王 棟, 張志鵬, 趙 睿, 張君宇, 喬瑞勇, 孫少錚

(鄭州大學(xué) 機械與動力工程學(xué)院,河南 鄭州 450001)

磨削具有較高的材料去除能力和加工精度,普遍應(yīng)用于難切削材料的軸類零件加工生產(chǎn)中,尤其是在零件的最終加工階段,需要保證較好的表面完整性和精確的公差,磨削工藝是實現(xiàn)這一目的的最優(yōu)加工方法。磨削加工過程中影響加工質(zhì)量的參數(shù)較多,其中磨削力是與磨削參數(shù)和磨削質(zhì)量相關(guān)的重要過程變量,常常被用來對磨削質(zhì)量進行分析和預(yù)測。因此,建立科學(xué)有效的磨削力理論模型,對磨削力的預(yù)測及實際加工生產(chǎn)中的參數(shù)選擇具有十分重要的意義[1]。

近年來業(yè)內(nèi)關(guān)于磨削的研究較多,并且建立起了多種磨削力模型,但針對磨削力理論模型的預(yù)測誤差都普遍偏高,基本都處在10%～15%,對實際工程實踐的參考意義有限。目前求解模型時大多使用分段計算法或列方程組直接計算各個待求系數(shù),不僅計算量大且其精度也無法保證。本文在現(xiàn)有磨削理論模型的基礎(chǔ)上,基于遺傳算法優(yōu)化的非線性優(yōu)化函數(shù)(genetic algorithm-lsqnonlin,GA-LSQ)求解模型待求系數(shù),對磨削力的預(yù)測及實際加工生產(chǎn)中的參數(shù)優(yōu)化提供參考。

1 模型分類及選取

目前國內(nèi)外學(xué)者對于磨削力的模型研究方法眾多,其大致可分為4類：基于力學(xué)模型基礎(chǔ)的解析法[5-6]、基于實驗的經(jīng)驗方法[8-10]、有限元分析法[11]、人工智能預(yù)測模型[12]。本文主要針對前兩種建模方法進行求解。

解析法是通過分析磨削過程中的材料去除機理,剪切應(yīng)變效應(yīng)和磨粒分布、形狀等建立磨削力的解析模型。通過解析法所建立的磨削力模型主要分為外圓、平面、內(nèi)圓、成形磨削等,而目前的磨削力模型研究大多集中于外圓和平面,對內(nèi)圓的研究很少。經(jīng)驗?zāi)Ｐ头ㄖ饕ㄟ^建立加工參數(shù)和磨削力的非線性指數(shù)函數(shù)關(guān)系來預(yù)測磨削力的大小,優(yōu)點在于簡單實用、適用范圍廣。

為論述計算方法的詳細求解過程以文獻[5-6,8]模型作為算法驗證對象,根據(jù)原文獻實驗獲得并劃分的訓(xùn)練集及驗證集數(shù)據(jù)進行求解驗證。3種磨削力模型形式與具體參數(shù)如表1所示。

表1 模型形式參數(shù)表Table 1 Table of model formal parameters

2 外圓橫向磨削力模型求解

本文主要針對外圓橫向磨削力理論模型的求解過程進行說明。為了準(zhǔn)確預(yù)測分析各個磨削參數(shù)對磨削力的影響效果,必須較好地擬合出公式中的各個待求系數(shù),本文基于遺傳算法優(yōu)化非線性優(yōu)化函數(shù)(GA-LSQ)針對上述公式進行非線性回歸分析。

2.1 遺傳算法

遺傳算法(GA)是一種基于生物進化原理構(gòu)想出來的仿生算法,模擬基因重組與進化的自然過程,把待解決問題的參數(shù)變成二進制碼或其他進制即基因,若干基因組成一個染色體(個體)[15]。該算法將隨機產(chǎn)生的一代染色體作為候選解并計算其適應(yīng)度,采用優(yōu)勝劣汰的方法選擇個體進行選擇、交叉、變異等遺傳操作,保留適應(yīng)度高的染色體作為新一代種群,向著更優(yōu)解的方向進化,最終獲得最優(yōu)的一組染色體,從而達到某種預(yù)定的優(yōu)化收斂指標(biāo),具有多參數(shù)、多組合和隨機性強的尋優(yōu)特點。遺傳算法的具體計算步驟如下。

步驟1 對磨削力公式的待求系數(shù)采用實數(shù)編碼的方式進行編碼。由外圓磨削力公式可得待求系數(shù)為12個,故染色體個體編碼長度為12,從而得到種群中初始染色體。

步驟2 遺傳算法適應(yīng)度函數(shù)取若干組數(shù)據(jù)誤差的二范數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)S,其誤差越小,適應(yīng)度函數(shù)值越小[16]。

步驟3 使用輪盤賭算法在當(dāng)前種群中選擇適應(yīng)度較高染色體進行復(fù)制,進一步產(chǎn)生新的種群。

步驟4 根據(jù)適應(yīng)度函數(shù),使用輪盤賭算法在當(dāng)前種群中選擇適應(yīng)度較高染色體作為父代染色體進行選擇、交叉、變異等遺傳操作,在新產(chǎn)生的一代種群中選擇適應(yīng)度高的染色體作為下一代種群,染色體編碼的基因選擇概率px[17]為

(1)

fx=k/Fx。

(2)

式中：Fx為個體x的適應(yīng)度值;N為種群染色體數(shù)量;k為常數(shù)。

步驟5 第k條染色體Akj與第l條染色體Alj之間在j處發(fā)生的交叉操作的方法如下：

(3)

式中：α為[0,1]的隨機數(shù)。

步驟6 第k個染色體中的第l個基因akl的變異過程如下：

(4)

(5)

式中：amax為基因akl中的最大值;amin為基因akl中的最小值;r2為隨機數(shù);g為當(dāng)前時刻的迭代數(shù);Gmax為最大迭代數(shù);r為[0,1]中的隨機數(shù)。

遺傳算法每次迭代就相當(dāng)于完成了選擇、交叉和變異等操作,經(jīng)過迭代,誤差逐漸降低直到滿足優(yōu)化目標(biāo),獲得相應(yīng)個體的最優(yōu)適應(yīng)度,從而得到最優(yōu)系數(shù)組合并作用于非線性優(yōu)化函數(shù)。其算法流程圖如圖1所示。

圖1 遺傳算法流程圖Figure 1 Genetic algorithm flow chart

2.1.1 確定適應(yīng)度函數(shù)

在遺傳算法計算過程中,適應(yīng)度函數(shù)對算法輸出的染色體起著至關(guān)重要的作用。選取外圓橫向模型中10組實驗得到的數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 系數(shù)確定實驗表[6]Table 2 Coefficient determination test sheet[6]

(6)

2.1.2 參數(shù)設(shè)置

本文使用MATLAB R2020a作為仿真實驗工具,遺傳算法迭代次數(shù)設(shè)置為100。為了進一步提高迭代進化效率,根據(jù)磨削力公式進行試算,為參數(shù)設(shè)定上下限,其中k′1,k′2,…,k′6取值為1 000 000～10 000 000,α1,α2,…,α6取值為-20～20。對于具體實現(xiàn)遺傳算法的操作而言,初始種群個數(shù)N、交叉概率Pc、變異概率Pm這些參數(shù)偏大或偏小都會對尋優(yōu)結(jié)果造成影響。為了能夠獲得最好的個體,首先要確定最佳的參數(shù)組合,因此設(shè)計一組3因素5水平的正交參數(shù)表進行遺傳算法各參數(shù)尋優(yōu)。種群個數(shù)5水平分別為80、90、100、110、120;交叉概率5水平分別為0.40、0.45、0.50、0.55、0.60;變異概率5水平分別為0.02、0.04、0.06、0.08、0.10。

由上述正交實驗尋優(yōu)結(jié)果可得,當(dāng)遺傳算法參數(shù)的組合為N=110、Pc=0.55、Pm=0.04時,其對應(yīng)的最優(yōu)適應(yīng)度變化曲線如圖2所示。在迭代次數(shù)達到81后,目標(biāo)的適應(yīng)度值收斂到最優(yōu)結(jié)果。遺傳算法搜尋到10組實驗數(shù)據(jù)最小誤差的二范數(shù)S的結(jié)果為8.05。對應(yīng)該參數(shù)下搜尋到的外圓橫向磨削力模型參數(shù)組合k′1,k′2,…,k′6分別為9 991 050.41、5 741 027.33、1 963 086.61、1 416 058.29、2 759 136.77、5 746 585.79,α1,α2,…,α6分別為0.3、3.46、3.03、0.84、0.70、0.85。

圖2 遺傳算法尋優(yōu)適應(yīng)度曲線Figure 2 Optimizing fitness curve by genetic algorithm

2.1.3 非線性優(yōu)化函數(shù)(lsqnonlin)

圖3 非線性優(yōu)化函數(shù)殘差迭代曲線Figure 3 Nonlinear optimization function residual iteration curve

從圖3可以看出,在迭代達到62之后,非線性優(yōu)化函數(shù)收斂到最優(yōu)結(jié)果28.4。非線性優(yōu)化函數(shù)搜尋到10組實驗數(shù)據(jù)的最小殘差值為8.05。最終得到外圓橫向磨削力模型系數(shù)的最優(yōu)組合k′1,k′2,…,k′6分別為4 105 391.76、7 131 411.89、3 819 675.5、2 593 089.88、1 000 021.34、2 283 679.89,α1,α2,…,α6分別為0.57、0.96、-2、0.39、0.62、0.86。

最終得到的外圓磨削力優(yōu)化模型如式(7)所示。

(7)

3 外圓橫向磨削力模型預(yù)測結(jié)果及分析

為了探究基于遺傳算法的非線性優(yōu)化函數(shù)求出的系數(shù)組合的準(zhǔn)確性,將文獻[6]中15組實驗數(shù)據(jù)代入到外圓磨削力模型中,計算模型預(yù)測值并與實驗得出的實際值進行比較來驗證該方法的擬合效果。曲線擬合效果通?？梢杂脹Q定系數(shù)R2來評價[18]：

(8)

表3為外圓橫向磨削力模型各組預(yù)測數(shù)據(jù)的誤差對比。其驗證數(shù)據(jù)對比見圖4,其中下標(biāo)1、2分別對應(yīng)本文模型與文獻[6]模型,Fn、Ft分別表示法向磨削力和切向磨削力。下文規(guī)則同上。

圖4 3種模型各組驗證數(shù)據(jù)對比圖Figure 4 Comparison of validation data of each group in three models

計算得到外圓橫向磨削法向和切向磨削力公式預(yù)測結(jié)果的決定系數(shù)R2分別為0.994 9和0.995 2,較接近1。通過外圓橫向磨削得到法向磨削力和切向磨削力的平均預(yù)測誤差分別為5.90%和 6.78%,相比于原文中的模型誤差分別降低了32.18%、42.54%,具體如圖4(a)、4(b)所示。

4 平面磨削力模型與外圓縱向磨削力模型預(yù)測結(jié)果及分析

平面模型、外圓縱向磨削力模型優(yōu)化過程本文在此并不詳細敘述。本文方法與文獻[5,8]方法關(guān)于模型的誤差對比如圖4(c)～4(f)所示,得到法向磨削力平均預(yù)測誤差分別為9.13%、3.23%,切向磨削力的平均預(yù)測誤差分別為8.36%、3.69%,相比于文獻[5,8]中的模型,法向力預(yù)測誤差分別降低32.87%、38.48%,切向磨削力預(yù)測誤差分別降低14.69%、31.54%?？梢娺@種計算待求系數(shù)的方法同時適用于平面磨削力模型與外圓縱向磨削力模型,并且能起到一定的優(yōu)化作用。

最終通過基于遺傳算法的非線性優(yōu)化函數(shù)求解平面磨削力模型、外圓縱向磨削力模型如式(9)、(10)所示。

(9)

(10)

表4為3種模型預(yù)測數(shù)據(jù)的誤差對比。可以看出,使用本文所提出的模型優(yōu)化方法絕大部分誤差小于文獻[5,8]模型,決定系數(shù)均高于相關(guān)文獻模型,因此可以認(rèn)為本文所提出的優(yōu)化方法對不同磨削力模型優(yōu)化結(jié)果都較為適用。

表4 3種模型驗證誤差表Table 4 Table of validation errors of three models

5 結(jié)論

(1)將外圓橫向磨削力模型、平面磨削力模型和外圓縱向磨削力模型的磨削實驗結(jié)果與理論推導(dǎo)相結(jié)合并通過GA-LSQ算法經(jīng)過多點搜索對參數(shù)集進行處理,從而得到輸出的最優(yōu)系數(shù)組合。從優(yōu)化的模型中可直接得出各加工參數(shù)與磨削力的關(guān)系,通過控制磨削力從而進一步提高表面質(zhì)量。

(2)本文方法具有普遍適用性,針對平面磨削力模型、外圓橫向磨削力模型、成形磨削力模型、外圓縱向磨削力模型等進行了相應(yīng)的計算驗證,預(yù)測的模型誤差均在10%以下。

(3)在外圓橫向磨削力模型、平面磨削力模型和外圓縱向磨削力模型中,其法向磨削力預(yù)測誤差分別為5.90%、9.13%、3.23%,切向磨削力的預(yù)測誤差分別為6.78%、8.36%、3.69%,磨削力的預(yù)測精度提高了14.69%～42.54%。