耿浩冉, 田 浩, 王成龍, 宋 寧, 魏志強, 馮毅雄, 郭景任, 聶 婕**

(1. 中國海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)部, 山東 青島 266100; 2. 中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東 青島 266100;3. 浙江大學(xué)機械工程學(xué)院, 浙江 杭州 310058; 4. 深圳中廣核工程設(shè)計有限公司, 廣東 深圳 519000)

近些年來,眾多科研人員對偏微分方程數(shù)值求解工作進行了研究,其中Burgers方程作為描述流體動力學(xué)過程的模型有著一定的優(yōu)勢,首先Burgers方程包含了具有平衡作用的雷諾數(shù),以及粘性項等元素,已經(jīng)作為典型方程應(yīng)用于各個領(lǐng)域;其次Burgers方程作為Navier-Stokes方程的簡化數(shù)學(xué)方程,納維斯托克斯方程刪除壓力項以及外力項后與Burgers方程高度相似,在實踐方面具有重要意義。在計算流體力學(xué)中,迎風(fēng)格式[1]作為求解偏微分方程的一類數(shù)值離散方法得到了廣泛的應(yīng)用。長期以來許多研究人員對Burgers方程的求解方法進行了研究,目前傳統(tǒng)的偏微分方程數(shù)值求解方案主要包括有限差分法[2-3]、有限體積法[4]、有限元法[5]以及譜方法[6]等,這些方法的提出有效地推動了偏微分方程求解工作的發(fā)展。但是以上方法總是在計算速度與精度之間存在權(quán)衡,求解精度越高,計算成本越大。還有部分學(xué)者在有限體積框架下提出了基本無震蕩(ENO)方法[7-8],其中ENO方法主要分為兩類:單元平均型和通量型,前者主要是通過自適應(yīng)地選取插值節(jié)點,再采用拉格朗日(Lagrange)插值來對邊界通量進行逼近;后者則是在此基礎(chǔ)上引入了龍格-庫塔(TVD-Runge-Kutta)時間離散的思想,該方法的重點主要在于空間處理過程。由于ENO方法存在大量的邏輯判斷過程,可能會導(dǎo)致收斂速度緩慢,計算效率低下等問題,因此有學(xué)者在ENO的工作基礎(chǔ)上提出了加權(quán)本質(zhì)無振蕩格式(WENO格式)的思想[9],該方法作為一種重構(gòu)或插值過程可以有效地應(yīng)用于有限差分以及有限體積格式中進行求解,此方法主要是通過引入加權(quán)因子,同時保持了ENO格式的分辨能力,以此提高截斷誤差的階數(shù),進一步提高了計算效率。Guang-Shan以及Youngsoo等[10-11]開發(fā)了一種新的WENO方案,稱為WENO-JS。有研究學(xué)者基于三階WENO方法與先驗知識相結(jié)合進行求解Burgers方程[12],有效的捕捉了數(shù)值解的結(jié)構(gòu),同時最大程度上避免了激波附近偽振蕩現(xiàn)象的產(chǎn)生,從而提高了計算效率。

隨著工業(yè)領(lǐng)域的快速發(fā)展,傳統(tǒng)數(shù)值求解方法在計算網(wǎng)格上獲得收斂解所花費的時間成本巨大,因此計算速度是亟需解決的問題。有研究團隊在傳統(tǒng)數(shù)值求解方法的基礎(chǔ)上展開了研究,對多重網(wǎng)格技術(shù)也燃起了興趣。在20世紀70年代,有研究學(xué)者開始通過使用多重網(wǎng)格提高復(fù)雜區(qū)域網(wǎng)格化流動問題的收斂速度。Vsparis等人最初得到了跨聲速勢方程的第一個多重網(wǎng)格流動解[13],多重網(wǎng)格方法也因此開始應(yīng)用于各種結(jié)構(gòu)網(wǎng)格求解器中。Caughey D,Mavriplis D等專門將中心差分方法與多重網(wǎng)格結(jié)合開始進行多重網(wǎng)格求解器工作的研究[14-17],這項工作也成為了多重網(wǎng)格求解器工作的重大突破。

目前流體的數(shù)值模擬在模擬諸多物理現(xiàn)象時起著不可替代的作用,大規(guī)模求解方程卻存在著不小的挑戰(zhàn)。Jiawei Zhuang等[18]開始將數(shù)據(jù)驅(qū)動離散化思想應(yīng)用于湍流中被動標量的一維或二維平流方程的研究中,該工作首先在一維平流中使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平流方程中的有限差分系數(shù),使得預(yù)測解與真實解盡可能地匹配,在一維和二維的平流測試工作中均獲得了較為完美的結(jié)果,而傳統(tǒng)的數(shù)值求解器則發(fā)生了明顯的擴散誤差。為了更好的改進計算流體動力學(xué)中的近似值,以高質(zhì)量完成對二維湍流的建模工作,Dmitrii Kochkov等[19]研究了一種新型數(shù)據(jù)驅(qū)動的數(shù)值方法,該方法有效的擴展了計算流體動力學(xué)中的模擬邊界,可以使得在粗糙分辨率網(wǎng)格上仍然可以獲得與傳統(tǒng)有限差分方法同樣的精度,它可以很好的適用于不同的函數(shù)。Ameya D等[20]、Rodriguez-Torrado R等[21]先后提出了保守物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CPINN)以及基于注意力的物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(PIANNs),他們在不同角度進一步提高了物理過程建模的準確性,打破了以往工作所存在的局限性,有效提供了一種高質(zhì)量的物理過程建模解決方案。

在以上工作基礎(chǔ)上,國內(nèi)外研究者開始基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的偏微分方程進行求解工作的研究,受到了很大啟發(fā)并提出了突破性方法,如基于物理驅(qū)動與數(shù)據(jù)驅(qū)動相結(jié)合的偏微分方程求解方法。Raissi 等[22]通過將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與物理信息方程相結(jié)合,構(gòu)造出一種新的求解高效的函數(shù)求解器,可以將物理定律轉(zhuǎn)化為物理先驗信息,有效的提高了求解速度。在此基礎(chǔ)上,機器學(xué)習(xí)與傳統(tǒng)數(shù)值求解方法結(jié)合的工作取得了一定的進展[23-26],在保持原有求解精度的同時提高了計算速度。O. Obiols-Sales等提出了一種耦合的深度學(xué)習(xí)物理模擬框架[27],實驗結(jié)果表明此框架可以有效加速Navier-Stokes方程模擬的收斂。Bar-Sinai 等[28-29]使用數(shù)據(jù)驅(qū)動的思想來解決代價高的問題,以獲得更高的收斂速度和準確性。他們主要通過將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型嵌入到偏微分方程求解的復(fù)雜步驟,以代替偏微分方程求解過程中系數(shù)求解部分,空間導(dǎo)數(shù)以及時間導(dǎo)數(shù)的計算仍然使用傳統(tǒng)的數(shù)值求解方法,它允許求解是端到端的優(yōu)化的過程,此工作在小尺度的網(wǎng)格下進行模擬并應(yīng)用到大尺度的網(wǎng)格,在Burgers方程、KDV方程以及KS方程上進行了實驗并獲得了不錯的結(jié)果,但是該工作只能應(yīng)用在指定的方程中。對于方程的微分環(huán)節(jié),Bar-Sinai的工作中使用了Bradbury等所提出的JAX框架[28],該框架本質(zhì)上是一個函數(shù)轉(zhuǎn)換的高性能數(shù)值計算庫,支持任意數(shù)值函數(shù)的前向和反向模式的自動微分。

雖然以上工作均取得了一定的進展,但是這些方法仍然存在著以下不足:在數(shù)據(jù)驅(qū)動離散化建模過程中通常未考慮迎風(fēng)格式對求解精度的影響;對于上下風(fēng)向節(jié)點的信息平等對待,難以充分考慮不同階段風(fēng)向?qū)ο禂?shù)的影響比重,無法有效獲得各節(jié)點間關(guān)聯(lián)信息。

針對以上不足,本文提出并設(shè)計了風(fēng)向監(jiān)督雙流神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及風(fēng)向判斷模塊,實現(xiàn)了對預(yù)測得到有限差分系數(shù)的權(quán)重融合。通過風(fēng)向監(jiān)督雙流神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),并結(jié)合先驗知識對學(xué)得的系數(shù)分配一定的權(quán)重,以突出上下風(fēng)向?qū)︻A(yù)測結(jié)果的不同影響,可以有效實現(xiàn)對不同風(fēng)向上的點分別進行預(yù)測,使得空間結(jié)構(gòu)特征信息挖掘更加充分,從而提高差分系數(shù)預(yù)測的精度。

1 風(fēng)向監(jiān)督雙流神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

該部分將從整體系統(tǒng)架構(gòu)、卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及結(jié)構(gòu)、風(fēng)向判斷模塊以及損失函數(shù)對模型的整體架構(gòu)展開論述。

1.1 風(fēng)向監(jiān)督雙流神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)

本篇論文的風(fēng)向監(jiān)督雙流神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)如圖1所示。Burgers方程最初用作對流與擴散之間相互作用下的建模工作,此方程將波動方程與熱傳導(dǎo)方程相結(jié)合,并且具有守恒定律、非線性方程等特點。此外,Burgers方程與納維斯托克斯(Navier-Stokes,N-S)方程有著密切的聯(lián)系,納維斯托克斯方程刪除壓力項以及外力項后與Burgers方程高度相似,而N-S方程是描述天氣、洋流、航天飛行器物理過程的關(guān)鍵方程組,這也使Burgers方程有著很高的研究價值。此工作先將該方法在Burgers方程上進行驗證,在未來工作中會將該方法推廣至納維斯托克斯方程等復(fù)雜的方程組求解中,以更好的實現(xiàn)天氣、洋流、飛行器氣流等預(yù)測工作。對于Burgers方程(公式(1)所示)求解的標準流程在架構(gòu)圖中由淺藍色框表示。

(1)

圖1 風(fēng)向監(jiān)督雙流神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)圖

(2)

(3)

(4)

針對本論文中的空間離散化方案,設(shè)計了如架構(gòu)圖1中紅色框所顯示的內(nèi)容。該部分主要包括三部分,其中M1與M2是風(fēng)向監(jiān)督神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)部分,M3為風(fēng)向判斷模塊。M1和M2模塊分別考慮上風(fēng)向和下風(fēng)向?qū)λ俣葓龅挠绊?利用卷積層分別提取受不同風(fēng)向影響的速度場空間特征,得到上風(fēng)向有限差分系數(shù)和下風(fēng)向有限差分系數(shù),將預(yù)測得到的有限差分系數(shù)同時進入到M3模塊,通過風(fēng)向判斷模塊給予上下風(fēng)向系數(shù)不同的權(quán)重,得到最終受風(fēng)向影響的空間離散化有限差分系數(shù)。下面針對這三個模塊進行詳細介紹。

1.2 M1及M2部分

本工作結(jié)合物理先驗知識設(shè)計了如圖所示的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),M1與M2是完全相同的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),均是由5層卷積層以及1個精度約束層構(gòu)成。其中網(wǎng)絡(luò)的輸入為Burgers方程的高精度解v,輸出為方程中的有限差分系數(shù)α。

1.2.1 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 該網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)主要是在迎風(fēng)格式的啟發(fā)下設(shè)計的,迎風(fēng)格式認為在對流項主導(dǎo)的運動里,某個點所受到上游的影響遠大于下游所產(chǎn)生的影響。因此對速度值采用了兩部分網(wǎng)絡(luò)進行處理,其中M1作為上風(fēng)向有限差分系數(shù)的預(yù)測模塊, M2為下風(fēng)向有限差分系數(shù)的預(yù)測,對于M1與M2兩部分的差分系數(shù)將在M3模塊進行處理。

1.2.2 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 由于M1與M2所設(shè)計的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相同,因此本部分只對于M1模塊進行詳細描述。對于兩個分支的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),本工作統(tǒng)一采用的是5層的網(wǎng)絡(luò)卷積層,內(nèi)核大小為7×7,有限差分系數(shù)使用的網(wǎng)格大小為6,在訓(xùn)練過程中,采用分批訓(xùn)練,批大小為128,模型參數(shù)優(yōu)化的初始學(xué)習(xí)率設(shè)置為10-3,并將Relu作為激活函數(shù)進行訓(xùn)練。同時在卷積層之后還加入了精度約束層,主要目的是若差分階數(shù)過低時,通過此約束層使得多項式的精度達到一定的階數(shù),進一步保證了計算空間導(dǎo)數(shù)時的準確性。通過Tensorflow來對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進行設(shè)計,這樣做最主要是因為Tensorflow作為深度學(xué)習(xí)框架已被廣泛應(yīng)用,并且它有對復(fù)雜微分方程的自動微分功能,因此很容易得到計算步驟中所需的方程信息。

1.2.3 M2風(fēng)向判斷模塊 本文在以上工作的基礎(chǔ)上加入了風(fēng)向判斷模塊,對于此模塊的設(shè)計主要是受到迎風(fēng)格式思想的啟發(fā)。下面對此模塊的設(shè)計細節(jié)進行描述,對于一維Burgers方程的解而言,存在著方向的差異性,因此本工作采取了下面的思想進行實驗,首先是通過每一時刻所有點的速度方向來確定該時刻整體的風(fēng)向,該思想主要是通過對每個點周圍6個點的速度方向來判斷該點的速度方向,若超過1/2的點速度值為正值,則認為該點的速度為上風(fēng)向,否則為下風(fēng)向。架構(gòu)圖如圖2所示,其中P代表512個網(wǎng)格點,即P={P1,P2,……,P512},C′i代表上風(fēng)向?qū)τ诿總€網(wǎng)格點所預(yù)測的系數(shù),同理,C′j代表下風(fēng)向?qū)τ诿總€網(wǎng)格點所預(yù)測的系數(shù),Ci代表上下風(fēng)向隨預(yù)測系數(shù)經(jīng)過風(fēng)向判斷模塊后所得到的最終預(yù)測系數(shù)。對于此模塊,風(fēng)向判斷公式如下:

(5)

圖2 風(fēng)向判斷模塊示意圖

(6)

式中:N代表風(fēng)向判斷系數(shù);v-代表網(wǎng)格點速度值為負數(shù)的情況;num(v-)代表網(wǎng)格點速度值為負數(shù)的數(shù)量;同理v+代表網(wǎng)格點速度值為正值的情況;num(v+)代表網(wǎng)格點速度值為正數(shù)的數(shù)量;wu代表上風(fēng)向差分系數(shù);wd代表下風(fēng)向差分系數(shù)。

若所有點中負速度值的個數(shù)不足一半,則認定該時刻的風(fēng)向為上風(fēng)向,同時設(shè)置風(fēng)向判斷系數(shù)為0(如公式(5)所示),在此情況下,給上風(fēng)向所預(yù)測的差分系數(shù)(即M1模塊)賦予權(quán)重為0.9,則下風(fēng)向預(yù)測差分系數(shù)值(即M2模塊)賦予權(quán)重為0.1(如公式(6)所示);同理,若所有點中負速度值的個數(shù)超過一半,則認定該時刻的風(fēng)向為下風(fēng)向,同時設(shè)置風(fēng)向判斷系數(shù)為1,在此情況下,給上風(fēng)向所預(yù)測的差分系數(shù)(即M1模塊)賦予權(quán)重為0.1,則下風(fēng)向預(yù)測差分系數(shù)值(即M2模塊)賦予權(quán)重為0.9。

1.3 損失函數(shù)及訓(xùn)練工作

為了更好的衡量模型的預(yù)測能力,本工作選取MSE損失函數(shù)通過利用預(yù)測值與真實值之間的差異進行反向傳播,然后開展模型訓(xùn)練。公式如下所示:

(7)

2 實驗過程及實驗結(jié)果

為了驗證本方法的有效性,該部分將從數(shù)據(jù)集、訓(xùn)練優(yōu)化工作以及實驗設(shè)計等部分驗證模型的性能。

2.1 數(shù)據(jù)集

為了能夠生成大量高精度的解,本研究工作選取了五階WENO方法對Burgers方程進行數(shù)值求解,并進行了多次模擬以生成10 000個高分辨率的解,每次模擬均采用了512個網(wǎng)格點,其初始速度場的狀態(tài)圖如圖3所示。

圖3 初始速度場狀態(tài)圖

2.2 訓(xùn)練優(yōu)化方法

為了更好的驗證方法的有效性,隨機選取了其中的8 000個解作為訓(xùn)練樣本,選取2 000個解作為測試樣本,通過對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行了多次模擬,并將最終計算結(jié)果與偏微分方程的真實時間傾向項進行比較,此方程的真實時間傾向項,是通過在512個網(wǎng)格點上使用五階WENO方法計算獲得。

為了有效的驗證模型的性能,所有工作均通過開源的Tensorflow框架進行模型構(gòu)建以及完成模型的訓(xùn)練,所有實驗均在Tesla V100 SXM2 16 GB GPU上進行的。另外,還選擇了由JetBrains打造的Pycharm作為實驗開發(fā)環(huán)境。同時選用Adam優(yōu)化器對網(wǎng)絡(luò)進行訓(xùn)練,設(shè)置迭代次數(shù)(epoch)為40 000,基礎(chǔ)批量大小(base_batch_size)為128。在此工作中,采用如下策略進行訓(xùn)練,迭代次數(shù)在0～20 000之間時,學(xué)習(xí)率設(shè)置為10-3,當?shù)螖?shù)在20 000～40 000之間時,學(xué)習(xí)率設(shè)置為10-4,同時每250輪評估一次訓(xùn)練結(jié)果。

2.3 評價指標

為了有效的說明工作的有效性,本文選取了Mean Absolute Error(MAE)、Mean_Abs_Relative_Error(MARE)、RMS_Error(RMSE)作為模型性能的評價指標。下面對于每一個指標進行詳細說明。

其中MAE為平均絕對誤差,其計算公式如下:

(8)

(9)

設(shè)計原理同MAE,同樣保證了其預(yù)測的準確性。RMSE為均方根誤差,其計算過程如下:

(10)

同理,RMSE很好的保證了預(yù)測結(jié)果的精度。

2.4 實驗設(shè)計

為了能夠清晰的表明方法的有效性,設(shè)計了一組對比實驗以及兩組消融實驗,分別通過MAE、MARE、RMSE三項指標進行驗證。

2.4.1 對比實驗和分析 本部分的目標主要是訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中所需要的參數(shù),所選取的損失函數(shù)是經(jīng)過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測得到的時間傾向項與傳統(tǒng)數(shù)值方法所求時間傾向項之間的平均絕對誤差,此工作主要是為了優(yōu)化最后的時導(dǎo)數(shù)項,而不是其他項。為了能夠充分考慮到方程中的物理信息,在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程中考慮了物理約束對求解精度的影響,從而可以直接對最終的結(jié)果進行預(yù)測。在該實驗中,模型訓(xùn)練大約需要20 min即可完成。在模型訓(xùn)練完成后,對模型進行了測試工作,以檢測此模型的預(yù)測能力。預(yù)測結(jié)果如表1所示,其中表中的v代表速度值,v_t代表的是時間傾向項,v_x代表的是空間導(dǎo)數(shù),這充分表明了此方法對于模型的預(yù)測能力是可接受的,同時進一步驗證了方法的有效性。

表1 對比實驗結(jié)果表

本文基于五階WENO方法生成512×512高分辨率網(wǎng)格下高精度解,然后通過降維得到128×128低分辨率網(wǎng)格下高精度解。表1中5th-WENO方法、WENO_NN方法與本工作的誤差均代表與上述128×128低分辨率網(wǎng)格下高精度解進行對比的結(jié)果。本工作比5th-WENO方法和WENO_NN方法有著更高的精度,從而實現(xiàn)了求解的加速?；€工作在通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測差分系數(shù)過程中未考慮上下風(fēng)向?qū)δＰ皖A(yù)測的影響。通過實驗結(jié)果表不難發(fā)現(xiàn),該工作明顯優(yōu)于基線方法,這主要是因為該研究方法充分考慮了不同階段風(fēng)向?qū)τ谙禂?shù)的影響,使得上風(fēng)向特征信息在系數(shù)預(yù)測過程中起到關(guān)鍵作用,空間結(jié)構(gòu)信息挖掘更加充分,從而使最終誤差減小。

2.4.2 消融實驗和分析 此外,本文進行了兩組消融實驗,第一組實驗驗證神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層數(shù)對于模型預(yù)測能力的影響;第二組是驗證卷積核大小對模型的影響。接下來對這兩組實驗的實驗結(jié)果以及實驗分析展開描述。

從表2中可以看出當網(wǎng)絡(luò)層數(shù)為5時,模型的預(yù)測效果是最好的,這是由于隨著網(wǎng)絡(luò)層數(shù)的增加,模型獲得的信息越豐富,但是網(wǎng)絡(luò)層數(shù)過多可能會導(dǎo)致信息的冗余,正如網(wǎng)絡(luò)層為9時的結(jié)果。

表2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層數(shù)的消融實驗

從表3中可以看到,當卷積核大小過小時,會使得卷積核的感受野太小,從而無法有效獲取完整的空間信息,進而無法有效提取特征。研究過程所選取的卷積核大小是5,雖然卷積核大小為7時,結(jié)果也是可以接受的,但是當卷積核過大時,計算容易出現(xiàn)暴漲現(xiàn)象,計算成本會大幅度增加。

表3 卷積核大小的消融實驗

雖然對于方程的計算過程過于復(fù)雜,但是本文的工作所得到的結(jié)果是滿意的,這說明了利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對方程進行端到端求解是可行的,在提高求解精度的同時,也提高了求解的速度,這個工作思想值得去進一步探索研究。

3 結(jié)論與展望

本文介紹了一種使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與物理信息相結(jié)合而進行的數(shù)據(jù)驅(qū)動方法。根據(jù)Burgers方程的特點,在原來數(shù)據(jù)驅(qū)動離散化方法基礎(chǔ)上做的改進工作,構(gòu)建了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,并對該模型進行了對比實驗以及消融實驗。由于一維Burgers方程研究工作中受到迎風(fēng)格式的影響,上風(fēng)向節(jié)點所具有的物理信息在建模過程中占主導(dǎo)地位,同時下風(fēng)向節(jié)點信息也對中心節(jié)點有一定的影響,本文經(jīng)過對比實驗以及消融實驗得出以下結(jié)論與展望:

(1)針對單一建模方式往往難以充分考慮不同階段風(fēng)向?qū)ο禂?shù)的影響比重,無法有效獲得各節(jié)點間關(guān)聯(lián)信息的挑戰(zhàn),研究了迎風(fēng)格式思想的建模方法,提出并設(shè)計了風(fēng)向監(jiān)督雙流神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及風(fēng)向判斷模塊,實現(xiàn)了對預(yù)測得到有限差分系數(shù)的權(quán)重融合。針對此問題,本文提出了風(fēng)向監(jiān)督雙流神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及風(fēng)向判斷模塊,對預(yù)測得到的有限差分系數(shù)進行合理的權(quán)重分配,突出了上風(fēng)向節(jié)點的重要性。通過風(fēng)向監(jiān)督雙流神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),并結(jié)合先驗知識對學(xué)得的系數(shù)分配一定的權(quán)重,以突出上下風(fēng)向?qū)︻A(yù)測結(jié)果的不同影響,可以有效實現(xiàn)對不同風(fēng)向上的點分別進行預(yù)測,使得空間結(jié)構(gòu)特征信息挖掘更加充分,從而提高差分系數(shù)預(yù)測的精度。通過與傳統(tǒng)數(shù)值方法的對比實驗可以看出,本工作在MAE、MARE以及RMSE三項指標中均有明顯的改善,從而驗證了該研究方法充分考慮了不同階段風(fēng)向?qū)τ谙禂?shù)的影響,使得上風(fēng)向特征信息在系數(shù)預(yù)測過程中起到關(guān)鍵作用,空間結(jié)構(gòu)信息挖掘更加充分,從而使最終誤差減小。

(2)利用本文的思想對偏微分方程進行求解得到了不錯的結(jié)果,同時也解決了傳統(tǒng)數(shù)值求解方法存在計算成本大的問題,這是由于強大的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模擬能力以及所考慮的物理信息符合Burgers方程所包含的信息所致。在偏微分方程求解的工作中,本文所做的工作將會是一個不錯的思路,它將會對偏微分方程的加速求解帶來深遠的影響,甚至可能會助力該研究領(lǐng)域的發(fā)展。

(3)本文所做的工作目前僅在一維情況下進行的實驗,但是將本文思想應(yīng)用于二維甚至更高維的情況下的研究可能會遇到更大的挑戰(zhàn),這也是本研究接下來的重點。此外,在將來的工作中將會更細致的研究偏微分方程的物理信息,盡可能將計算精度與計算效率進一步提升。