梁平

【摘? 要】? 三角函數(shù)是研究循環(huán)往復(fù)現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，本文在三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)上以課堂實(shí)錄的方式呈現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象的研究過(guò)程，提供研究函數(shù)圖象的基本步驟和具體實(shí)例，通過(guò)學(xué)生自主探究與合作探究，增強(qiáng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

【關(guān)鍵字】? 正弦函數(shù)；余弦函數(shù)；核心素養(yǎng)

深入挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的核心價(jià)值，樹(shù)立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識(shí)，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程——這是筆者教學(xué)設(shè)計(jì)的根本宗旨.本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)是正弦函數(shù)圖象的繪制，設(shè)計(jì)的一大亮點(diǎn)就是由研究函數(shù)的一般過(guò)程入手，引導(dǎo)學(xué)生自主繪制正弦函數(shù)圖象，難點(diǎn)放在三角函數(shù)橫縱坐標(biāo)為無(wú)理數(shù)的解決上，利用三角函數(shù)定義、數(shù)形結(jié)合的思想，突破難點(diǎn)，在過(guò)程中體會(huì)三角函數(shù)的本質(zhì)，點(diǎn)的選取與繪制成為理解定義應(yīng)用定義的重要載體.以圖象繪制為依據(jù)，體會(huì)函數(shù)圖象的描點(diǎn)、平移，簡(jiǎn)化作圖等綜合處理過(guò)程，以數(shù)學(xué)思想方法為依托，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

本單元正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)在本章的位置如圖1所示.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是一類基本初等函數(shù)，作為函數(shù)的下位知識(shí)，對(duì)于它們的研究基本遵從函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究思路，可以類比、對(duì)比指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等展開(kāi)研究：定義—圖象—性質(zhì)—應(yīng)用.

在弧度制下，任意角的集合和實(shí)數(shù)集建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，為三角函數(shù)奠定基礎(chǔ)，三角函數(shù)的定義為圖象的繪制提供了條件，圖象又對(duì)后期研究函數(shù)的性質(zhì)提供的方法和依據(jù).

理解角度作為自變量與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，以本節(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體，為滲透類比的思想、轉(zhuǎn)化化歸的思想，以及數(shù)形結(jié)合的思想，還有提高數(shù)學(xué)推理論證能力、幾何直觀能力、代數(shù)運(yùn)算都提供了很好的契機(jī).

探究點(diǎn)的確定與選取過(guò)程中，樹(shù)立善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神；系統(tǒng)地思考如何將定義在單位圓中三角函數(shù)的定義利用幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算繪制到平面直角坐標(biāo)系下，體會(huì)幾何圖形在精確處理無(wú)理數(shù)的應(yīng)用，問(wèn)題處理的必要性、合理性、優(yōu)越性；同時(shí)，利用五點(diǎn)作圖培養(yǎng)學(xué)生簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題，以及在五點(diǎn)作圖中體會(huì)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)在函數(shù)以及函數(shù)圖象上的重要地位，通過(guò)正余弦函數(shù)的沒(méi)再聯(lián)系繪制余弦函數(shù)圖象體現(xiàn)了劃歸的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)習(xí)慣，增強(qiáng)學(xué)生間相互交流，取長(zhǎng)補(bǔ)短，形成良好課堂學(xué)習(xí)氛圍，達(dá)到學(xué)生主動(dòng)、全面、健康發(fā)展.

引發(fā)學(xué)生在問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與解決中進(jìn)行思維活動(dòng)，使學(xué)生在思考、討論、交流中經(jīng)歷每個(gè)問(wèn)題的產(chǎn)生和解決過(guò)程.

分為以下四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：

1? 情境引入

1.1? 觀察現(xiàn)實(shí)世界中的周而復(fù)始現(xiàn)象

現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在周而復(fù)始的現(xiàn)象，比如沙漏在重力的作用下在鉛錘面內(nèi)做周期擺動(dòng)，此時(shí)如果勻速地拉動(dòng)紙板，紙板上就會(huì)留下一條連續(xù)光滑的曲線，這條曲線也從一個(gè)側(cè)面反映了沙漏的擺動(dòng)特征.我們知道三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的一類特殊的函數(shù)模型，那么它與這條連續(xù)光滑的曲線是否存在某種內(nèi)在聯(lián)系呢？帶著這個(gè)問(wèn)題，我們開(kāi)始繼續(xù)研究三角函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖? 讓學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例特征，初步感知圖象變化，自然引出函數(shù)圖象的研究.

1.2? 類比指對(duì)冪函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)

我們?cè)诙x給出之后，可以畫(huà)出函數(shù)圖象，通過(guò)觀察圖象特征，獲得函數(shù)性質(zhì)的一些結(jié)論.在三角函數(shù)中，我們發(fā)現(xiàn)單位圓上任意一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周又回到原來(lái)的位置，這一現(xiàn)象也可以用公式（一）來(lái)表示，這說(shuō)明自變量每增加或減少個(gè)單位三角函數(shù)的函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，利用這一特征就可以簡(jiǎn)化三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究過(guò)程.

1.3? 正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象

利用類比函數(shù)的研究思路，自然引出這節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，熟悉函數(shù)研究的一般路徑.在研究之初就強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)周而復(fù)始的特征，為所有三角函數(shù)的研究提供簡(jiǎn)化的依據(jù).

2? 問(wèn)題導(dǎo)入

問(wèn)題1

師? 首先來(lái)看正弦函數(shù)，用角的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)來(lái)定義正弦函數(shù)，通過(guò)觀察我們發(fā)現(xiàn)單位圓上任意一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周又回到原來(lái)的位置，這一現(xiàn)象也可以用公式一來(lái)表示，這說(shuō)明自變量每增加或減少個(gè)單位三角函數(shù)的函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，利用這一特征，在繪制正弦函數(shù)在整個(gè)定義域上的圖象有什么幫助呢？

生? 不必畫(huà)出整個(gè)定義域上的圖象，只需要畫(huà)出的圖象即可.

問(wèn)題2

師? 那請(qǐng)同學(xué)們?cè)囍?huà)出，的圖象，體會(huì)它與以往函數(shù)的繪制有何不同？

生? 選取特殊點(diǎn)，但是繪制的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)無(wú)理數(shù)，不容易繪制準(zhǔn)確位置.

設(shè)計(jì)意圖? 引起研究沖突，由于正弦函數(shù)的點(diǎn)基本都是無(wú)理數(shù)，在繪制過(guò)程中會(huì)當(dāng)取值時(shí)，的值大都是近似值，加之作圖上的誤差，很難精確做出圖象，認(rèn)識(shí)新函數(shù)的圖象的真實(shí)面貌，代數(shù)無(wú)法解決準(zhǔn)確繪制的問(wèn)題，只能從幾何入手.

問(wèn)題3

師? 如何在直角坐標(biāo)系內(nèi)，精確畫(huà)出正弦函數(shù)上任意一點(diǎn)？先從一個(gè)具體點(diǎn)開(kāi)始研究.以點(diǎn)為例，對(duì)于橫坐標(biāo)，代數(shù)無(wú)法解決，將會(huì)從哪個(gè)方向入手解決？

生? 利用幾何回歸定義，利用單位圓解決.

設(shè)計(jì)意圖? 培養(yǎng)學(xué)生遇到問(wèn)題首先回歸定義尋找突破的意識(shí)，然后觀察自變量及將函數(shù)值的幾何意義，借助單位圓，確定正弦函數(shù)上任意一點(diǎn)的幾何轉(zhuǎn)化.

問(wèn)題4

師? 在單位圓中是一個(gè)角度，在坐標(biāo)系下是一個(gè)長(zhǎng)度，如何將角度轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度？

生? 利用弧度制進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

問(wèn)題5

師? 有了具體一點(diǎn)的繪制，如何繪制任意一點(diǎn)，我們?cè)谳S上任取一點(diǎn)，如何找到它的縱坐標(biāo)的準(zhǔn)確位置？

生? 實(shí)際動(dòng)手操作.

設(shè)計(jì)意圖? 觀察自變量及函數(shù)值的幾何意義，借助單位圓，確定正弦函數(shù)上任意一點(diǎn)，學(xué)生的難點(diǎn)在于在直角坐標(biāo)系下，是一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，但在單位圓中的它是一個(gè)弧度制的角，無(wú)法建立聯(lián)系，可以從各自的幾何意義入手尋找解決途徑.給一些工具，讓學(xué)生充分發(fā)揮自己的主動(dòng)性，體會(huì)單位圓中正弦函數(shù)的定義，體會(huì)正弦函數(shù)上任一點(diǎn)的繪制方法和數(shù)形結(jié)合的重要應(yīng)用，更加深入的理解點(diǎn)與三角函數(shù)的定義的內(nèi)在聯(lián)系和轉(zhuǎn)化.

問(wèn)題6

師? 我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了繪制正弦函數(shù)圖象上的某一個(gè)點(diǎn)，你能制定一個(gè)方案，畫(huà)出在上的圖象嗎？

生? （1）找一些特殊點(diǎn)，然后利用上面找點(diǎn)的方法逐一描點(diǎn)，然后連線；

（2）把單位元進(jìn)行等分，將坐標(biāo)軸上線段進(jìn)行對(duì)應(yīng)等分，再平移縱坐標(biāo)描點(diǎn)；

（3）找上的一些特殊點(diǎn)，利用單位圓的對(duì)稱性得到各個(gè)區(qū)間上的圖象.

設(shè)計(jì)意圖? 充分體驗(yàn)取點(diǎn)作圖過(guò)程，從中感受正弦函數(shù)在單位圓中的對(duì)稱性，簡(jiǎn)化作圖過(guò)程.

師? 可以用信息技術(shù)，在取足夠多的點(diǎn)，并將這些點(diǎn)用光滑的曲線連接起來(lái)，得到比較精確的函數(shù)在上的圖象.

設(shè)計(jì)意圖? 信息技術(shù)可以達(dá)到動(dòng)點(diǎn)成線的直觀效果，使學(xué)生進(jìn)一步理解任意一點(diǎn)與整體圖形之間的關(guān)系，理解圖象形成的內(nèi)在道理.

問(wèn)題7

師? 根據(jù)正弦函數(shù)在的圖象，你能得到正弦函數(shù)在整個(gè)定義域上的圖象嗎？你的依據(jù)是什么？

設(shè)計(jì)意圖? 從到實(shí)數(shù)集的延伸，是從有限到無(wú)限的推廣過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行邏輯推理與直觀想象.

師? 圖象完全一致，所以我們就可以不斷將函數(shù)圖象向左向右，無(wú)限延伸.

這就是正弦函數(shù)的圖象，正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線，是一條波浪起伏的連續(xù)光滑曲線.

問(wèn)題8

師? 對(duì)于函數(shù)的研究能夠快速又準(zhǔn)確地做出其簡(jiǎn)圖，往往起到重要的作用，你能抓住那些關(guān)鍵點(diǎn)確定正弦函數(shù)在上的簡(jiǎn)圖嗎？

設(shè)計(jì)意圖? 在精度要求不高的前提下，五點(diǎn)法作圖起到關(guān)鍵作用關(guān)鍵點(diǎn)的選取和對(duì)應(yīng)是這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵，而點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解決整個(gè)問(wèn)題的重要節(jié)點(diǎn).最大值點(diǎn)最小值點(diǎn)與軸的交點(diǎn)，有了這些點(diǎn)就可得到圖象的大致形狀了.

問(wèn)題9

師? 有正弦函數(shù)的圖象，你能得到余弦函數(shù)圖象嗎？

設(shè)計(jì)意圖? 縱坐標(biāo)變成橫坐標(biāo)畫(huà)圖的時(shí)候就不那么容易實(shí)現(xiàn)了，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化.

師? 當(dāng)然有些同學(xué)想到再用定義去繪制余弦函數(shù)圖象非常好，但是繪制的難度會(huì)增大，所以在解決一個(gè)新的問(wèn)題的時(shí)候我們不僅需要回歸定義，更要利用已有的知識(shí)解決新的問(wèn)題，這種化歸的思想在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中起到了非常重要的作用.

問(wèn)題10

師? 你能用點(diǎn)的坐標(biāo)，解釋這種平移變換嗎？

設(shè)計(jì)意圖? 從代數(shù)形式上點(diǎn)的坐標(biāo)解釋圖象變換，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)平移的本質(zhì)點(diǎn)在，點(diǎn)就在.

問(wèn)題11

師? 類似于五點(diǎn)法作正弦函數(shù)圖象，如何做出余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖，選取哪個(gè)區(qū)間比較合理，取哪些關(guān)鍵點(diǎn)呢？

設(shè)計(jì)意圖? 通過(guò)類比讓學(xué)生掌握余弦函數(shù)圖象特征，并再次體會(huì)五點(diǎn)法作圖.

3? 概念的鞏固應(yīng)用

例1? 畫(huà)出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖.

（1）；

（2）.

設(shè)計(jì)意圖? 利用已有知識(shí)研究新函數(shù)的繪制，可以鞏固五點(diǎn)作圖，圖象變換.

4? 回顧小結(jié)鞏固延伸

通過(guò)函數(shù)的一般研究過(guò)程，引出了正弦函數(shù)余弦函數(shù)圖像繪制的需求，我們利用定義突破了正弦函數(shù)任意一點(diǎn)的繪制的難點(diǎn)，體會(huì)了回歸定義的必要性，通過(guò)選取具體的足夠量的點(diǎn)得到了正弦函數(shù)在上的圖象，又利用正弦函數(shù)周而復(fù)始的特性得到了整個(gè)定義域上的圖象，隨后通過(guò)選取關(guān)鍵點(diǎn)學(xué)會(huì)用五點(diǎn)作圖法得到正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖，利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，利用已有知識(shí)解決了未知問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.最終繪制了正余弦函數(shù)的圖象，為今后研究性質(zhì)做好鋪墊.

5? 結(jié)語(yǔ)

正余弦函數(shù)圖象的繪制在研究三角函數(shù)的過(guò)程中起到非常重要的作用，根據(jù)函數(shù)研究的一般路徑，有了函數(shù)定義之后必定要繪制函數(shù)圖象，這是函數(shù)研究的必經(jīng)之路，為性質(zhì)的研究提供依據(jù)，但正余弦函數(shù)圖象的繪制，與之前函數(shù)圖象的繪制最大的不同是無(wú)法沿用之前的描點(diǎn)法，而需要利用幾何描點(diǎn)法來(lái)解決無(wú)法準(zhǔn)確確定繪制無(wú)理數(shù)的問(wèn)題，本節(jié)課利用三角函數(shù)在單位圓中的定義，借助弧度制引導(dǎo)學(xué)生尋找角度與線段長(zhǎng)度之間的關(guān)系，利用幾何描點(diǎn)法實(shí)現(xiàn)突破.在解決了任意一點(diǎn)的準(zhǔn)確繪制問(wèn)題，下一個(gè)難點(diǎn)就是利用等分的方法繪制足夠多的點(diǎn).因?yàn)楸景鄬W(xué)生發(fā)散思維比較好，在繪制的過(guò)程中有些同學(xué)想到了用三角函數(shù)的對(duì)稱性大大簡(jiǎn)化繪制過(guò)程.利用正余弦函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系得到余弦函數(shù)圖象，體現(xiàn)了知識(shí)之間的相互聯(lián)系.這種方法也為之后繪制復(fù)雜的三角函數(shù)提供了思路.表面上本節(jié)課是在繪制函數(shù)圖象，但中間蘊(yùn)含了豐富的思想方法，包含了邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象，直觀想象等多個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對(duì)學(xué)生提升解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力起到非常重要的作用.

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