魯太平,師明星

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與航空航天學(xué)院,四川 成都 610031)

0 引 言

磁驅(qū)動(dòng)的智能軟材料因其良好的可編程性和易于變形的特性而在軟體機(jī)器人、柔性電子、生物醫(yī)療等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用[1-3]。磁性軟材料在強(qiáng)磁場(chǎng)中磁化以后,其內(nèi)部磁偶極子形成特定構(gòu)型的磁疇,產(chǎn)生剩余磁化強(qiáng)度(即剩磁)。硬磁性軟材料在撤去磁化磁場(chǎng)以后,其內(nèi)部能夠保留較高的剩余磁化強(qiáng)度,使其在外部磁場(chǎng)作用下能夠?qū)崿F(xiàn)豐富的變形行為[4-6]。筆者將薄膜狀的硬磁性軟材料在厚度方向上進(jìn)行彎曲后充磁,研究發(fā)現(xiàn)充磁后材料內(nèi)部的剩磁分布與其充磁時(shí)彎曲形狀相關(guān),由此建立了兩者之間的關(guān)系式。通過(guò)控制薄膜充磁時(shí)的彎曲曲線形式,可對(duì)薄膜內(nèi)部剩磁分布進(jìn)行控制。筆者以幾種典型曲線彎曲的薄膜為例,用確立的關(guān)系式推導(dǎo)了其展開(kāi)后內(nèi)部的剩磁分布形式,并對(duì)這些薄膜在外加恒定磁場(chǎng)及重力場(chǎng)的作用下的變形進(jìn)行了有限元模擬及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 薄膜內(nèi)部剩磁分布與其充磁彎曲形式之間的關(guān)系

1.1 薄膜充磁形式

所取薄膜的尺寸為20 mm×5 mm×0.2 mm。圖1展示了薄膜彎曲充磁及置入外加磁場(chǎng)中產(chǎn)生變形的過(guò)程。薄膜內(nèi)部在任意一點(diǎn)處的剩磁均為有大小和方向的矢量。假想薄膜在厚度方向上(y方向)以一定形狀彎曲后置入磁場(chǎng)中充磁,其在薄膜寬度方向上(z方向)磁場(chǎng)恒定。展開(kāi)后其厚度方向上的剩磁應(yīng)為存在一定曲率的弧線,但由于薄膜厚度較薄,認(rèn)為其厚度方向上剩磁呈直線,即在厚度方向上剩磁方向無(wú)變化。充磁完成后,在與xy平面平行的面上,薄膜就會(huì)有和彎曲形式相關(guān)的磁場(chǎng)分布。因此,通過(guò)控制薄膜的彎曲形式,可以實(shí)現(xiàn)對(duì)薄膜內(nèi)部剩磁分布的控制。用Brep表示用于充磁的磁場(chǎng)。

圖1 薄膜充磁過(guò)程及在外加磁場(chǎng)Ba中的變形

1.2 薄膜彎曲曲線滿(mǎn)足F(y)=f(x)時(shí)的剩磁分布

如圖2所示為彎曲曲線滿(mǎn)足F(y)=f(x)的薄膜。圖2(a)展示了形狀曲線滿(mǎn)足曲線表達(dá)式F(y)=f(x)的薄膜充磁完成展開(kāi)后其內(nèi)部剩磁分布與彎曲形式的關(guān)系。如圖2(b),記錄曲線上的起點(diǎn)、終點(diǎn)及每一個(gè)導(dǎo)數(shù)為零或不可導(dǎo)的點(diǎn)彎曲時(shí)及展開(kāi)后的橫坐標(biāo)值,函數(shù)在任意兩相鄰導(dǎo)數(shù)值為零(或不可導(dǎo))的點(diǎn)C(Xi,xi),D(Xi+1,xi+1)之間即為函數(shù)的一個(gè)單增或單減區(qū)間,設(shè)其在該段滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x),其在任意一點(diǎn)處的斜率k=tanθ=f′(x),所以θ=arctan(f′(x))。充磁完成展開(kāi)后,剩磁在x,y方向上的分量為:

圖2 彎曲曲線滿(mǎn)足F(y)=f(x)的薄膜

(1)

式中:

(2)

要了解薄膜展開(kāi)后橫向坐標(biāo)X上每一點(diǎn)的剩磁分布情況,則需要建立薄膜彎曲時(shí)橫向坐標(biāo)x和展開(kāi)后橫向坐標(biāo)X之間的坐標(biāo)變換,即可由式(1)得到展開(kāi)后該點(diǎn)的剩磁情況。彎曲時(shí)曲線從零點(diǎn)到曲線上任意一點(diǎn)的弧長(zhǎng)即為展開(kāi)后該點(diǎn)在X方向上的坐標(biāo),即函數(shù)關(guān)系式為:

(3)

函數(shù)的弧長(zhǎng)積分求解困難,可以利用數(shù)值計(jì)算的方法在曲線上取若干點(diǎn)做X與x的擬合曲線,從而得到X對(duì)于x的映射x=Z(X)。令滿(mǎn)足該映射的曲線上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)表示為P(X,x)。為了方便計(jì)算,文中認(rèn)為在函數(shù)的每一段單增或單減區(qū)間內(nèi),X與x之間都為線性映射。假設(shè)函數(shù)共有n段單增或單減的區(qū)間,則在第i段區(qū)間內(nèi)x和X滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式為:

x=aiX+bi,i∈(0,n)

(4)

如圖2(b),曲線彎曲時(shí)起點(diǎn)的橫向坐標(biāo)為x0,終點(diǎn)橫向坐標(biāo)為xn,在x=x1,x2,...,xi,xi+1,...xn-1處導(dǎo)數(shù)值為零(或不可導(dǎo)),函數(shù)在任意兩相鄰導(dǎo)數(shù)值為零(或不可導(dǎo))的點(diǎn)C(Xi,xi),D(Xi+1,xi+1)之間即為函數(shù)的一個(gè)單增或單減區(qū)間。所以在C、D點(diǎn)之間x與X滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系式:

(5)

綜合式(1)、(5)即可得薄膜展開(kāi)后在任意一點(diǎn)的剩磁分布情況。

1.3 幾種典型彎曲曲線充磁后的剩磁分布

由1.2節(jié)中推出的關(guān)系式可知,在已知薄膜彎曲曲線的情況下可以較為容易地得出其內(nèi)部剩磁分布。文中對(duì)長(zhǎng)度為20 mm的薄膜充磁時(shí)彎曲形狀為未變形、四等分折線(每段與水平線夾角為45°)、余弦函數(shù)曲線(y=4cos(0.58x))、圓形(半徑為3.18 mm)、橢圓(長(zhǎng)軸為4 mm,短軸為1.75 mm)、方形(邊長(zhǎng)為5 mm)等幾種情況進(jìn)行了討論,并對(duì)這幾種薄膜的彎曲形式及充磁展開(kāi)后內(nèi)部剩磁分布情況進(jìn)行了研究,結(jié)果如圖3所示。

圖3 薄膜的彎曲形式及充磁展開(kāi)后內(nèi)部剩磁分布情況

對(duì)以上6種剩磁分布不同的薄膜在外加磁場(chǎng)下的變形行為進(jìn)行有限元模擬及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,將兩者結(jié)果進(jìn)行比對(duì)來(lái)驗(yàn)證1.2節(jié)中推導(dǎo)式的正確性。有限元計(jì)算的理論框架、模型、參數(shù)設(shè)置、實(shí)驗(yàn)操作的具體細(xì)節(jié)及最終結(jié)果等在下文給出。

2 薄膜變形行為的有限元計(jì)算

2.1 磁性微柱在磁場(chǎng)中受到的力矩

圖4給出了一個(gè)含有磁性粒子的ecoflex硅橡膠微柱的受力圖。假設(shè)每個(gè)磁性粒子都是尺寸相同的球形粒子。從磁柱中截取一個(gè)尺寸極小的單元,并認(rèn)為在這一個(gè)單元內(nèi)磁性粒子的分布是均勻的。

圖4 磁柱中單個(gè)單元受力示意圖

(6)

式中:μ0=4π×10-7N·A-2,為真空磁導(dǎo)率;l、t、h分別為單元的長(zhǎng)、寬、高。

2.2 有限元計(jì)算本構(gòu)模型

考慮磁場(chǎng)的影響,在傳統(tǒng)的胡肯本構(gòu)模型中加入磁力項(xiàng)力-磁耦合本構(gòu)模型[5],寫(xiě)為張量形式,即:

(7)

式中:F為變形梯度張量;J=detF>0,為形變雅可比;G為材料剪切模量;K為體積模量;I1=tr(FTF)。

則第一piola-kirchoff應(yīng)力張量為:

(8)

式中:運(yùn)算符?表示張量積。

2.3 有限元模型及參數(shù)

如圖5所示為有限元計(jì)算模型及網(wǎng)格劃分結(jié)果。

圖5 有限元計(jì)算模型及網(wǎng)格劃分

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及結(jié)果對(duì)比

3.1 實(shí)驗(yàn)部分

將NdfeB磁粉與ecoflex按質(zhì)量分?jǐn)?shù)1∶1的比例混合制備得到軟聚合物的預(yù)聚物,預(yù)聚物抽真空后倒在光滑的硅片上以600 r/min旋涂并烘干,對(duì)烘干后的磁膜進(jìn)行切割即可得到與仿真所用尺寸相同的磁膜。實(shí)驗(yàn)過(guò)程如圖6所示。圖6(a)為用于驗(yàn)證仿真結(jié)果的磁膜成品圖,其置入磁場(chǎng)后,固定的一端需預(yù)留出用于夾持的部分。圖中虛線以上區(qū)域?yàn)閵A持區(qū),虛線以下區(qū)域?yàn)樽冃螀^(qū),變形區(qū)尺寸為20 mm×5 mm×0.2 mm根據(jù)磁膜需要彎曲的形狀,利用3D打印技術(shù)打印出相應(yīng)形狀的夾具,將切割好的磁膜用夾具夾持可以得到相應(yīng)的彎曲形狀,如圖6(b)所示。之后將用夾具夾持好的磁膜進(jìn)行充磁,待磁膜充磁完成后,將其置入外部恒定磁場(chǎng)環(huán)境中,如圖6(c)所示。將磁場(chǎng)從0 mT增大到10 mT后觀察變形情況并與仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

圖6 磁膜的制備、充磁及變形試驗(yàn)

3.2 仿真結(jié)果及實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

1.3節(jié)中給出的幾種典型曲線充磁后的薄膜在外部磁場(chǎng)中變形行為的仿真及實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示。圖7中的有限元變形結(jié)果為外加磁場(chǎng)在2.5、5、7.5、10 mT時(shí)薄膜的變形。實(shí)驗(yàn)變形圖為外加磁場(chǎng)從0 mT增大到10 mT的過(guò)程中薄膜的幾個(gè)變形階段。從圖中可以看出,對(duì)于這些充磁方式不同的薄膜,隨著外加磁場(chǎng)的增大,有限元模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果變形趨勢(shì)基本一致。這很好地說(shuō)明了模擬結(jié)果的可靠性。證明文中所給的薄膜充磁彎曲形式和其內(nèi)部磁場(chǎng)分布之間的關(guān)系式是合理的。

圖7 薄膜經(jīng)不同形式彎曲后的有限元(左)及實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比(右)

4 結(jié) 語(yǔ)

文中通過(guò)對(duì)薄膜軟材料彎曲形狀的合理簡(jiǎn)化,建立了薄膜彎曲形式與其內(nèi)部剩磁分布之間的關(guān)系式。實(shí)現(xiàn)了通過(guò)控制薄膜充磁時(shí)的彎曲形式,從而對(duì)薄膜內(nèi)部剩磁分布進(jìn)行控制。同時(shí)通過(guò)數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的方法證明了所給關(guān)系式的合理性。這對(duì)于實(shí)現(xiàn)磁性軟材料內(nèi)部剩磁分布及其變形行為的精確編程控制具有極大的研究?jī)r(jià)值。