù)軸上快速標(biāo)出2023與-2023”，這個(gè)練習(xí)可以鞏固學(xué)生對數(shù)軸“單位長度”的理解。

二、關(guān)于發(fā)展學(xué)生幾何直觀的幾點(diǎn)思考

1.教師要不斷精進(jìn)對幾何直觀的深刻理解

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下稱《課標(biāo)》）指出：幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣，有助于把握問題本質(zhì)，明晰思維的路徑。筆者認(rèn)為，對于幾何直觀的理解因人而異，且有一個(gè)不斷深入的過程。同樣對一個(gè)概念的呈現(xiàn)與揭示，甚至像上文提到的數(shù)軸，這樣看似簡單的概念，筆者提到的這兩處細(xì)節(jié)與教學(xué)建議，不少“老教師”都表示沒有做過深入思考。試想，如果教師缺少對這類問題的深入思考，就很難在新授課中為學(xué)生“打開一扇窗”。教師還可以多加研究多元表征理論，中學(xué)階段的函數(shù)概念的提出，正是多元表征理論的典型例證，函數(shù)可以用表格、圖像、表達(dá)式來表示，教師要有準(zhǔn)確的理解，并在講解這些不同的表示方式時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從幾何直觀的視角進(jìn)行理解。

2.數(shù)學(xué)概念新授課要重視幾何直觀的滲透

教師應(yīng)注重新授課概念的不同預(yù)設(shè)方式，比如數(shù)軸的文字表示方式、圖形表示方式，包括數(shù)軸的相關(guān)概念（三要素）等；與之同類的概念教學(xué)，比如平面直角坐標(biāo)系就可以類比數(shù)軸進(jìn)行；再如，乘法公式的新授課，既要給出文字表示，也要給出符號表示，還可以給出乘法公式的圖形直觀。

教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)的一個(gè)重要工作就是進(jìn)行概念分析，概念分析的常用途徑是在各種問題情境中考查學(xué)生如何運(yùn)用概念。以圓周角的新授課為例，當(dāng)我們結(jié)合圖形定義圓周角之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生對照定義學(xué)會(huì)辨識圓周角，讓學(xué)生繼續(xù)探究同弧所對的圓周角與圓心角之間的數(shù)量關(guān)系，還需分類討論不同位置關(guān)系狀態(tài)下的圓周角與圓心角之間的數(shù)量關(guān)系，這也是《課標(biāo)》所提出的幾何直觀的重要內(nèi)涵之一：會(huì)根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)。與上文提到的數(shù)軸的原點(diǎn)位置關(guān)系相關(guān)的又一處新授課教學(xué)細(xì)節(jié)，即關(guān)于“二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)”的新授課中，筆者在組織學(xué)生畫出形如y=x2-6x+15的圖像時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生先將其配方成頂點(diǎn)式y(tǒng)=（x-3）2+6，明確它的頂點(diǎn)、對稱軸位置，再選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸位置，即可畫出更合理的圖像。

3.數(shù)學(xué)解題教學(xué)時(shí)要加強(qiáng)幾何直觀的演示

不少教師在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中都會(huì)進(jìn)行“一題多解”，有效培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、靈活性。

為有效發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，在開展一題多解的解法探究時(shí)，教師要特別關(guān)注從數(shù)、形兩個(gè)角度對解法進(jìn)行研究，這樣可以讓學(xué)生既感受到數(shù)式演算的嚴(yán)謹(jǐn)性，又能從圖形演示的角度看到問題的直觀性。在七年級上學(xué)期期末復(fù)習(xí)階段，以數(shù)軸為背景的綜合題很多，數(shù)軸的“深刻性”還體現(xiàn)在數(shù)軸習(xí)題的解答過程中有很多數(shù)學(xué)思想方法，首先就是數(shù)形結(jié)合（根據(jù)不同習(xí)題的解法特點(diǎn)，又可細(xì)化為以形助數(shù)、以數(shù)馭形、數(shù)形互助）。到八年級學(xué)習(xí)函數(shù)之后，學(xué)生又要靈活運(yùn)用平面直角坐標(biāo)系來研究函數(shù)問題，對學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和圖形直觀能力也提出了較高的要求。另外，不少省市中考試卷中，對幾何綜合題的考查側(cè)重于補(bǔ)圖能力的訓(xùn)練，還需要教師在解題教學(xué)時(shí)培養(yǎng)學(xué)生補(bǔ)全圖形的能力，而不是直接給出完整圖形，只讓學(xué)生完成“后半段”的解題過程，這樣不利于學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)，也不利于學(xué)生解題能力的提升。