孔 健 韓 江 夏 鏈

（①合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽 合肥 230041；②安徽省智能數(shù)控技術(shù)及裝備工程實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230041）

齒輪作為機(jī)械傳動(dòng)重要基礎(chǔ)件，其精度對(duì)機(jī)械傳動(dòng)的性能有著重要的影響。內(nèi)嚙合強(qiáng)力珩齒是硬齒面齒輪一種重要的精加工工藝，由于其加工形成交叉紋理，使齒輪傳動(dòng)噪聲大大降低，尤其能夠?qū)崿F(xiàn)高效展成薄壁內(nèi)齒圈加工，因此該加工工藝對(duì)于實(shí)現(xiàn)像新能源汽車動(dòng)力傳動(dòng)、高速低噪聲齒輪和薄壁內(nèi)齒圈加工等領(lǐng)域具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，應(yīng)用前景廣闊。內(nèi)嚙合強(qiáng)力珩齒的展成運(yùn)動(dòng)關(guān)系通過(guò)電子齒輪箱實(shí)現(xiàn)，電子齒輪箱作為一種特殊的多軸聯(lián)動(dòng)控制技術(shù)，是齒輪展成加工機(jī)床數(shù)控系統(tǒng)中的控制核心，其同步控制精度決定齒輪加工精度，在數(shù)控機(jī)床同步控制等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用[1-6]，其同步誤差決定機(jī)床齒輪展成加工精度[7-11]。國(guó)外內(nèi)嚙合強(qiáng)力珩齒得到較大應(yīng)用，我國(guó)近年來(lái)，尤其在新能源汽車動(dòng)力傳動(dòng)齒輪加工領(lǐng)域也逐步得到廣泛應(yīng)用，但內(nèi)嚙合強(qiáng)力珩齒機(jī)床被國(guó)外壟斷，我國(guó)南京二機(jī)齒輪機(jī)床有限公司與合肥工業(yè)大學(xué)承擔(dān)國(guó)家重大科技專項(xiàng)，研發(fā)出首臺(tái)內(nèi)齒珩輪強(qiáng)力珩齒機(jī)，合肥工業(yè)大學(xué)發(fā)明柔性電子齒輪箱，均填補(bǔ)了國(guó)內(nèi)空白。如何提高內(nèi)嚙合強(qiáng)力珩齒電子齒輪箱同步誤差控制精度具有重要意義。

本文根據(jù)強(qiáng)力珩齒加工電子齒輪箱運(yùn)動(dòng)控制模型，從刀具與工件的相對(duì)位置關(guān)系出發(fā)，分析了強(qiáng)力珩齒加工展成誤差的計(jì)算公式，建立了強(qiáng)力珩齒加工同步誤差估算模型，在Simulink 中建立基于電子齒輪箱的同步誤差補(bǔ)償模型，通過(guò)仿真驗(yàn)證其補(bǔ)償效果。仿真結(jié)果表明，基于電子齒輪箱的同步誤差補(bǔ)償方法可以有效降低強(qiáng)力珩齒加工的展成誤差，提高電子齒輪箱展成加工控制精度。最后，將設(shè)計(jì)的同步誤差補(bǔ)償模型應(yīng)用至基于dSPACE 半實(shí)物多軸運(yùn)動(dòng)在環(huán)仿真平臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：基于電子齒輪箱的同步誤差補(bǔ)償方法可以有效降低內(nèi)嚙合強(qiáng)力珩齒的同步誤差，提高加工精度。

1 電子齒輪箱結(jié)構(gòu)

1.1 內(nèi)嚙合強(qiáng)力珩齒機(jī)床運(yùn)動(dòng)控制模型

以南京二機(jī)齒輪機(jī)床有限公司與合肥工業(yè)大學(xué)CIMS 研究所共同研發(fā)的Y4830CNC 型內(nèi)齒珩輪強(qiáng)力珩齒機(jī)為例，機(jī)床的結(jié)構(gòu)如圖1 所示。共7 個(gè)數(shù)控軸，分別為：珩磨輪回轉(zhuǎn)軸C1、珩磨輪軸向進(jìn)給軸Z1、工件齒輪回轉(zhuǎn)軸C2、珩磨輪徑向進(jìn)給軸X、珩磨頭基座擺動(dòng)軸B、珩磨頭回轉(zhuǎn)軸A以及工作臺(tái)快速進(jìn)給軸Z2。

圖1 內(nèi)嚙合強(qiáng)力珩齒機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 所示為內(nèi)嚙合強(qiáng)力珩齒運(yùn)動(dòng)軸關(guān)系。在珩齒過(guò)程中，通過(guò)電子齒輪箱控制，實(shí)現(xiàn)珩磨輪回轉(zhuǎn)軸C1、工件齒輪回轉(zhuǎn)軸C2、珩磨輪軸向進(jìn)給軸Z1嚴(yán)格同步的展成及差動(dòng)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，其電子齒輪箱數(shù)學(xué)模型如下：

圖2 內(nèi)齒珩輪強(qiáng)力珩齒運(yùn)動(dòng)軸關(guān)系圖

式中：nC2和nC1分別代表工件齒輪和珩磨輪的轉(zhuǎn)速；vZ1代表珩磨輪沿工件軸向進(jìn)給速度；NC1和NC2分別代表珩磨輪和工件齒輪的齒數(shù)；mn是法面模數(shù)；βw是工件齒輪螺旋角。

1.2 內(nèi)嚙合強(qiáng)力珩齒電子齒輪箱結(jié)構(gòu)模型

由式（1），電子齒輪箱采用主從式控制結(jié)構(gòu)，工件軸C2 作為從運(yùn)動(dòng)軸，刀具主軸C1 和軸向進(jìn)給軸Z1 作為主運(yùn)動(dòng)軸，X軸和B軸可以調(diào)節(jié)珩磨輪在徑向的珩磨余量實(shí)現(xiàn)齒向修形。C1 軸由直驅(qū)電機(jī)驅(qū)動(dòng)，沒有中間傳動(dòng)裝置，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)連續(xù)平穩(wěn)，且珩磨輪回轉(zhuǎn)軸C1 的轉(zhuǎn)速在珩削過(guò)程中基本保持不變，因此C2 軸相較C1 軸存在一個(gè)周期的信號(hào)滯后誤差，對(duì)工件軸回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的影響可以忽略不計(jì)。電子齒輪箱控制結(jié)構(gòu)如圖3 所示。

圖3 珩齒電子齒輪箱結(jié)構(gòu)模型

2 電子齒輪箱同步誤差分析

2.1 電子齒輪箱展成誤差模型

對(duì)于圖3 所示的電子齒輪箱結(jié)構(gòu)，將C2 軸的跟蹤誤差eC2與Z1 軸的跟蹤誤差eZ1，X軸的跟蹤誤差eX和B軸跟蹤誤差eB的相對(duì)差值定義為同步誤差ε=kC2eC2-（kZ1eZ1+kXeX+kBeB）。當(dāng)ε為0 時(shí)，C2 軸相對(duì)于Z1 軸、X軸和B軸的同步誤差為零，工件軸跟隨刀具軸和進(jìn)給軸做零誤差跟隨運(yùn)動(dòng)；當(dāng)ε不為0 時(shí)，C2 軸相對(duì)于Z1 軸、X軸和B軸存在同步誤差。由于ε的存在，引起了齒距偏差、齒廓偏差以及螺旋線偏差的產(chǎn)生。

齒距偏差fpt、齒廓偏差fα以及螺旋線偏差fβ與機(jī)床各運(yùn)動(dòng)軸的跟蹤誤差存在著特定的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)刀具與工件的相對(duì)位置關(guān)系，參考相關(guān)文獻(xiàn)[12-13]，可以得到：

式中：α表示工件齒輪齒面壓力角；aB表示珩磨頭基座擺動(dòng)軸B的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑；bw表示工件齒輪的齒寬；Z1w表示工件齒輪的齒數(shù)；βw表示工件齒輪螺旋角。

2.2 多軸系統(tǒng)同步誤差模型

在電子齒輪箱控制系統(tǒng)中，同步誤差是影響多軸聯(lián)動(dòng)精度的關(guān)鍵，因此設(shè)計(jì)合適的同步誤差補(bǔ)償器可以有效提高數(shù)控系統(tǒng)的控制精度，提升各數(shù)控軸之間的協(xié)同響應(yīng)性。各數(shù)控軸的跟蹤誤差可以在數(shù)控插補(bǔ)周期內(nèi)獲取，將同步誤差表示成各軸跟蹤誤差乘以特定比例因子的組合，再按特定比例因子將補(bǔ)償信號(hào)進(jìn)行分配。若要同時(shí)對(duì)C2、Z1、X、B這4 個(gè)軸進(jìn)行誤差補(bǔ)償，會(huì)引入4 個(gè)誤差補(bǔ)償增益參數(shù)。由于4 個(gè)參數(shù)的匹配調(diào)節(jié)難度較大，很難達(dá)到最好的補(bǔ)償效果，因此本文采取單軸補(bǔ)償。在內(nèi)嚙合強(qiáng)力珩齒加工過(guò)程中，展成加工精度主要由C2 軸的跟蹤精度決定，由式（2）～式（4）可知，C2 軸的跟蹤誤差在齒距偏差、齒廓偏差、螺旋線偏差中所占權(quán)重較大，故選擇C2 軸作為補(bǔ)償軸可以達(dá)到較好的補(bǔ)償效果。且工件齒輪回轉(zhuǎn)軸C2 的位置輸入信號(hào)由主運(yùn)動(dòng)軸的位置反饋信號(hào)和插補(bǔ)信息合成，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可控，因此選擇C2軸補(bǔ)償控制，開展同步誤差補(bǔ)償控制。

圖4 所示為內(nèi)嚙合強(qiáng)力珩齒同步誤差補(bǔ)償控制模型，該模型要求C2 軸根據(jù)C1 軸和Z1 軸的指令做跟隨運(yùn)動(dòng)，C2 軸的位置輸入信號(hào)由C1 軸的位置反饋信號(hào)和Z1 軸的插補(bǔ)信號(hào)合成。

圖4 內(nèi)嚙合強(qiáng)力珩齒同步誤差補(bǔ)償控制模型

該模型的同步誤差為

式中：eC2、eZ1、eX、eB分別為工件軸C2、軸向進(jìn)給軸Z1、珩磨輪徑向進(jìn)給軸X、珩磨頭基座擺動(dòng)軸B的跟蹤誤差。要使得C2 軸的跟蹤誤差相對(duì)于Z1 軸、X軸和B軸的跟蹤誤差穩(wěn)定收斂，就要滿足：

要消除電子齒輪箱的同步誤差，就要使C2 軸、Z1 軸、X軸和B軸的跟蹤誤差保持以下特定關(guān)系：

根據(jù)式（7）和式（8），設(shè)計(jì)合適的同步誤差補(bǔ)償器，使各軸的跟蹤誤差趨于相對(duì)穩(wěn)定，以達(dá)到消除同步誤差的目的。

2.3 同步誤差補(bǔ)償器設(shè)計(jì)

根據(jù)同步誤差補(bǔ)償控制原理，設(shè)計(jì)內(nèi)嚙合強(qiáng)力珩齒同步誤差補(bǔ)償控制結(jié)構(gòu)，如圖5 所示。該控制補(bǔ)償器將各軸的跟蹤誤差按一定比例合成，并將合成后的誤差補(bǔ)償信號(hào)反饋至工件軸C2，以消除工件軸相對(duì)于刀具主軸以及軸向進(jìn)給軸的同步誤差。

圖5 同步誤差補(bǔ)償器控制結(jié)構(gòu)

對(duì)于圖5 所示的同步補(bǔ)償器，其同步誤差為

同步耦合比例系數(shù)根據(jù)齒距偏差、齒廓偏差和螺旋線偏差的推導(dǎo)式（2）～式（4）可以確定為

根據(jù)單軸補(bǔ)償策略，C2 軸的誤差補(bǔ)償信號(hào)為

3 同步誤差補(bǔ)償仿真

3.1 同步誤差補(bǔ)償器仿真模型

針對(duì)圖5 所示的同步誤差補(bǔ)償器控制結(jié)構(gòu)，在Simulink 中建立珩齒五軸聯(lián)動(dòng)同步誤差補(bǔ)償仿真模型，如圖6 所示。位置環(huán)采用比例控制，速度環(huán)采用比例積分控制，同時(shí)加入了摩擦前饋補(bǔ)償，摩擦前饋補(bǔ)償采用“靜摩擦+庫(kù)倫摩擦”模型。仿真過(guò)程中采用的工件齒輪參數(shù)與珩磨輪參數(shù)見表1。

表1 仿真采用的工件齒輪與珩磨輪參數(shù)

圖6 同步誤差補(bǔ)償仿真模型

3.2 同步誤差補(bǔ)償器性能仿真

為驗(yàn)證所提出的同步誤差補(bǔ)償器應(yīng)用于內(nèi)嚙合珩齒電子齒輪箱的補(bǔ)償性能，將采用同步誤差補(bǔ)償器補(bǔ)償前后的電子齒輪箱的控制性能進(jìn)行對(duì)照。工件軸C2 跟隨刀具主軸C1 和進(jìn)給軸Z1 的同步誤差，最終會(huì)反映在工件軸C2 的單軸跟蹤誤差和珩齒展成加工的控制誤差上。補(bǔ)償前后的單軸跟蹤誤差和三項(xiàng)偏差如圖7 所示。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)見表2。

表2 仿真結(jié)果統(tǒng)計(jì)與分析

圖7 仿真結(jié)果比較

從圖7 可以看出，采用同步誤差補(bǔ)償控制后，將C2、Z1、X、B四軸的跟蹤誤差補(bǔ)償至C2 軸，珩齒電子齒輪箱的工件軸單軸跟蹤誤差大幅降低，從而引起齒距偏差、齒廓偏差、螺旋線偏差也產(chǎn)生了不同程度的降低。從式（2）～式（4）可以看出，齒距偏差、齒廓偏差、螺旋線偏差都可以看作是數(shù)控系統(tǒng)各運(yùn)動(dòng)軸跟蹤誤差的線性組合，齒距偏差中工件軸C2 跟蹤誤差前的權(quán)重系數(shù)較大，因此當(dāng)工件軸C2 跟蹤誤差大幅降低時(shí)，齒距偏差降幅最大。由表2 可知：同步誤差補(bǔ)償后C2 軸跟蹤誤差的平均值降低了92.7%，齒距偏差平均值降低了92.1%，齒廓偏差平均值降低了28.6%，螺旋線偏差平均值降低了29.4%。由此可知，本文所提出的同步誤差補(bǔ)償器可以有效降低珩齒電子齒輪箱的單軸跟蹤誤差和綜合控制誤差，提高了電子齒輪箱的控制精度。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文提出的同步誤差補(bǔ)償器，在圖8 所示的運(yùn)動(dòng)控制平臺(tái)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。考慮到實(shí)際加工條件下，珩磨輪徑向進(jìn)給軸X在加工過(guò)程中只負(fù)責(zé)去除工件表面的加工余量，且進(jìn)給距離短，而珩磨頭基座擺動(dòng)軸B的跟蹤誤差較小，可以忽略不計(jì)，故本文針對(duì)內(nèi)嚙合強(qiáng)力珩齒設(shè)計(jì)三軸聯(lián)動(dòng)運(yùn)動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)，3 個(gè)松下A6 型號(hào)電機(jī)以空載形式模擬珩齒加工過(guò)程中C1、C2 和Z1 軸的運(yùn)動(dòng)，dSPACE 實(shí)時(shí)仿真硬件與上位機(jī)相連，I/O 接口與伺服驅(qū)動(dòng)器連接；珩齒電子齒輪箱同步補(bǔ)償算法在Matlab/Simulink 中實(shí)現(xiàn)。增量式編碼器會(huì)在每個(gè)數(shù)控周期內(nèi)采集電機(jī)的位置信息反饋至dSPACE，再由dSPACE 反饋至Matlab/Simulink，最終計(jì)算出珩齒電子齒輪箱的控制誤差。

圖8 實(shí)驗(yàn)控制平臺(tái)

表1 為實(shí)驗(yàn)采用的工件齒輪與珩磨輪參數(shù)，參考Y4830CNC 型內(nèi)齒珩輪強(qiáng)力珩齒機(jī)。實(shí)驗(yàn)所用珩磨輪及工件齒輪壓力角均為國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)壓力角20 °，螺旋角均為25 °，適用于中速、中扭矩傳動(dòng)。工件齒寬及工件直徑均符合Y4830CNC 實(shí)際加工需求。根據(jù)工件齒輪與珩磨輪參數(shù)可以計(jì)算出電子齒輪箱的同步耦合比例系數(shù)，電子齒輪箱的同步誤差根據(jù)增量式編碼器反饋的位置信息可以在每個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)實(shí)時(shí)計(jì)算出。C2 軸的誤差補(bǔ)償信號(hào)通過(guò)負(fù)反饋添加到運(yùn)動(dòng)軸。對(duì)比采用同步誤差補(bǔ)償前后的單軸跟蹤誤差和珩齒加工運(yùn)動(dòng)控制誤差的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖9 所示，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)見表3。

表3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)與分析

圖9 實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

從圖9 可以看出，采用同步誤差補(bǔ)償方式后，C2 軸的跟蹤誤差明顯降低，珩齒電子齒輪箱的控制誤差也有所降低，從表3 可以看出C2 軸跟蹤誤差平均值降低了39.1%，齒距偏差平均值降低了35.4%，齒廓偏差平均值降低了36.9%，螺旋線偏差平均值降低了32.7%。比較表2 和表3 可以看出，實(shí)驗(yàn)得到的各項(xiàng)偏差值整體偏大，原因在于仿真是在理想的加工條件下進(jìn)行的，無(wú)任何外界環(huán)境影響，也不存在工藝系統(tǒng)的內(nèi)部誤差；而在實(shí)際平臺(tái)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，各控制元件本身的制造誤差，伺服電機(jī)使用后的磨損誤差都會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生干擾，從而導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)得到的誤差值偏大。實(shí)驗(yàn)所用平臺(tái)為硬件在環(huán)，相較仿真模型多了真正的伺服電機(jī)在控制回路中，反饋的速度和位置信息均為電機(jī)實(shí)際產(chǎn)生的，伺服電機(jī)在加速和減速時(shí)由于自身慣性以及機(jī)械振動(dòng)的影響，電機(jī)輸出的位置相較指令位置會(huì)有一定的偏差值，從而導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)的跟蹤誤差補(bǔ)償效果與仿真結(jié)果相比會(huì)有所降低。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，采用同步誤差補(bǔ)償方式后，珩齒電子齒輪箱的控制精度得到了明顯提升。

5 結(jié)語(yǔ)

（1）本文研究了強(qiáng)力珩齒電子齒輪箱控制模型，結(jié)合強(qiáng)力珩齒加工運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，推導(dǎo)了珩齒展成加工同步誤差模型，提出了同步誤差補(bǔ)償控制策略。

（2）基于內(nèi)嚙合強(qiáng)力珩齒電子齒輪箱模型，設(shè)計(jì)了同步誤差補(bǔ)償控制器，仿真結(jié)果表明，通過(guò)單軸補(bǔ)償降低工件軸C2 的跟蹤誤差，可以降低內(nèi)嚙合強(qiáng)力珩齒電子齒輪箱同步誤差。

（3）在dSPACE 半實(shí)物仿真平臺(tái)上進(jìn)行珩齒加工運(yùn)動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：所提出的同步誤差補(bǔ)償器能有效地降低同步誤差，提高展成加工精度。