由對稱α穩(wěn)定運動驅(qū)動的隨機微分方程參數(shù)估計

潘玉榮,賈朝勇,沙翠翠

(蚌埠學院數(shù)理學院,安徽 蚌埠 233000)

0 引言

隨機微分方程常被用于金融學、經(jīng)濟學和生物醫(yī)學等領域隨機現(xiàn)象的建模[1-2].實際應用中,由于受到隨機因素的干擾,導致隨機微分方程的參數(shù)部分未知或全部未知,所以對隨機微分方程中的參數(shù)進行估計成為亟待解決的關鍵性問題.隨機微分方程參數(shù)的統(tǒng)計推斷是概率論及其應用的重要研究領域.因此,研究隨機微分方程的參數(shù)估計問題具有實際價值和重要理論意義.

假設(Ω,F,P)是一個右連續(xù)且?guī)в性龅摩?代數(shù)流(Ft,t≥0)的概率空間,{Zt,t≥0}是定義在此概率空間上的標準對稱α穩(wěn)定Lévy運動,1<α<2.考慮如下一類線性隨機微分方程(SDE):

(1)

其中,a,b0為常數(shù).

Ornstein-Uhlenbeck過程{Xt,t≥0}為方程(1)的唯一強解,x0(x0∈R)是該過程的初始值.當方程(1)中的Zt表示高斯過程時,相應的隨機微分方程參數(shù)統(tǒng)計推斷問題已被廣泛研究[3-10],特別是由標準布朗運動驅(qū)動隨機微分方程的參數(shù)估計研究已形成較為完善的理論體系.當Zt表示α穩(wěn)定Lévy運動時,隨機微分方程(1)的解Xt(t≥0)將服從α穩(wěn)定邊緣分布.具有α穩(wěn)定邊緣分布的Ornstein-Uhlenbeck過程屬于非高斯的Ornstein-Uhlenbeck過程.這類非高斯的Ornstein-Uhlenbeck過程在計量經(jīng)濟學和金融學方面具有重要應用,受到很多學者的廣泛關注.然而因α穩(wěn)定過程具有無限變差性質(zhì),所以關于α穩(wěn)定Lévy運動驅(qū)動的隨機微分方程參數(shù)估計的研究較少.HU等[11]提出Ornstein-Uhlenbeck過程在時間上能被連續(xù)觀測,采用軌道擬合與加權最小二乘技巧相結(jié)合的方法構造了隨機微分方程漂移項未知參數(shù)的估計量,并討論估計量的統(tǒng)計性質(zhì).鑒于實際問題中獲取所討論過程的連續(xù)觀測數(shù)據(jù)是非常困難的,因此,一些學者假定過程能被離散觀測,研究方程(1)的參數(shù)估計問題[12-16].HU等[12]討論了隨機微分方程(1)中漂移項參數(shù)a等于0、b0(b0>0)是未知待估參數(shù)的情況,構造了b0的最小二乘估計量并研究其統(tǒng)計性質(zhì).與文獻[12]不同,ZHANG等[13]基于過程的積分形式構造了未知參數(shù)另一種最小二乘估計量,并研究了噪聲Zt的穩(wěn)定指數(shù)α滿足0<α<2時估計量的強相合性和漸近分布.PAN[14]和FAN[15]研究了隨機微分方程(1)的漂移項參數(shù)a和b0都未知的情形,運用不同技巧構造了兩個未知參數(shù)的最小二乘估計量,然后證明了估計值具有強相合性,并給出了一定規(guī)則條件下估計量誤差的漸近分布.

本文主要考慮隨機微分方程(1)漂移項有兩個參數(shù),其中a已知但不等于0,b0(b0>0)未知的情形.假設過程{Xt,t≥0}在離散觀測時間點ti(ti=ih,i=0,1,2,…)能被觀測到,采用文獻[12]中的最小二乘技巧構造了漂移項未知參數(shù)的估計量并探討估計量的統(tǒng)計性質(zhì).并利用Matlab軟件對該估計量進行了數(shù)值模擬.

1 預備知識

定義1.1 假如隨機變量η的特征函數(shù)φη(u)能夠被寫成:

Eexp(iθη)=exp(σα(-|θ|α+iθw(θ,α,β))+iμθ),

則稱η服從α穩(wěn)定分布,記作η～Sα(σ,β,μ).參數(shù)α,μ,σ,β分別稱為該α穩(wěn)定分布的穩(wěn)定指數(shù)、位置參數(shù)、尺度參數(shù)和偏度參數(shù),且0<α≤2,σ≥0 ,-1≤β≤1,μ∈R.若μ=0,則該分布是嚴格α穩(wěn)定的;若μ=0且β=0,則稱隨機變量η服從對稱α穩(wěn)定分布.若μ=0,β=0且σ=1,則稱η服從標準對稱α穩(wěn)定分布,記作η～Sα(1,0,0).穩(wěn)定指數(shù)α取不同值時的標準對稱α穩(wěn)定分布密度函數(shù)曲線如圖1所示.

圖1 標準對稱α穩(wěn)定分布Sα(1,0,0)的密度函數(shù)

關于α穩(wěn)定Lévy運動的It-型隨機積分得到了廣泛研究[17-18].假設為定義在[0,+∞)×Ω上的所有實值F-可測過程f(t,ω)構成的族,即當且僅當稱可測過程f(t,ω)關于α穩(wěn)定Lévy過程是可積的.

引理1.1是文獻[18]中推論3.1的結(jié)論,引理1.1的詳細證明過程可參見文獻[18].

引理1.2 假設隨機變量Y服從一個指數(shù)α(0<α<2)的穩(wěn)定分布,即Y～Sα(σ,β,μ),則(i)當0

2 最小二乘估計量的構造及其強相合性

假設隨機過程X在離散時間點ti(ti=ih,i=0,1,2,…)能被觀測到.應用最小二乘技巧,可得到隨機微分方程(1)的比較函數(shù):

(2)

顯然,隨機微分方程(1)滿足Lipschitz條件和線性增長條件,所以其有唯一解,此解如下:

(3)

根據(jù)(3)式,通過計算得到:

(4)

(5)

b0是未知參數(shù)的真實值,則根據(jù)(5)式,容易計算得到:

(6)

要想證明定理2.1,需要建立下面的三個命題.命題2.1、命題2.2和命題2.3分別給出了Ψ1,Ψ2,Ψ3的收斂性.

命題2.1 當h→0時,有Ψ1→0.

命題2.1的結(jié)論是顯然成立的.

對于Ψ2,通過基礎計算和H?lder不等式有:

(7)

(8)

根據(jù)遍歷定理和引理2.2可知,n→∞,τn(tn)→∞.對于Ψ3,得到:

(9)

(10)

幾乎處處成立.

根據(jù)H?lder不等式,容易推出:

(11)

根據(jù)式(8)可知,當n→∞時,式(11)右邊趨向0.綜合式(9)至(11)可得,命題2.3成立.

根據(jù)式(6)并結(jié)合命題2.1、命題2.2和命題2.3,容易證得定理2.1成立.

3 數(shù)值模擬

圖2 隨T增大的波動圖

表1 最小二乘估計量的數(shù)值模擬結(jié)果(真實值為3)

4 結(jié)語

針對一類由對稱α穩(wěn)定Lévy噪聲驅(qū)動的隨機微分方程的參數(shù)估計問題,本文提出Ornstein-Uhlenbeck過程在時間上能被離散觀測,運用最小二乘技巧構造了隨機微分方程漂移項中未知參數(shù)的估計量,并討論了該估計量的統(tǒng)計性質(zhì).研究結(jié)果表明,在一定條件下構造的最小二乘估計量具有強相合性,Matlab數(shù)值模擬結(jié)果進一步驗證了該結(jié)論.本文構造的最小二乘估計量的統(tǒng)計性質(zhì)很復雜,本文在此僅論證了其具有強相合性,在今后的研究中將進一步討論該估計量誤差的漸近分布.