馬小箭，毛月梅

（山西大同大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山西 大同 037009）

0 引言

作為Sylow 定理、可解群的Hall 定理和π-分離群的Chunhkin 定理等的進(jìn)一步發(fā)展，Skiba和郭文彬于2015 年提出了σ-群理論：如σ-次正規(guī)子群、σ-置換子群、σ-可解群和σ-冪零群等［1］。應(yīng)用這些新的理論，人們將可解群中許多經(jīng)典的理論進(jìn)行推廣和發(fā)展。比如，將Sylow 系推廣到完備Hallσ-集后，Hall-定理被推廣［2］；將冪零群推廣到σ-冪零群后，冪零群中子群的次正規(guī)性推廣為σ-次正規(guī)性［1］、冪零群的群結(jié)構(gòu)推廣為Hallσi-子群的乘積［1］；類似于次正規(guī)子群的情形，所有σ-次正規(guī)子群組成的集合在一定條件下能成為一個模［3］。除此之外，還有許多利用σ-置換子群和Hallσ-子群得出的群結(jié)構(gòu)的成果［1-9］。

2016 年，文獻(xiàn)［10］討論了群G×G的主對角子群的s-置換性、Z-置換性及s-置換嵌入性，將之前人們主要針對群G的研究推廣到G×G中，同時給出群G是冪零群的充要條件。因為s-置換性［11-12］、Z-置換性［13］以及s-置換嵌入性［14-15］主要對Sylow 子群和Sylow 系進(jìn)行討論，所以當(dāng)Sylow 子群和Sylow 系分別推廣為Hallσi-子群和完備Hallσ-集后，自然地，s-置換性、Z-置換性及s-置換嵌入性也分別推廣為σ- 置換性［1］、H- 置換性［16］及σ- 置換嵌入性［17］。因此本文將文獻(xiàn)［10］研究群G×G中主對角子群的s-置換性、Z-置換性及s-置換嵌入性和文獻(xiàn)［1，16-17］研究群G中子群的σ-置換性、H-置換性及σ-置換嵌入性進(jìn)行綜合推廣，研究了群G×G中主對角子群的σ-置換性、H-置換性以及σ-置換嵌入性，給出群G是σ-冪零群的充分條件，既將文獻(xiàn)［1，16-17］中的研究對象群G的子群推廣為G×G的主對角子群，又將文獻(xiàn)［10］中所討論的s-置換性、Z-置換性及s-置換嵌入性推廣為σ-置換性、H-置換性及σ-置換嵌入性，同時將文獻(xiàn)［10］中冪零群的成果推廣到σ-冪零群。本文所討論的群均是有限群，未交代的概念和符號參見文獻(xiàn)［18-20］。

1 預(yù)備知識

首先介紹關(guān)于主對角子群的一些符號和概念［10］。設(shè)G是群，記G*=G×G，稱D={(g，g)|g∈G}為G*的主對角子群。另記G1={(g，1) |g∈G}，G2={|(1，g)g∈G}。顯然，G*=G×G=G1×G2=G1D=G2D，D?G1?G2，D∩G1=D∩G2=1，并且G1和G2都是G*的正規(guī)子群。設(shè)M≤G，記D(M)={(m，m) |m∈M}，那么D(M)是D的子群。設(shè)A，B≤G，為了便于計算，習(xí)慣用有序元素對(A，B)表示A×B，D·(A，B)表示D與(A，B)的乘積。

以下介紹σ-可解群理論中的一些基本概念和符號［1-3］。設(shè)σ={σi|i∈I}是所有素數(shù)集合P的一個劃分，符號Π 表示σ的任一非空子集。設(shè)G是一個群，通常記σ(G)=σ(|G|)={σi|σi∩π(G)≠?｝。如果G=1 或|σ(G)|=1，則稱G是σ-準(zhǔn)素的。如果G的每個主因子H/K是σ-準(zhǔn)素的，則稱G是σ-可解群；若主因子H/K滿足(H/K)?(G/CG(H/K)) 是σ-準(zhǔn)素的，則稱G是σ-冪零的。設(shè)H≤G，如果|H|是一個Π-數(shù)，則稱H是G的Π-子群；如果H是G的一個Π-子群且|G：H|是一個Π'-數(shù)，其中Π'=σΠ，則稱H是G的Hall Π-子群。設(shè)H 是群G的子群集滿足1 ∈H，如果對于某個σi∈Π，H中的每個元素都是G的一個Hallσi-子群，并且對于每一個σi∈Π ∩σ(G)，H 包含且只包含G的一個Hallσi-子群，則稱H 為G的完備Hall Π-集。特別地，如果Π=σ，則稱H 是G的一個完備Hallσ-集；如果對任意的g∈G，Hi∈H，都有HHig=HigH，則稱H是σ-置換的；如果存在G的子群鏈H=H0≤H1≤…≤Hn=G，滿足或是σ-準(zhǔn)素的，其中i=0，1，2，…，n，則稱H是G的σ-次正規(guī)子群。如果G有一個完備的Hallσ-集，則稱G是完全群；如果G的每個子群都是Dσi- 群，其中σi∈Π ∩σ(G)，則稱G是具有Sylow 型的σ-完全群。設(shè)L 是由G的子群構(gòu)成的一個非空子集，稱G的子群A為L-置換的［1］，如果對于L 中的每個子群H都有AH=HA；稱G的子群A為LG-置換的［1］，如果對于L 中的每個子群H和G中的每個元素x都有AHx=HxA。文中應(yīng)用符號GNσ表示G的σ-冪零上根。下面介紹文章中用到的一些引理。

引理1［1］設(shè)H是G的一個σi-子群，那么H是σ-置換得當(dāng)且僅當(dāng)Oσi(G)≤NG(H)。

引理2［1］兩個σ-冪零群的直積仍是σ-冪零群。

引理3［1］設(shè)H是G的一個Π-子群，H 是G的一個完備Hall Π-集。如果H是HD-置換的，其中D=GNσ，那么H是G的σ-次正規(guī)子群。

引理4設(shè)H是G的σ-冪零子群，Hi是H的Hallσi-子群，其中σi∈σ(H)。如果H在G中是σ-置換的，那么Hi在G中也是σ-置換的。

證明因為H是σ-冪零子群，故，又由引理3 知H在G中是σ-次正規(guī)的，所以Hi也是G的σ-次正規(guī)子群。設(shè)Gj是G的任一Hallσj-子群，其中σj∈σ(G)，并且i≠j，那么由假設(shè)知HGj成群。易見，Hi是HGj的Hallσi-子群，又知Hi也是HGj的σ-次正規(guī)子群，從而有，即Gj≤NG(Hi)。由σj的任意性知，Oσi(G)≤NG(Hi)，因此由引理1 知Hi在G中也是σ-置換的。

引 理 5［1-2］設(shè)H，K≤G，NG，H={H1，H2，…，Ht}是G的一個完備Hallσ-集。記L=HK，假定H在G中是L-置換的。

（1） 如果H≤E≤G，那么H是L*-置換的，其中L*={H1∩E，…，Ht∩E}K∩E。特別地，如果G是一個Sylow 型的σ-完全群，并且H在G中是σ-置換的，那么H在E中也是σ-置換的。

（2）HN/N是L**- 置換的，其中。

（3） 如果G是一個Sylow 型的σ-完全群，并且K/N是σ-置換的，那么K在G中是σ-置換的。

（4） 如果K是L-置換的，那么是L-置換的。特別的，HσG是G的σ-置換子群。另外，如果G是一個具有Sylow 型的σ-完全群，那么HσG是G的σ-次正規(guī)子群。

引理6［1］設(shè)G是一個具有Sylow 型的σ-完全群，H，K≤G。若H是G的σ-置換子群，那么H∩K是K的σ-置換子群。

引理7［1］設(shè)K≤G，NG，A是G的σ-次正規(guī)子群。

（1）K∩A是K的σ-次正規(guī)子群。

（2） 如果K≤A，并且A是σ-冪零的，那么K是G的σ-次正規(guī)子群。

（3） 如果G是σ-完全群，A是一個σi-群（或σi- 冪零群），那么A≤Oσi(G)（或A≤Fσ(G)）。

類似于文獻(xiàn)［13］中所定義的Z-置換的概念，在σ-可解群理論中，可以定義子群的H-置換的概念［16］，設(shè)H={H1，H2，…，Ht}是G的Hallσ-完全集，G的子群H稱為H-置換的，如果H與H-中的每個元素是可置換的。同理，類似于文獻(xiàn)［14］中所定義的s-置換嵌入的概念，可以定義σ-置換嵌入的概念，群G的H稱為σ-置換嵌入的［17］，如果對于每個σi∈σ(H)，H的每個Hallσi-子群也是G的某個σ-置換子群的Hallσi-子群。下面就σ-置換嵌入子群給出一些基本的結(jié)論。

引理8設(shè)G是一個具有Sylow 型的σ-完全群，NG，H是G的σ-置換嵌入子群，那么：

（1）HN/N在G/N中是σ-置換嵌入的。

（2）H∩N在N中是σ-置換嵌入的。

（3）H的每個Hallσi-子群在G中是σ-置換嵌入的。

證明（1） 設(shè)σi∈σ(HN/N)，并且K/N是HN/N的Hallσi-子群。因為G是一個具有Sylow 型的σ-完全群，所以存在H的Hallσi-子群Hi使得K=HiN，因H在G中是σ-置換嵌入的，故存在G的σ-置換子群U，使得Hi是U的Hallσi-子群。又由引理5 知UN/N是G/N的σ-置換子群，并且

是σi'-數(shù)，故K/N是UN/N的Hallσi-子群，因此HN/N在G/N中是σ-置換嵌入的。

（2） 設(shè)σi∈σ(H)并且K是H∩N的Hallσi-子群。因為G是具有Sylow 型的σ-完全群，所以存在H的Hallσi-子群Hi和N的Hallσi-子群Ni使得K≤Hi∩N≤Hi∩Ni≤K，從而有K=Hi∩N=Hi∩Ni。又由引理假設(shè)知存在G的σ-置換子群U，使得Hi是U的Hallσi-子群。由引理6 知U∩N是N的σ-置換子群。因為U∩NU，所以K=Hi∩N=(U∩N)∩Hi是U∩N的Hallσi-子群，這就表明H∩N是N的σ-置換嵌入子群。

（3） 根據(jù)σ-置換嵌入的定義，這是顯然的。

引理9［10］設(shè)G*=G×G=G1×G2，NG。記N*=N1×N2=N×N，其 中N1={(n，1)|n∈N}，N2={(1，n)|n∈N}，那 么G*/N*=(G1N*)/N*×(G2N*)/N*=G/N×G/N，(DN*)/N*={(gN*，gN*) |g∈G}。

引理10［1］假設(shè)G是σ-冪零群，則以下條件成立：

（1）G有完備Hallσi-集H={H1，H2，…，Ht}滿足G=H1×H2×…×Ht；

（2）G的每個子群都σ-次正規(guī)于G。

2 主要結(jié)果

命題1［10］設(shè)W是G一個非空子集，D是G*=G×G的主對角子群。

（1） 若D·(1，W) 是G×G的子群，那么WG。

（2） 設(shè)A1，A2≤G，若D·(A1，A2)≤G×G，那 么D·(A1，A2)=D·(1，A1A2)，特 別 地，A1A2G。

命題2如果D在G×G中是σ-置換的，那么G是σ-冪零的。

證明設(shè)Hi是G的任一Hallσi-子群，其中σi∈σ(G)，那么顯然，(Hi，Hi) 是G×G的Hallσi-子群，從而由假設(shè)知D·(Hi，Hi)是G×G的子群，因此由命題1 知，HiG，故G是σ-冪零的。

推論1設(shè)H≤G，若D(H)在G×G是σ-置換的，那么H≤Fσ(G)。

證明由引理5 知，D(H)在H×H是σ-置換的，所以由命題2 知，H是σ-冪零的，即D(H)也是σ-冪零的。又由引理3 知，D(H)在G×G是σ- 次正規(guī)的，所以由引理7 知D(H)≤Fσ(G)，又 顯 然Fσ(D)≤Fσ(G)×Fσ(G)，因此易得H≤Fσ(G)。

推論2設(shè)H≤G，若H≤Fσ(G)，那么D(H)在G×G是σ-次正規(guī)的。

證明由引理2 知Fσ(G)×Fσ(G)是σ-冪零群，并且Fσ(G)×Fσ(G)是G×G的正規(guī)子群，所 以Fσ(G)×Fσ(G)≤Fσ(G×G)，從而有D(H)≤H×H≤Fσ(G)×Fσ(G)≤Fσ(G×G)。由引理10 知D(H)是Fσ(G×G)的σ-次正規(guī)子群，所以D(H)在G×G也是σ-次正規(guī)的。

定理1假定G是一個具有Sylow 型的σ-完全群，H≤G。對任意的σi∈σ(H)，設(shè)Hi是H的Hallσi-子群，那么D(H)在G×G是σ-置換的當(dāng)且僅當(dāng)Oσi(G)≤CG(Hi)。

證明首先假定D(H)在G×G是σ-置換的，那么由引理5 知D(H)在H×H是σ-置換的，從而由命題2 知H是σ-冪零的，故D(H)也是σ-冪零的，又由引理3 知，D(H)在G×G是σ-次正規(guī)的，所以D(H)在D中是σ-次正規(guī)的，并由此由引理7 知，D(H)≤Fσ(D)。由Hi是H的Hallσi-子群易知，D(Hi)是D(H)的Hallσi-子群。因為D(H)是G×G的一個σ-冪零的σ-置換子群，因此由引理4 知，D(Hi)在G×G也是σ-置換的?，F(xiàn)設(shè)對任意的σj∈σ(G)，Gj是G的Hallσj-子群，其中i≠j。顯然，(Gj，Gj)是G×G的Hallσj-子群，所以D(Hi)·(Gj，Gj)成群。容易看到，D(Hi) 也是D(Hi)·(Gj，Gj) 的Hallσi-子群。因為D(Hi)在G×G也是σ-置換的，故由引理3 和引理4 知，D(Hi)是D(Hi)·(Gj，Gj)的σ-次正規(guī)子群，所以D(Hi)D(Hi)·(Gj，Gj)，這表明(1，Gj)≤NG*(D(Hi))，并且D(Hi)·(1，Gj)成群，從而推得Gj中心化Hi，由σj的任意性知Oσi(G)≤CG(Hi)。

反之，假定Oσi(G)≤CG(Hi)，即對G的任意Hallσj-子群Gj均中心化Hi，其中i≠j。因為G是具有Sylow 型的σ-完全群，所以H的任一Hallσj-子群Hj包含于G的某個Hallσj-子群中，從而得Hj中心化Hi，這就推得H是σ-冪零的。因Oσi(G)≤CG(Hi)≤NG(Hi)，所以由引理1 知Hi是G的σ-置換子群，從而由引理3 知Hi也是G的σ-次正規(guī)子群，所以由引理7 知Hi≤Oσi(G)，從而D(Hi)≤D(Oσi(G))。又由Oσi(G)≤CG(Hi) 易得D(Hi) 與G×G的每一個Hallσj-子群是可置換的，這就表明D(Hi)與G×G的每一個Hallσi-子群和Hallσj-子群都是可置換的，因此D(Hi)在G×G中是σ-置換的。由D(H)≤H×H知D(H)是σ-冪零的，所以由引理10 知D(H)可以寫成它所有Hallσi-子群的直積，其中每個Hallσi-子群都是σ-置換的。所以由引理5（3）知D(H)也是σ-置換的，定理得證。

下面應(yīng)用G×G中主對角子群D的H-置換性和σ-置換嵌入性來刻畫σ-冪零群。

定理2設(shè)G是一個具有Sylow 型的σ-完全群，H={H1，H2，…，Ht}是G的Hallσ-完全集，并且每個Hi是冪零的。若G滿足以下條件之一，則G是σ-冪零群。

（1）D在G×G中是σ-置換的；

（2）D在G×G中是H-置換的；

（3）D在G×G中是σ-置換嵌入的。

證明（1） 命題2 已證。

（2） 假定D在G×G中是H-置換的，并設(shè)σi∈σ(G)，那么由定理假設(shè)知存在G的兩個Hallσi-子群Hi和H'i，使得Hi×H'i是G×G的Hallσi-子群，并且D與Hi×H'i是可置換的，即D·(Hi，H'i) 是G×G的子群。因為G是具有Sylow 型的σ-完全群，從而由文獻(xiàn)［18，VI，Theorem 4.6］知存在G的Hallσi-子群Li，使得D(Li)·(Hi，H'i) 是D·(Hi，H'i) 的Hallσi-子群。又顯然(Hi，H'i) 也是D·(Hi，H'i) 的Hallσi-子群，所 以 有 (Hi，H'i)=D(Li)·(Hi，H'i)，即D(Li)≤(Hi，H'i)，這就進(jìn)一步推出Hi=H'i=Li，因此有D·(Hi，H'i)=D·(Li，Li)=D·(1，Li)，所以由命題1 知LiG，又由σi的任意性知G是σ-冪零群。

（3） 假設(shè)定理不成立，對G用極小階反例。按照以下步驟繼續(xù)完成定理的證明：

（i）G不是一個非交換單群。

假設(shè)G是一個非交換單群，那么G*的σ-置換子群只能是1，G1，G2，G*。設(shè)σi∈σ(D)，并且Hi是G的Hallσi-子群，那么D(Hi)是D的Hallσi-子群，由定理假設(shè)和σ-置換嵌入的概念知，D(Hi)可能是G1，G2或G*的Hallσi-子群。若D(Hi) 是G1或G2的Hallσi-子群，那么易得Hi=1，這是不可能的。因此假定D(Hi)是G*的Hallσi-子群，由于對G的任意Hallσi-子群Ki，Hi×Ki也是G*的Hallσi-子群，又因G是一個具有 Sylow 型的σ- 完全群，從而有D(Hi)(g1，g2)=Hi×Ki，其中(g1，g2)∈G*，這就迫使Hi=Ki，即G有唯一的Hallσi-子群Hi，那么HiG，這與G是非交換單群矛盾。

（ii）G有唯一極小正規(guī)子群N滿足G/N是σ- 冪零的，并且N是交換p- 群，不妨設(shè)N≤H1，其中p∈π(H1)。另外，Φ(G)=1。

設(shè)N是G的極小正規(guī)子群，那么N1=(N，1)和N2=(1，N)分別是G1和G2的極小正規(guī)子群。記N*=N×N=N1×N2，那么由假設(shè)和引理9 知(DN*)/N*是σ- 置換嵌入于G*/N*，這就表明G*/N*滿足定理的條件，所以由歸納假設(shè)知G*/N*是σ-冪零的，從而知(DN*)/N*和G/N都是σ-冪零的，由此得G有唯一極小正規(guī)子群N，并且Φ(G)=1。顯然，D∩N*≠D，若否，則有D≤N*=N×N，從而得G=N，因為G是非單的，所以由假設(shè)G=N=N1×N2×…×Nk，其 中k＞2，并 且Ni(i=1，2，…，i)為相互同構(gòu)的單群，這與G有唯一極小正規(guī)子群矛盾，因此D∩N*≠D。由引理8（2）知，D(N)=D∩N*是σ-置換嵌入于N*，因此由歸納假設(shè)知N*是σ-冪零群，從而知G*是σ-可解群，即G也是σ-可解的，因而N是σ-準(zhǔn)素的。不失一般性，可以假定N≤H1，又因H1是冪零群，故N是交換p- 群，其中p∈π(G)。

（iii）G的Hallσ'1-子群H'1是一個素數(shù)階群，假定|H'1|=q，其中p≠q∈π(G)。

由（ii） 知，存在G的極大子群M使得G=N?M。因為G/N是σ-冪零的，并且N≤H1，所以，故H1G。又顯然H2，H3，…，Ht≤M，并且M?G/N是σ-冪零的，所以由引理10 知M=H2×H3×…×Ht，其中M1是M的Hallσi-子群。因為每一個Hi都是冪零的，所以M是冪零群。這就推得G為可解群。顯然，H'1=M'1=H2H3…Ht是G的Hallσ'1-子群。設(shè)L是H'1的任一極大子群，那么LH'1，記K=H1L。容易證明，KG。由引理8（2）知D(K)是σ-置換嵌入于K×K，所以由歸納假設(shè)知K是σ-冪零群，從而有LK，進(jìn)而有LG，那么由N的唯一性知N≤L，但這是不可能的，這就表明H'1是一個素數(shù)階群，不妨設(shè)|H'1|=q，其中p≠q∈π(G)。

（iv） 得出最后的矛盾

因為D(H1)是D的Hallσ1-子群，故由引理8（3）知D(H1)是σ-置換嵌入于G×G的，因此在G×G中存在σ-置換子群T使得D(H1)是T的Hallσ1-子群。顯然，G×G=(H1?H'1)×(H1?H'1)，從而G×G=(H1×H1)?(H'1?H'1)，故T=D(H1)?T'1。因為H'1是q階循環(huán)群，所以H'1=T'1?，F(xiàn)任取(t1，t2)∈H'1，那么對任意的h∈H1，有(h，h)(t1，t2)∈D(H1)，故ht1=ht2，這就推得。如果t1≠t2，那么仍是G的Hallσ'1-子群，并且中心化H1，這表明G是σ-冪零群，與假設(shè)矛盾。因此假定t1=t2，那么H'1≤D，從而得T≤D。因為D(H1)≤T≤D，所以T=D(H1)或T=D。如果T=D，那么D是σ-置換于G，所以由命題2 知G是σ-冪零的。若T=D(H1)，那么D(H1) 是σ-置換于G×G，所以D(H1)·(H'1，H'1)是G×G的子群。由引理3 知D(H1)·(H'1，H'1)是G×G的σ-次正規(guī)子群，又顯然D(H1) 是D(H1)·(H'1，H'1) 的Hallσ1-子群，所以D(H1)D(H1)·(H'1×H'1)，故D(H1)·(1，H'1)成群，因此H'1中心化H1，這就推得G是σ-冪零的，與假設(shè)矛盾。定理得證。

3 結(jié)論

文章在假定G是Sylow 型的σ-完全群的條件下，主要給出以下兩個結(jié)論：

（1） 若H≤G，并設(shè)Hi是H的Hallσi-子群，其中σi∈σ(H)，那么D(H)在G×G是σ-置換的當(dāng)且僅當(dāng)Oσi(G)≤CG(Hi)。這一結(jié)論推廣了文獻(xiàn)［10］中D(H)在G×G是s-置換的當(dāng)且僅當(dāng)Oσi(G)≤CG(Hp)的結(jié)論，其中Hp是H的Sylowp-子群。

（2） 設(shè)H={H1，H2，…，Ht}是G的Hallσ-完全集，并且每個Hi是冪零的。若G的主對角子群D在G×G中是σ-置換的（或者是H-置換的，或者是σ-置換嵌入的），則G是σ-冪零群。這一結(jié)論將文獻(xiàn)［10］中定理3.12 的主對角子群D的s-置換（或者是Z-置換，或者是s-置換嵌入）加以推廣，得到了σ-冪零群新的刻畫。

以上通過主對角子群的σ-置換性研究了有限群的結(jié)構(gòu)，這一結(jié)果可以作為應(yīng)用主對角子群的性質(zhì)來研究冪零類對σ-冪零群的影響這一類型問題的參考。