郭元偉，邵亞斌

（1.太原學院 數(shù)學系，山西 太原 030032；2.重慶郵電大學 理學院，重慶 400065）

0 引言

眾所周知，模糊微分方程在不確定或不完全動力系統(tǒng)中發(fā)揮了重要作用。Kaleva［1］于1987 年給出了H 差的定義，討論了模糊微分方程的初值問題，然而H 差需要滿足模糊值函數(shù)的支撐集長度是單調(diào)非減，這一條件極大地限制了模糊值函數(shù)的可導性，直到2005 年Bede 等［2-3］引入了模糊值函數(shù)強廣義導數(shù)的概念，這一問題才得到解決。Stefanini［4］于2010 年定義的模糊數(shù)gH 差是一種更廣范圍的模糊數(shù)H 差，同時基于gH 差的模糊微分進一步完善了Hukuhara 微分，相關(guān)內(nèi)容也可參考文獻［5-8］。除此以外，利用Zadeh 擴展原理來求相應分明集值微分方程解的微分包含也是一種研究微分方程解的重要方法，文獻［9-12］較系統(tǒng)地介紹了微分包含的基本步驟、討論了解的唯一性等問題。同實值Laplace 變換一樣，模糊Laplace 變換在研究模糊微分方程中起著重要作用，2010年，Allahviranloo 等［13］首次給出了模糊Laplace 變換的定義，并將所得結(jié)果應用到常系數(shù)線性模糊微分方程中，Shen 等［14］借助于模糊Laplace 變換研究了分數(shù)階微分方程Ulam 穩(wěn)定性問題，Gong等［15-16］基于Henstock 積分討論了模糊Laplace 變換存在的充要條件和卷積定理，并利用相應結(jié)果討論了幾類不連續(xù)模糊系統(tǒng)。

2018 年，Barros［17］、Esmi 等［18］通過從二維歐氏空間向線性相關(guān)模糊數(shù)空間中引入算子ΦA(chǔ)，討論了線性相關(guān)模糊數(shù)值函數(shù)的Fréchet 導數(shù)，Pedro 等［19］于2020 年推廣了相應模糊數(shù)值函數(shù)的計算方法及對應的Fréchet 導數(shù)和Riemann 積分。事實上，如果模糊數(shù)A是非對稱模糊數(shù)，則該空間是線性空間；如果模糊數(shù)A是對稱模糊數(shù)，則該空間不是線性空間。為了解決這一局限性，Shen［20-21］借助于R2上的等價關(guān)系≡A給出了線性相關(guān)模糊數(shù)空間中LC 差的定義，并給出了對應的數(shù)值計算。值得一提的是，無論模糊數(shù)A是對稱的還是非對稱的，LC 差都是合理的，而且這種模糊數(shù)的差總是存在于線性相關(guān)模糊數(shù)空間中。Pedro 等［22］在非對稱模糊數(shù)導出的線性相關(guān)模糊數(shù)空間中定義了Laplace 變換，并討論了相關(guān)的性質(zhì)，然而文獻［22］并未給出相應的卷積定理，而且文獻［22］中的所有結(jié)果均限于非對稱模糊數(shù)導出的線性相關(guān)模糊數(shù)空間，這些結(jié)論在對稱模糊數(shù)導出的線性相關(guān)模糊數(shù)空間中未必成立?；谝陨峡紤]，本文分別研究了非對稱模糊數(shù)和對稱模糊導出的線性相關(guān)模糊數(shù)空間中Laplace 變換的性質(zhì)，得到了模糊值函數(shù)關(guān)于實值函數(shù)的卷積定理，討論了模糊Volterra 積分方程和一階線性微分方程的解。

1 定義及說明

文中用RF來表示定義在實數(shù)集R 上的全體模糊數(shù)空間。模糊數(shù)A∈RF：R →[0，1]滿足正規(guī)的、凸的、上半連續(xù)的，且支撐集緊［1-2］。任意A，B∈RF，k∈R，在模糊數(shù)空間RF中加法以及數(shù)乘運算A⊕B，k⊙A分別定義為：?α∈[0，1]，有

特別地，把三角模糊數(shù)A簡記為A=(a；b；c)，有[A]α=[a+(b-a)α，c+(b-c)α]。模糊數(shù)A是對稱模糊數(shù)是指［18］：存在對稱點x*∈R 使得A的隸屬度滿足A(x*+x)=A(x*-x)，?x∈R。易證，當A是對稱模糊數(shù)時，有。

令A∈RF，定義ΦA(chǔ)(q，r)=qA⊕χ{r}，其中(q，r)∈R2。顯然，算子ΦA(chǔ)將二維數(shù)組(q，r)∈R2映射到模糊數(shù)ΦA(chǔ)(q，r)∈RF，為簡化計算將qA⊕χ{r}簡記為qA+r。由Zadeh 表示定理，得[ΦA(chǔ)(q，r)]α={qx+r：x∈[A]α}=q[A]α+r。

定義1［20］設(shè)A，B∈RF，若存在二元數(shù)組(q，r)∈R2滿足B=qA+r，則稱B是A線性相關(guān)模糊數(shù)，進而把RF(A)={qA+r|(q，r)∈R2}稱為線性相關(guān)模糊數(shù)空間。

一般地，若B∈RF(A)，則存在(q，r)∈R2滿足B=ΦA(chǔ)(q，r)=qA+r，即B是一個A線性相關(guān)模糊數(shù)。事實上，A線性相關(guān)模糊數(shù)空間RF(A)與A是否是對稱模糊數(shù)有密切關(guān)系。一方面，當A是非對稱模糊數(shù)時，ΦA(chǔ)是R2到RF(A)上的雙射，借助于ΦA(chǔ)的性質(zhì)，給出如下定義［21］：?B，C∈RF(A)，λ∈R，

容易證明

另一方面，當A∈RFR 是關(guān)于x*的對稱模糊數(shù)時，若B=ΦA(chǔ)(q，r)，則ΦA(chǔ)(-q，2qx*+r)=B，也即，可見ΦA(chǔ)并不是R2到RF上的雙射。為解決這個問題，文獻［20-21］給出了定義在R2上的等價關(guān)系≡A，即(q，r)≡A(p，u)當且僅當(q，r)=(p，u)或(q，r)=(-p，2px*+u)，簡記為[(q，r)]≡A={(q，r)，(-q，2qx*+r)}，同時用R2/≡A={[(q，r)]≡A|(q，r)∈R2}表示R2上的商集。

定義2［20-21］若[(q，r)]≡A，[(p，u)]≡A∈R2/≡A，?λ∈R，p≥0，q≥0，有

例1設(shè)A=(-1； 0； 1)表示三角模糊數(shù)，可得A的對稱點為x*=0，任取[(2，-3)]≡A∈R2/≡A，[(3，5)]≡A∈R2/≡A，根據(jù)定義2 得

定義3［20-21］設(shè)A∈RFR 是關(guān)于x*的對稱模糊數(shù)，B，C∈RF(A)，且有B=A([(q，r)]≡A)，C=A([(p，u)]≡A)，記

根據(jù)以上定義，以下事實成立：

定義4［20］若A∈RF，B，C∈RF(A)滿足B=ΦA(chǔ)(q，r)，C=ΦA(chǔ)(p，u)，

1） 當A是非對稱模糊數(shù)時，記B?C=ΦA(chǔ)(q-p，r-u)；

2） 當A是關(guān)于x*的對稱模糊數(shù)時，記B?C=A([(q，r)]≡A[(p，u)]≡A)；

其中

定義5［20-21］設(shè)A∈RFR 是關(guān)于x*對稱模糊數(shù)，若f(t)=q(t)A+r(t)是線性相關(guān)模糊值函數(shù)，記f(t)的統(tǒng)一形式為f(t)=q0(t)A+r0(t)，其中

定義6［19-20］設(shè)A∈RF是非對稱模糊數(shù)，f：[a，b]→RF(A)是線性相關(guān)模糊值函數(shù)，且f(t)=q(t)A+r(t)。若q(t)，r(t)是Riemann 可積的，則f的Riemann 積分定義為

定義7［20］設(shè)A∈RFR 是關(guān)于x*的對稱模糊數(shù)，f：[a，b]→RF(A)是線性相關(guān)模糊值函數(shù)，且f(t)=q(t)A+r(t)，q0(t)，r0(t)與定義5 中的一致。若q0(t)，r0(t)是Riemann 可積的，則f的Riemann 積分定義為

假設(shè)f：[a，+∞)→RF(A)，且f(t)=q(t)A+r(t)。當A∈RF是非對稱模糊數(shù)，將f在[a，+∞)上的積分定義為［22］：

容易驗證

當A∈RFR 是關(guān)于x*的對稱模糊數(shù)，q0(t)，r0(t)與定義5 中的一致。若q0(t)，r0(t)是Riemann可積的，且存在，易證存在，且有

從而可得

2 模糊Laplace變換

定義8設(shè)f： [0，+∞)→RF(A)是線性相關(guān)模糊值函數(shù)，若對任意s∈R 存在。則稱之為f(t)在s處的模糊Laplace 變換，記作

下文中只討論s＞0 的情況，不做特殊說明總假設(shè)s＞0。

引理1設(shè)A∈RFR 是關(guān)于x*的對稱模糊數(shù)，f(t)=q(t)A+r(t)，q0(t)，r0(t)與定義5 中一致。若L[q(t)]和L[r(t)]存在，則L[q0(t)]和L[r0(t)]存在，且[(L[p0(t)]，L[r0(t)])]≡A=[(-L[p0(t)]，2x*L[p0(t)]+L[r0(t)])]≡A。

證明由實值函數(shù)積分性質(zhì)，易證若L[q(t)]和L[r(t)]存在，則L[q0(t)]和L[r0(t)]存在?，F(xiàn)證[(L[p0(t)]，L[r0(t)])]≡A=[(-L[p0(t)]，2x*L[p0(t)]+L[r0(t)])]≡A，

由定義2 可得

也即[(L[p0(t)]，L[r0(t)])]≡A=[(-L[p0(t)]，2x*L[p0(t)]+L[r0(t)])]≡A。

定理1設(shè)A∈RF，f(t)=ΦA(chǔ)(q(t)，r(t))，則如下事實成立：

1） 當A∈RF是非對稱模糊數(shù)時，則L[f(t)]存在的充要條件是L[q(t)]和L[r(t)]存在，且L[f(t)]=ΦA(chǔ)(L[q(t)]，L[r(t)])。

2） 當A∈RFR 是關(guān)于x*的對稱模糊數(shù)時，則L[f(t)]存在的充要條件是L[q(t)]和L[r(t)]存在，且L[f(t)]=A([(L[q0(t)]，L[r0(t)])]≡A)。

證明1）當A∈RF是非對稱模糊數(shù)時，有

得

2） 當A∈RFR 是對稱模糊數(shù)時，由于e-st＞0，由定義3 可得

注1定理1 表明無論A是非對稱模糊數(shù)還是對稱模糊數(shù)其對應的模糊Laplace 變換都有類似的結(jié)論，若A是非對稱模糊數(shù)該結(jié)論與文獻［22］中定理11 一致，若A是對稱模糊數(shù)，借助于相應等價類的Laplace 變換可得線性相關(guān)模糊值函數(shù)的模糊Laplace 變換。

推論1設(shè)A∈RF，f(t)=ΦA(chǔ)(q(t)，r(t))，則如下事實成立：

1） 當A∈RF是非對稱模糊數(shù)時，若L[f(t)]存在，則L[f(t)]=L[q(t)]A+L[r(t)]；

2） 當A∈RFR 是關(guān)于x*的對稱模糊數(shù)時，若L[f(t)]存在，則

定理2設(shè)A∈RF。若f(t)=ΦA(chǔ)(q(t)，r(t))，g(t)=ΦA(chǔ)(p(t)，u(t))的模糊Laplace 變換存在，則對任意α∈R，β∈R，有

證明下面分別對A是非對稱模糊數(shù)和對稱模糊數(shù)進行討論。

當A∈RF是非對稱模糊數(shù)時，有

由定理1 可得

當A∈RF是關(guān)于x*對稱模糊數(shù)時，根據(jù)定義3 和定義4

以下只討論α≥0，β＜0，其他情況的證明與之類似。根據(jù)定義2 有

從而

結(jié)合引理1 和定理1 得

結(jié)論得證。

注2由定理2 的證明，A是非對稱模糊數(shù)或?qū)ΨQ模糊數(shù)上述結(jié)論均成立，因此文獻［22］中性質(zhì)12 為定理2的特殊情況。

3 實值函數(shù)與模糊值函數(shù)的卷積及其性質(zhì)

定義9設(shè)A∈RF，f(t)=q(t)A+r(t)，g(t)為實值函數(shù)，記f(t)與g(t)的卷積為。

若t＜0 時，f(t)=χ{0}，g(t)=0，則根據(jù)模糊積分區(qū)間的可加性，有

由于Laplace 變換只需要被變換函數(shù)在自變量大于等于零時有定義，所以下文中若無特別說明都假定參與卷積運算的函數(shù)t＜0 時恒為零。

引理2設(shè)A∈RF，f(t)=q(t)A+r(t)，g(t)為非負或非正實值函數(shù)，以下事實成立：

1） 若f(t)*g(t)存在，則f(t)*g(t)=ΦA(chǔ)(q(t)*g(t)，r(t)*g(t))；

2） 若g(t)*f(t)存在，則g(t)*f(t)=ΦA(chǔ)(g(t)*q(t)，g(t)*r(t))。

證明不失一般性只證1）式。

當A∈RF為非對稱模糊數(shù)時，由卷積的定義得

當A∈RFR 是關(guān)于x*的對稱模糊數(shù)時，下面只證明g(t)≤0 的情況，

也即

從而

定理3設(shè)A∈RF，f(t)=q(t)A+r(t)，g(t)為非負或非正實值函數(shù)。若f(t)*g(t)存在，則g(t)*f(t)也存在，且f(t)*g(t)=g(t)*f(t)。

證明由引理2 易證結(jié)論成立。

定理4設(shè)A∈RF，f(t)，h(t)是線性相關(guān)模糊值函數(shù)，g(t)為實值函數(shù)，則

1） (α⊙f)*g(t)=f*(αg(t))；

2） (h⊕f)*g(t)=h*g(t)⊕f*g(t)。

定理5設(shè)A∈RF，f(t)=q(t)A+r(t)，g(t)為非負或非正實值函數(shù)。若f(t)，g(t)及f(t)*g(t)的Laplace 變換存在，則

證明由定理1 和引理2 可證。

4 模糊Laplace變換的應用

當A是非對稱模糊數(shù)時，記，其中B∈RF(A)，||·||∞表示R2上的無窮范數(shù)。對任意模糊數(shù)B，C∈RF(A)，記d(B，C)=||B?C||ΦA(chǔ)，有

當A是關(guān)于x*的對稱模糊數(shù)時，記，其中是R2/≡A上的無窮范數(shù)，也即對任意[(q，r)]≡A∈R2/≡A有

同樣把模糊數(shù)B，C∈RF(A)之間的距離記為。

定義10［21］設(shè)A∈RF，f(t)=q(t)A+r(t)是線性相關(guān)模糊值函數(shù)，若對任意t0存在，稱f是可導的。

引理3［19-20］設(shè)A∈RF是非對稱模糊數(shù)，f(t)=q(t)A+r(t)是線性相關(guān)模糊值函數(shù)，f是可導的當且僅當q(t)和r(t)可導，且f'(t)=q'(t)A+r'(t)。

引理4［20-21］設(shè)A∈RFR 是關(guān)于x*對稱模糊數(shù)，f(t)=q(t)A+r(t)是線性相關(guān)模糊值函數(shù)，f是可導的當且僅當q(t)和r(t)可導，且f'(t)=q1(t)A+r1(t)，其中

4.1 模糊卷積在模糊Volterra積分方程的應用

下面討論模糊Laplace 變換的卷積定理在如下Volterra 積分方程的應用：

其中f(t)=q(t)A+r(t)為未知模糊值函數(shù)，g(t)=p(t)A+u(t)為已知模糊值函數(shù)，k(t)為非負或非正的實值函數(shù)，L[f(t)]，L[g(t)]，L[k(t)]存在。下面對以上模糊積分方程的解進行討論。

對（1）式兩端作Laplace 變換，得L[k(t)]⊙L[f(t)]=L[g(t)]，由定理5 可得方程（1）的解等價于：

當A是非對稱模糊數(shù)時，（2）式變形為

從而得方程（2）的解滿足

從而得方程（1）的解為

當A是關(guān)于x*的對稱模糊數(shù)時，

1） 若k(t)≥0，由Laplace 變換的定義易知L[k(t)]≥0，（2）式等價于

也即

從而得方程（1）的解為

2） 若k(t)＜0，由Laplace 變換的定義易知L[k(t)]＜0，（2）式等價于

從而得方程（1）的解為

例2考慮模糊積分方程

其中A是非對稱模糊數(shù)，f(t)=q(t)A+r(t)。兩端作Laplace 變換，可得

也即

兩邊作Laplace 逆變換得

綜上可得f(t)=(1-sint-cost)A+1+e2t。

4.2 模糊Laplace變換在一階線性微分方程中的應用

定理6設(shè)A∈RF，f(t)=q(t)A+r(t)。若f'(t)，L[f(t)]，L[f'(t)]存在，則

1） 當A∈RF是非對稱模糊數(shù)時，有L[f'(t)]=s⊙L[f(t)]?f(0)；

2） 當A∈RFR 是關(guān)于x*的對稱模糊數(shù)時，且q(t)q'(t)≥0 時，有L[f'(t)]=s⊙L[f(t)]?f(0)。

證明下面分別對A是非對稱模糊數(shù)和對稱模糊數(shù)進行討論。

當A∈RF是非對稱模糊數(shù)時，因為f'(t)存在，由引理3 可得f'(t)=ΦA(chǔ)(q'(t)，r'(t))。根據(jù)定理1 有

當A∈RFR 是關(guān)于x*對稱模糊數(shù)時，若q'(t)≥0 且q(t)≥0，由引理4 可得

根據(jù)定理1 有

若q'(t)≤0 且q(t)＜0，由引理4 可得f'(t)=A([(-q'(t)，2x*q'(t)+r'(t))]≡A)，從而

結(jié)論得證。

例3 討論如下一階線性微分方程的解

其中A是非對稱模糊數(shù)，且f(t)=q(t)A+r(t)。兩邊作Laplace 變換，由定理6 可得

即

解得

從而

綜上可得

例4討論如下一階線性微分方程的解

其中A是關(guān)于x*的對稱模糊數(shù)，且f(t)=q(t)A+r(t)。兩邊作Laplace 變換，由定理6 可得

即

若q'(t)≥0 且q(t)≥0，則（6）式等價于

解得

從而q(t)=t，。

若q'(t)≤0 且q(t)＜0，則（6）式等價于

解得

從而q(t)=-t，。綜上可得，

5 結(jié)論

本文借助于線性相關(guān)模糊數(shù)空間中的積分與微分性質(zhì)，首先給出了模糊Laplace 變換的定義，研究了模糊Laplace 變換存在的充要條件，并對其性質(zhì)進行了討論。其次，利用模糊Laplace 變換得到了線性相關(guān)模糊數(shù)空間中實值函數(shù)與模糊值函數(shù)的卷積定理。最后，借助于卷積定理和模糊Laplace 變換分別對模糊Volterra 積分方程和一階線性模糊微分方程的解進行了討論，并給出了算例。本文中的結(jié)果仍需進一步討論，今后將對模糊微分方程解的存在性、穩(wěn)定性等性質(zhì)進行深入研究。