摘 要：偏好關(guān)系在處理群決策問題時(shí)，能夠充分發(fā)揮決策者的主觀能動(dòng)性，將不確定信息量化為數(shù)字等級(jí)或者語(yǔ)言等級(jí)，從而降低了主觀臆斷造成的決策誤差?？紤]猶豫偏好關(guān)系更能全面地表征決策者的偏好信息，本文研究了基于自信度的異構(gòu)猶豫模糊偏好關(guān)系，并應(yīng)用于群決策問題中。首先，分別定義了三種猶豫偏好關(guān)系的一致性，并建立三個(gè)優(yōu)化模型以獲得備選方案的權(quán)重向量。其次，構(gòu)建群共識(shí)達(dá)成過程，并通過反饋機(jī)制為決策者提供調(diào)整方向，通過逐步調(diào)整偏好關(guān)系，達(dá)到滿意的決策結(jié)果和群共識(shí)水平，建立群決策模型。最后，通過具體實(shí)例和對(duì)比分析驗(yàn)證了文中所建立的模型在復(fù)雜決策環(huán)境中的有效性和可行性。

關(guān)鍵詞：異構(gòu)猶豫偏好關(guān)系;自信水平;一致性;共識(shí)水平;群體決策

DOI：10.15938/j.jhust.2024.05.017

中圖分類號(hào)： O159

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2024）05-0149-10

Heterogeneous Hesitant Fuzzy Preference Relation and Its Application in Group Decision-making

FENG Xue^{1，2，3}， GENG Shengling^2，3

（1.College of Mathematics and Statics， Qinghai Minzu University， Xining 810007， China;

2.College of Computer Science and Technology， Qinghai Normal University， Xining 810016， China;

3.The State Key Laboratory of Tibetan Intelligent Information Processing and Application， Xining 810008， China）

Abstract：When dealing with group decision making problems， preference relations can give full play to the subjective initiative of decision makers and quantify uncertain information into numerical or linguistic levels， thus reducing the decision-making error caused by subjective assumptions. Considering that the hesitant preference relationship can more comprehensively represent the preference information of decision makers， we study the heterogeneous hesitant fuzzy preference relationship of confidence and apply it to group decision-making problems. Firstly， the consistency of three hesitant preference relationships is defined， and three optimization models are established to obtain the weight vector of alternatives. Secondly， the process of building group consensus is established， and feedback mechanisms are used to provide decision-makers with adjustment directions. By gradually adjusting preference relationships， satisfactory decision results and group consensus levels are achieved， and a group decision-making model is established. Finally， the effectiveness and feasibility of the model established in the article in complex decision-making environments were verified through specific examples and comparative analysis.

Keywords：heterogeneous hesitant preference relations; self-confidence levels; consistency ; consensus reaching process; group decision-making

0 引 言

決策是現(xiàn)代管理科學(xué)研究的重要問題^［1-2］。 隨著決策環(huán)境越來(lái)越復(fù)雜， 決策涉及更廣泛的信息和更多的影響因素， 僅憑一人很難能實(shí)現(xiàn)科學(xué)決策。 因此， 群決策研究引起了廣泛的關(guān)注。 群決策有利于匯集不同領(lǐng)域?qū)＜业募w智慧， 來(lái)提高決策結(jié)果的全面性和科學(xué)性^［3］。

在群決策過程中，用偏好關(guān)系^［4］表達(dá)決策者對(duì)備選方案的偏好非常有用。 目前， 已經(jīng)提出了多種利用偏好關(guān)系解決群決策問題的方法^［5-9］。 隨著決策過程中不確定信息的增加， 相繼提出模糊偏好關(guān)系^［10］、區(qū)間模糊偏好關(guān)系^［11］以及直覺模糊偏好關(guān)系^［12］等。 2010年， Torra^［13］ 提出了猶豫模糊集的概念， 決策者可以利用猶豫模糊數(shù)來(lái)來(lái)表達(dá)評(píng)估中有可能的幾個(gè)值，從而解決了決策過程中存在猶豫的情況。 在此基礎(chǔ)上， Rodriguez等^［14］ 提出了猶豫模糊術(shù)語(yǔ)集， 豐富了語(yǔ)言表達(dá)。 隨后， Xia等^［15］提出猶豫模糊偏好關(guān)系和猶豫乘法偏好關(guān)系; Zhu等^［16］提出了猶豫模糊語(yǔ)言偏好關(guān)系， 猶豫模糊環(huán)境下的決策問題得到了充分研究。 眾所周知， 群決策問題中最重要的兩個(gè)研究是偏好關(guān)系的一致性和群共識(shí)水平。 缺乏一致性將導(dǎo)致決策結(jié)果的不合理， 而共識(shí)水平越高， 群決策結(jié)果越有說服力^［17-20］。 在以上研究中， 只允許決策者使用一種形式的偏好關(guān)系， 且未考慮專家所給偏好信息的自信水平。 然而， 在實(shí)際的群決策問題中， 由于決策者具有不同的教育背景、專業(yè)知識(shí)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)， 不同的決策者使用自己擅長(zhǎng)的偏好結(jié)構(gòu)來(lái)表示偏好信息， 所得到的決策結(jié)果更準(zhǔn)確合理^［21］。 Liu等^［22-23］研究了異構(gòu)背景下的自信偏好關(guān)系， 提出了基于自信的乘法、加法和語(yǔ)言偏好關(guān)系， 并應(yīng)用于群決策研究中。 2022年， Song等^［24］提出了一種針對(duì)異質(zhì)猶豫偏好關(guān)系群決策中交互式共識(shí)達(dá)成模型。 顯然， 異質(zhì)猶豫偏好關(guān)系為處理不確定偏好信息、提高決策質(zhì)量提供了有效的工具。 然而， 現(xiàn)有的研究方法并未考慮偏好信息的自信水平， 同時(shí)應(yīng)用范圍有一定的局限性。

本文基于自信水平， 定義了自信異質(zhì)猶豫偏好關(guān)系， 建立了三個(gè)優(yōu)化模型， 調(diào)整偏好關(guān)系的一致性，并得到備選方案的權(quán)重向量。 同時(shí)， 考慮群共識(shí)水平， 建立了一個(gè)群決策模型。 基于備選方案的權(quán)重向量和個(gè)決策者的一致性水平， 構(gòu)建群共識(shí)達(dá)成過程， 并通過反饋機(jī)制為決策者提供調(diào)整方向， 通過逐步調(diào)整偏好關(guān)系， 達(dá)到滿意的決策結(jié)果和群共識(shí)水平。 最后，利用該模型解決了三江源自然保護(hù)區(qū)保護(hù)治理方案的選擇問題， 進(jìn)一步驗(yàn)證了文中所建模型在復(fù)雜決策環(huán)境中的適用性。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 2-元組語(yǔ)言表達(dá)式模型

設(shè)S={S1，S2，…，Sg}是一個(gè)具有奇數(shù)粒度的語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集，g+1是語(yǔ)言集S的粒度。2000年，Herrera和Martinez^［25］提出了2-元組的語(yǔ)言表達(dá)模型（si，αi）。

定義1^［25］ 設(shè)β∈［0，g］是語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集S={S1，S2，…，Sg}上的符號(hào)聚合運(yùn)算的結(jié)果。 那么， 在2-元組中與β的等效信息可通過以下函數(shù)獲得：

Δ∶［0，g］→S×［－0.5，0.5）

Δ（β）=（si，α），（1）

其中i=round（β），α=β－i，此處round（·）為四舍五入算子。

定義2^［25］ 設(shè)S={S1，S2，…，Sg}是語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集，（si，αi）是2-元組， 那么存在函數(shù)Δ^-1函定義如下：

Δ^-1∶S×［－0.5，0.5）→［0，g］

Δ^-1（si，α）=i+α（2）

此外， 根據(jù)定義1和定義2，S中的元素可以通過添加0作為符號(hào)轉(zhuǎn)變， 將其轉(zhuǎn)變?yōu)?-元語(yǔ)言表示， 即Δ（Si）=（Si，0）。

2-元語(yǔ)言集的排序和否算子定義如下：

1）設(shè)（sk，α）和（sl，γ）是兩個(gè)2-元組則

（?。┤鬹lt;l，那么（sk，α）小于（sl，γ）;

（ⅱ）若k=l則

（a）若α=γ，（sk，α）和（sl，γ）代表相同的信息;

（b）若αlt;γ，那么（sk，α）小于（sl，γ）。

2）2-元組否算子

Neg（si，α）=Δ（g－Δ^－1（si，α））（3）

在實(shí)際問題中，常常出現(xiàn)S（h1）=S（h2）的情況， 通過得分函數(shù)無(wú)法判斷出h1和h2的優(yōu)劣， 為了進(jìn)一步區(qū)分，Chen等^［13］給出了偏差度的概念。

定義3^［17］ 給定猶豫模糊元h（x），稱

σ-（h（x））=1l（hA（x））∑r∈hA（x）（ri－rj）2¹²

為h（x）的偏差度。

對(duì)于兩個(gè)猶豫模糊元的大小比較，Liao等^［14］給出如下法則：

1）如果S（h1）gt;S（h2），則h1gt;h2;

2）如果S（h1）=S（h2）， 則當(dāng)σ-（h1）gt;σ-（h2）時(shí)，有h1lt;h2;當(dāng)σ-（h1）=σ-（h2）， 有h1～h2。

1.2 猶豫模糊偏好關(guān)系

定義4^［15］ 設(shè)X={X1，X2，…，Xn}為備選項(xiàng)集， 則H=（h^ij）^n×n為猶豫模糊偏好關(guān)系（HFPRs）， 其中h^ij={r^σ（l）ij|l=1，2，…，#h^ij}是猶豫模糊元（#h^ij表示h^ij中元素的數(shù)量）;r^σ（l）ij表示h^ij中的第l個(gè)元素; h^ij表示備選項(xiàng)Xi對(duì)Xj的可能偏好程度， 且滿足：

r^σ（l）ijlt;r^{σ（l+1）ij}，l=1，2，…，#h^ij－1

r^σ（l）ij+r^σ（hij－l+1）^ji=1，l=1，2，…，#h^ij

#h^ij=#h^ji

rⁱⁱ=0.5（4）

定義5^［15］ 設(shè)X={X1，X2，…，Xn}是備選項(xiàng)集， 則H=（h^ij）^n×n為猶豫乘性偏好關(guān)系（HMPRs），其中h^ij={r^σ（l）ij|l=1，2，…，#h^ij}是猶豫模糊元（#h^ij表示h^ij中元素的數(shù)量）; r^σ（l）ij表示h^ij中的第l個(gè)元素; h^ij表示備選項(xiàng)Xi對(duì)Xj的可能偏好程度， 且滿足：

r^σ（l）ij=19，9，l=1，2，…，#h^ij－1

r^σ（l）ij·r^σ（hij－l+1）^ji=1，l=1，2，…，#h^ij

#h^ij=#h^ji

rⁱⁱ=1（5）

1.3 自信水平

為了讓決策者能夠用語(yǔ)言方式描述自信水平， 我們使用語(yǔ)言自信術(shù)語(yǔ)集S^SL={l0，l1，…，lg}， 例如：

S^SL={l0=極度差，l1=非常差，l2=差，l3=略差，l4=中度，l5=稍好，l6=好，l7=非常好，l8=極度好}

決策者可使用簡(jiǎn)單的術(shù)語(yǔ)li∈S^SL來(lái)描述自信水平偏好值。

定義6^［26］ 設(shè)X={X1，X2，…，Xn}是備選項(xiàng)集，則X上基于自信的乘法偏好關(guān)系定義為A*=（（a^ij，S^ij））^n×n， 其元素有兩個(gè)分量， 第1個(gè)元素a^ij∈19，9表示備選項(xiàng)Xi對(duì)Xj的偏好程度， 第2個(gè)元素表示S^ij∈S^SL與第1個(gè)分量相關(guān)的自信水平， 且滿足以下條件：

a^ija^ji=1，aⁱⁱ=1，S^ij=S^ji，Sⁱⁱ=lg（6）

2 基于自信的偏好關(guān)系及其一致性

定義7 設(shè)有限備選項(xiàng)集X上基于自信的猶豫模糊偏好關(guān)系H*=（（h^ij，S^ij））^n×n，其中（h^ij，S^ij）={（h^（s）ij，S^（s）ij）|s=1，2，…，#h^ij}是自信猶豫模糊元^（#hij表示（h^ij，S^ij）中元素的數(shù)量）;（s）表示（h^ij，S^ij）中的第s個(gè)元素， 它有兩個(gè)分量， 第1個(gè)元素h^ij表示備選項(xiàng)Xi對(duì)Xj的可能偏好程度， 第2個(gè)元素S^ij∈S^SL表示與第一個(gè)分量相關(guān)的自信水平， 且滿足：

h^（s）ij+h^（#hij－s+1）^ji=1，s=1，2，…，#h^ij－1

h^ij∈［0，1］，hⁱⁱ=0.5，i，j=1，2，…，n

S^ij=S^ji，Sⁱⁱ=lg

#h^ij=#h^ji（7）

定義8 設(shè)有限備選項(xiàng)集X上基于自信的猶豫乘法偏好關(guān)系P*=（（p^ij，S^ij））^n×n，其中（p^ij，S^ij）={（p^（s）ij，S^（s）ij）|s=1，2，…，#p^ij}是自信猶豫模糊元^（#pij表示（p^ij，S^ij）中元素的數(shù)量）;（s）表示（p^ij，S^ij）中的第s個(gè)元素， 它有兩個(gè)分量， 第1個(gè)元素p^ij表示備選項(xiàng)Xi對(duì)Xj的可能偏好程度， 第2個(gè)元素S^ij∈S^SL表示與第一個(gè)分量相關(guān)的自信水平， 且滿足：

p^（s）ij·p^（#pij－s+1）^ji=1，s=1，2，…，#p^ij－1

p^ij∈19，9，pⁱⁱ=1，i，j=1，2，…，n

S^ij=S^ji，Sⁱⁱ=lg

#p^ij=#p^ji（8）

定義9 設(shè)有限備選項(xiàng)集X上基于自信的猶豫模糊語(yǔ)言偏好關(guān)系R*=（（r^ij，S^ij））^n×n， 其中（r^ij，S^ij）={（r^（s）ij，S^（s）ij）|s=1，2，…，#r^ij}是自信猶豫模糊元（#r^ij表示（r^ij，S^ij）中元素的數(shù)量），它有兩個(gè)分量， 第1個(gè)元素r^ij表示備選項(xiàng)Xi對(duì)Xj的可能偏好程度， 第2個(gè)元素S^ij∈S^SL表示與第1個(gè)分量相關(guān)的自信水平， 且滿足：

Δ^－1（Δ（r^（s）ij）+Δ（r^（s）ji））=g，s=1，2，…，#r^ij－1

r^（s）ijlt;r^（s+1）ij，S^（s+1）jilt;S^（s）ji，i，j=1，2，…，n

S^ij=S^ji，Sⁱⁱ=lg

#r^ij=#r^ji（9）

其中：（s）表示（r^ij，S^ij）中的第s個(gè)元素; r^（s）ij∈S^SL={l0，l1，…，lg}。

下面， 我們討論上述三種偏好關(guān)系的一致性。

定義10 設(shè)H*=（（h^ij，S^ij））^n×n是具有自信水平的猶豫模糊偏好關(guān)系，

則在自信水平S^ij∈S^SL上，若

0.5（ωi－ωj）+0.5=h^（1）ij或h^（2）ij或…或h^（#hij）^ij（10）

則H*是加性一致的基于自信的猶豫模糊偏好關(guān)系， 其中ω=（ω1，ω2，…，ωn）T表示H*的優(yōu)先權(quán)重向量， ∑ni=1ωi=1，ωi≥0，i，j=1，2，…，n。

定義11 設(shè)P*=（（p^ij，S^ij））^n×n是具有自信水平的猶豫乘法偏好關(guān)系， 則在自信水平S^ij∈S^SL上，若ωiωj=p^（1）ij或p^（2）ij或…或p^（#pij）^ij（11）

則P*是乘性一致的基于自信的猶豫乘法偏好關(guān)系，其中ω=（ω1，ω2，…，ωn）T表示P*的優(yōu)先權(quán)重向量，∑ni=1ωi=1，ωi≥0，i，j=1，2，…，n。

定義12 設(shè)R*=（（r^ij，S^ij））^n×n是具有自信水平的猶豫模糊語(yǔ)言偏好關(guān)系， 則在自信水平S^ij∈S^SL上，若

gn2（ωi－ωj）+g2=Δ^－1（r^（1）ij）或…或^Δ－1（r^（#rij）^ij）（12）

則R*是加性一致的基于自信的猶豫模糊語(yǔ)言偏好關(guān)系， 其中ω=（ω1，ω2，…，ωn）T表示R*的優(yōu)先權(quán)重向量，∑ni=1ωi=1，ωi≥0，i，j=1，2，…，n。

3 異構(gòu)猶豫模糊偏好關(guān)系群決策問題

設(shè)X={X1，X2，…，Xn}是n個(gè)備選方案的有限集， E={e1，e2，…，em}是由m個(gè)專家構(gòu)成的有限決策者集合。 由于每個(gè)決策者都有自己的想法、態(tài)度、動(dòng)機(jī)和個(gè)性， 所以很自然地， 不同的決策者會(huì)以不同形式的偏好關(guān)系表達(dá)他們對(duì)備選方案的偏好， 因此， 決策者可以使用猶豫模糊偏好關(guān)系、猶豫乘法偏好關(guān)系和猶豫模糊語(yǔ)言偏好關(guān)系來(lái)表達(dá)他們對(duì)備選項(xiàng)的偏好信息。

不失一般性，設(shè)E^H*={e1，e2，…，e^m1}，E^P*={e^m1+1，e^m1+2，…，e^m2}，E^R*={e^m2+1，e^m2+2，…，em}是決策者集E={e1，e2，…，em}的3個(gè)子集， 分別表示決策者的偏好信息表示為基于自信水平的猶豫模糊偏好關(guān)系， 基于自信水平的猶豫乘法偏好關(guān)系， 基于自信水平的猶豫模糊語(yǔ)言偏好關(guān)系。 此外，ωc=（ωc1，ωc2，…，ωcn）T表示備選項(xiàng)X={X1，X2，…，Xn}的優(yōu)先權(quán)重向量。 群決策問題研究將經(jīng)歷兩個(gè)階段： 選擇階段和共識(shí)達(dá)成過程。

3.1 選擇階段

在此階段中， 我們首先通過建立3個(gè)模型， 得到個(gè)體優(yōu)先權(quán)重向量， 再通過IOWA算子得到群優(yōu)先權(quán)重向量。

3.1.1 獲得個(gè)體優(yōu)先權(quán)重向量

根據(jù)異構(gòu)猶豫偏好關(guān)系的一致性， 建立了3個(gè)偏差最小的優(yōu)化模型， 得到在異構(gòu)猶豫偏好關(guān)系條件下的個(gè)體優(yōu)先權(quán)重向量。 下面， 我們將討論以下3個(gè)情況。

1）ek∈E^H*（k=1，2，...，m1）

對(duì)于基于自信的猶豫模糊偏好關(guān)系H*=（（h^ij，S^ij））^n×n，設(shè)δ（h^（s）ij）=h^（1）ij或h^（2）ij或…或h^（#hij）^ij， 則式（10）可以寫成

0.5（ωi－ωj）+0.5－δ（h^（s）ij）=0（13）

為了得到最優(yōu)權(quán)重向量， 我們?cè)O(shè)總偏差值為εk^ij， 使得εk^ij=|0.5（ωi－ωj）+0.5－δ（h^（s）ij）|最小， 建立下面模型：

minεk^ij

s.t.

∑nt=1ωkt=1，0≤ωki，ωkj≤1，i，j=1，2，…，n（14）

當(dāng)偏差εk^ij處于Sk^ij（Sk^ij∈S^SL）的自信水平時(shí)， 可以引入下面信息偏差。

Zk^ij=|Δ^－1（Sk^ij）|εk^ij，k=1，2，…，m;i，j=1，2，…，n（15）

在等式（15）中， 自信Sk^ij的水平確定誤差εk^ij的放大倍數(shù)， 其值越大， 放大率越大， εk^ij的誤差越大。

又因?yàn)?/p>

|0.5（ωj－ωi）+0.5－δ（h^（s）ji）|=|0.5（ωi－ωj）+0.5－δ（h^（s）ij）|，因此， 模型（14）可以轉(zhuǎn)化為

minZk^ij

s.t.

∑nt=1ωkt=1，0≤ωki，ωkj≤1

Zk^ij－Δ^－1（Sk^ij）εk^ij≥0

Zk^ij+Δ^－1（Sk^ij）εk^ij≥0

i，j=1，2，…，n，jgt;i（16）

此外，因?yàn)棣模╤^（s）ij）=h^（1）ij或h^（2）ij或…或h^（#hij）^ij，設(shè)t^{（s）ij，k}=0或1， 且∑#h^ij，ks=1t^{（s）ij，k}=1， 則δ（h^（s）ij）=∑#h^ij，ks=1t^{（s）ij，k}h^{（s）ij，k}.模型（16）可以轉(zhuǎn)化為

minZk^ij

s.t.

0.5（ωki－ωkj）+0.5－∑#h^ij，ks=1t^{（s）ij，k}h^{（s）ij，k}－εk^ij=0

∑ni=1ωki=1，i=1，2，…，n

ωki≥0，i=1，2，…，n

∑#h^（s）ijs=1t^{（s）ij，k}=1，i，j=1，2，…，n，jgt;i，k=1，2，…，m1

t^{（s）ij，k}=0或1，i，j=1，2，…，n，jgt;i，k=1，2，…，m1

Zk^ij－Δ^－1（Sk^ij）εk^ij≥0，i，j=1，2，…，n，jgt;i，k=1，2，…，m1（17）

基于偏差值|εk^ij|， 決策者ek的一致性指標(biāo)^Cl（ek）定義如下：

Cl（ek）=1－2∑n－1i=1∑ni=2，jgt;iZk^ijn（n－1）（18）

2）ek∈E^P*（k=m1+1，m1+2，…，m2）

設(shè)δ（p^（s）ij）=p^（1）ij或p^（2）ij或…或p^（#pij）^ij， 那么

ωiωj=p^（1）ij或p^（2）ij或…或p^（#pij）^ij， 可得ωiωj=δ（p^（s）ij）， 即ωi－ωj·δ（p^（s）ij）=0。為了使ε^ij=|ωi－ωj·δ（p^（s）ij）|的總偏差最小化， 建立下面模型：

minZk^ij

s.t.

ωki－（∑^{#pij，ks=1}t^{（s）ij，k}p^{（s）ij，k}）ωkj－εk^ij=0

∑nⁱ⁼¹ωki=1，ωki≥0，i=1，2，…，n

∑^{#h（s）ijs=1}t^{（s）ij，k}=1

i，j=1，2，…，n，jgt;i，k=m1+1，m1+2，…，m2

tk^ij=0或1

i，j=1，2，…，n，jgt;i，k=m1+1，m1+2，…，m2

Zk^ij－Δ^－1（Sk^ij）εk^ij≥0

i，j=1，2，…，n，jgt;i，k=m1+1，m1+2，…，m2（19）

基于偏差值|εk^ij|， 決策者ek的一致性指數(shù)Cl（ek）如下：

Cl（ek）=1－2∑^n－1i=1∑n^i=2，jgt;iZk^ijn（n－1）（20）

3）ek∈E^R*（k=m2+1，m2+2，…，m）

設(shè)δ（Δ^－1（r^（s）ij））=Δ^－1（r^（1）ij）或Δ^－1（r^（s）ij）或…或Δ^－1（r^（#rij）^ij），那么gn2（ωi－ωj）+g2=δ（Δ^－1（r^（s）ij）），即

gn2（ωi－ωj）+g2－δ（Δ^－1（r^（s）ij））=0。 為了使總偏差最小化， 設(shè)ε^ij=|gn2（ωi－ωj）+g2－δ（Δ^－1（r^（s）ij））|， 建立以下模型：

minZk^ij

s.t.

gn2（ωki－ωkj）+g2－∑^{#rij，ks=1}t^{（s）ij，k}Δ^－1（r^{（s）ij，k}）－εk^ij=0

∑nⁱ⁼¹ωki=1，ωki≥0，i=1，2，…，n

∑^{#h（s）ijs=1}t^{（s）ij，k}=1

i，j=1，2，…，n，jgt;i，k=m2+1，m2+2，…，m

tk^ij=0或1

i，j=1，2，…，n，jgt;i，k=m2+1，m2+2，…，m

Zk^ij－Δ^－1（Sk^ij）εk^ij≥0

i，j=1，2，…，n，jgt;i，k=m2+1，m2+2，…，m（21）

基于偏差值|εk^ij|，決策者ek的一致性指數(shù)Cl（ek）如下：

Cl（ek）=1－2∑^n－1i=1∑n^{i=2，jgt;i}Zk^ijgn（n－1）（22）

3.1.2 群優(yōu)先權(quán)重向量

根據(jù)IOWA算子^［27］ ，結(jié)合一致性指數(shù)， 通過聚合個(gè)體優(yōu)先權(quán)重向量ω^（k）=^（ω（k）1，ω^（k）2，…，ω^（k）n）T（k=1，2，…，m）可以得到群優(yōu)先權(quán)重向量ω^（c）=^（ω（c）1，ω^（c）2，…，ω^（c）n）T。 其中

ω^（c）i=IOWA^Qc（ω^（1）i，ω^（2）i，…，ω^（m）i）=

Φω（〈cl1，ω^（1）i〉，〈cl2，ω^（2）i〉，…，〈clm，ω^（m）i〉）=

∑m^τ=1λτω^（τ）i（23）

cl^{σ（τ－1）}≥cl^σ（τ），λτ=Q（∑τ^k=1cl^σ（τ）T）－Q（∑^τ－1k=1cl^σ（τ）T）

其中T=∑m^k=1cl^σ（k）， cl^σ（k）表示{cl1，cl2，…，clm}中從小到大排列后第k個(gè)值。

3.2 共識(shí)達(dá)成過程

3.2.1 群共識(shí)度

一般地， 異構(gòu)群決策中的群共識(shí)度是度量個(gè)體優(yōu)先權(quán)重向量與群優(yōu)先權(quán)重向量之間的距離?；诖?， 我們定義群共識(shí)度（GCD）如下：

定義13 設(shè)ω^（k）表示個(gè)體優(yōu)先權(quán)重向量，ω^（c）表示群優(yōu)先權(quán)重向量， 決策者ek的群共識(shí)度定義為

GCD（ek）=1－1n∑n^{i=1（ω（k）}i－ω^（c）i）2（24）

由上述定義可知， 所有決策者的群共識(shí)度為

GCD（e1，e2，…，em）=1m∑m^k=1GCD（ek）（25）

顯然，若GCD（ek）=1， 則GCD（e1，e2，…，em）=1， 可知個(gè)體決策與群體決策相一致; 否則， GCD（e1，e2，…，em）越大， 群共識(shí)度越高。

3.2.2 群共識(shí)度調(diào)整

本部分給出群共識(shí)度調(diào)整的方法， 主要是基于上述群共識(shí)度， 若個(gè)體決策與群體決策結(jié)果偏差較大， 則向決策者提供調(diào)整建議， 以調(diào)整其偏好， 最終提高群共識(shí)水平。

一般地， 給定閾值δ0， 若GCD（e1，e2，…，em）≥δ0，則群共識(shí)度可接受一致。 若GCD（e1，e2，…，em）lt;δ0，則需要調(diào)整的偏好GCD（ek）lt;δ0， 使其滿足GCD（ek）≥δ0。

基于不同的偏好結(jié)構(gòu)， 給出下面三種調(diào)整方法。

1）ek∈E^H*（k=1，2，…，m1）

設(shè)H-*=^（（h-ij，S-^ij））^n×n， 其中

（h-^ij，S-^ij）={（h-^（s）ij，S-^（s）ij）|s=1，2，…，#h^ij}， 則

（h-^（s）ij，S-^（s）ij）=

（h^ij，c，lg）|Δ^－1（S^ij）|ε^ijgt;0.1，

（h^（s）ij，S^（s）ij）|Δ^－1（S^ij）|ε^ij≤0.1，

（0.5，lg）i=j，

（1－h(huán)-^（s）ji，S-^（s）ij）igt;j（26）

其中h^ij，c=0.5（ωci－ωcj）+0.5，

ε^ij=|0.5（ωi－ωj）+0.5－δ（h^（s）ij）|， i，j=1，2，…，n

2）ek∈E^P*（k=m1+1，m1+2，…，m2）

設(shè)P-*=^（（p-ij，S-^ij））^n×n， 其中

（p-^ij，S-^ij）={（p-^（s）ij，S-^（s）ij）|s=1，2，…，#p^ij}， 則

（p-^（s）ij，S-^（s）ij）=

（p^ij，c，lg）|Δ^－1（S^ij）|ε^ijgt;0.1，

（p^（s）ij，S^（s）ij）|Δ^－1（S^ij）|ε^ij≤0.1，

（0.5，lg）i=j，

（1－p-^（s）ji，S-^（s）ij）igt;j（27）

其中， p^ij，c=ωciωcj， ε^ij=|ωi－ωj·δ（p^（s）ij）|， i，j=1，2，…，n

3）ek∈E^R*（k=m2+1，m2+2，…，m）

設(shè)R-*=^（（r-ij，S-^ij））^n×n， 其中

（r-^ij，S-^ij）={（r-^（s）ij，S-^（s）ij）|s=1，2，…，#r^ij}， 則

（p-^（s）ij，S-^（s）ij）=

（r^ij，c，lg）|Δ^－1（S^ij）|ε^ijgt;0.1，

（r^（s）ij，S^（s）ij）|Δ^－1（S^ij）|ε^ij≤0.1，

（S^g2，lg）i=j，

（1－Δ^－1（r-^（s）ji），S-^（s）ij）igt;j（28）

其中r^ij，c=gn2（ωci－ωcj）+g2，

ε^ij=gn2（ωi－ωj）+g2－δ（Δ^－1（r^（s）ij））， i，j=1，2，…，n

基于以上分析， 建立下面基于自信的異構(gòu)猶豫偏好關(guān)系群共識(shí)達(dá)成算法。

算法1 基于自信的異構(gòu)猶豫偏好關(guān)系共識(shí)達(dá)成過程。

輸入 初始異構(gòu)猶豫偏好關(guān)系H*k，P*k，R*k，GCD閾值δ0。

輸出 調(diào)整后的異構(gòu)猶豫偏好關(guān)系H-*k，P-*k，R-*k;最終的群優(yōu)先級(jí)權(quán)重向量ω*。

步驟1 令θ=0，H^*（θ）k=^{（（h（θ）ij，k}，S^{（θ）ij，k}））^n×n（k=1，2，…，m1），

P^*（θ）k=^{（（p（θ）ij，k}，S^{（θ）ij，k}））^n×n（k=m1+1，m1+2，…，m2），

R^*（θ）k=^{（（r（θ）ij，k}，S^{（θ）ij，k}））^n×n（k=m2+1，m2+2，…，m）， 設(shè)置δ0的值。

步驟2 由模型（17）～（19）計(jì)算個(gè)體優(yōu)先權(quán)重向量

ω^（θ）k=^{（ω（θ）1，k}，ω^{（θ）2，k}，…，ω^{（θ）n，k}）T（k=1，2，…，m）由（18）～（22）

式計(jì)算個(gè)體一致性水平cl^（θ）k（k=1，2，…，m）。

步驟3 根據(jù)式（23）， 由IOWA算子等到群優(yōu)先權(quán)重向量ω^（θ）c=^{（ω（θ）1，c}，ω^{（θ）2，c}，…，ω^{（θ）n，c}）T。

步驟4 由式（25）計(jì)算可得GCD（e1，e2，…，em）， 若GCD（e1，e2，…，em）≥δ0， 進(jìn)入步驟6;否則， 進(jìn)入下一步。

步驟5 根據(jù)式（26）～（28）， 調(diào)整決策者所給偏好。 令θ=θ+1， 返回步驟2。

步驟6 設(shè)H-*k=H^*（θ）k（k=1，2，…，m1），

P-*k=P^*（θ）k（k=m1+1，m1+2，…，m2），

R-*k=R^*（θ）k（k=m2+1，m2+2，…，m）， 和ω*=ω*c

4 應(yīng)用實(shí)例

三江源自然保護(hù)區(qū)是世界上海拔最高、面積最大、生物多樣性最集中的高原濕地， 是我國(guó)最重要的水源涵養(yǎng)地。 近年來(lái)， 由于全球氣溫變暖， 冰川逐年萎縮， 導(dǎo)致湖泊濕地面積逐漸縮小甚至干涸。 同時(shí)， 疏于管理而引發(fā)的過度放牧， 亂采濫挖等不合理的人類活動(dòng)， 也導(dǎo)致了水土流失加劇， 草地沙漠化嚴(yán)重， 蟲鼠猖獗野生動(dòng)物銳減， 三江源地區(qū)生態(tài)環(huán)境加速惡化。 考慮到三江源自然保護(hù)區(qū)的重要生態(tài)環(huán)境效益，從退耕還草（林）， 全面禁獵， 禁采砂金， 休牧育草， 實(shí)施天然林和天然牧場(chǎng)保護(hù)工程等方面， 給出了4個(gè)保護(hù)治理方案。 現(xiàn)邀請(qǐng)相關(guān)專家多角度考慮， 從所給4個(gè)方案中選擇最優(yōu)方案， 開展三江源自然保護(hù)區(qū)的保護(hù)治理工作。

由于專家組在做決策時(shí)， 受到時(shí)間限制、專業(yè)知識(shí)的局限等影響， 會(huì)存在有一定的猶豫性， 因此，使用異構(gòu)猶豫偏好關(guān)系更符合實(shí)際情況。 此外， 為方便專家更準(zhǔn)確地表達(dá)自己的偏好信息， 允許每個(gè)專家使用自己熟悉的表征方式來(lái)評(píng)價(jià)四種備選方案。假設(shè)專家e1采用基于自信的猶豫模糊偏好關(guān)系， 專家e2采用基于自信的猶豫乘法偏好關(guān)系， 專家e3采用基于自信的猶豫模糊語(yǔ)言偏好關(guān)系。 通過比較每一種備選方案， 3位專家給出了以下偏好關(guān)系。

H*=（0.5，l8）（0.4，l4）（0.6，l3）（0.8，l6）（0.9，l2）（0.5，l0）（0.7，l3）（0.8，l5）

（0.4，l3）（0.6，l4）（0.5，l8）（0.7，l2）（0.8，l6）（0.5，l7）

（0.1，l2）（0.2，l6）（0.2，l6）（0.3，l2）（0.5，l8）（0.4，l1）（0.7，l4）

（0.2，l5）（0.3，l3）（0.5，l0）（0.5，l7）（0.3，l4）（0.6，l1）（0.5，l8）

P*=（1，l8）（2，l4）（4，l3）（17，l0）（15，l1）（12，l7）（7，l2）（9，l1）

（14，l5）（12，l3）（1，l8）（6，l8）（14，l7）（13，l1）

（2，l7）（5，l1）（7，l0）（16，l8）（1，l8）（5，l5）（7，l2）

（19，l1）（17，l2）（3，l1）（4，l7）（17，l2）（15，l5）（1，l8）

R*=（S4，l8）（S1，l4）（S4，l4）（S4，l5）（S6，l2）（S6，l2）（S7，l1）

（S4，l4）（S7，l4）（S4，l8）（S6，l5）（S7，l3）（S2，l2）（S6，l3）（S8，l3）

（S2，l2）（S4，l5）（S1，l3）（S2，l5）（S4，l8）（S6，l8）

（S1，l1）（S2，l2）（S0，l3）（S2，l3）（S6，l2）（S2，l8）（S4，l8）

1）獲得個(gè)體優(yōu)先權(quán)重向量

根據(jù)模型（17）～（21）， 建立相應(yīng)的優(yōu)化模型， 可計(jì)算個(gè)體優(yōu)先權(quán)重向量如下：

ω^（0）1=^{（0.1537，0.3613，0.3660，0.1190）}T，

ω^（0）2=^{（0.3915，0.3308，0.1712，0.1065）}T，

ω^（0）3=^{（0.2660，0.3191，0.2436，0.1713）}T

再由（15）～（17）式， 計(jì)算3個(gè)專家ek（k=1，2，3）的一致性水平如下：

cl^（0）（e1）=0.9537，cl^（0）（e2）=0.9167， ^cl（0）（e3）=0.9096

2）獲得群優(yōu)先權(quán)重向量

在本文中， 利用Q函數(shù)Q（x）=x^0.9實(shí)現(xiàn)IOWA算子。 由cl^（0）（e1）=0.9537， cl^（0）（e2）=0.9167， cl^（0）（e3）=0.9096可得σ（1）=1，σ（2）=2，σ（3）=3。 然后， 根據(jù)Q（x）=x^0.9得到3個(gè)決策者的權(quán)值如下：λ1=0.3764，λ2=0.3138，λ3=0.3098。

基于3個(gè)決策者的權(quán)重， 利用IOWA算子聚合得到群優(yōu)先權(quán)重向量如下：

ω^（c）=^{（0.2612，0.3181，0.2904，0.1303）}T

3）共識(shí)達(dá)成過程

共識(shí)達(dá)成過程有以下兩步：①群共識(shí)度量; ^②反饋調(diào)整。 根據(jù)式（24）， 可以計(jì)算得到3個(gè)決策者的共識(shí)水平如下：

GCD（e1）=0.9305，GCD（e2）=0.9106，^GCD（e3）=0.9688

根據(jù)式（25）， 3位專家的群共識(shí)水平為：

GCD（e1，e2，e3）=0.9366lt;δ0=0.95

調(diào)整決策者所給的偏好， 由模型（17）和（21）計(jì)算可得：

ω^（1）1=^{（0.2057，0.3216，0.3274，0.1453）}T，

ω^（1）2=^{（0.3016，0.3008，0.2766，0.1210）}T.

再由式（18）、（20）計(jì)算ek（k=1，2）的一致性水平： cl^（1）（e1）=0.9252， cl^（1）（e2）=0.9114。則^σ（1）=1，σ（2）=2，σ（3）=3，得到3個(gè)決策者的權(quán)值如下：

λ1=0.3756，λ2=0.3027，λ3=0.3037

計(jì)算得到群優(yōu)先權(quán)重向量：

ω^{（c）（1）}=^{（0.2548，0.3142，0.2857，0.1454）}T

3個(gè)決策者的共識(shí)水平：

GCD（e1）=0.9692，GCD（e2）=0.9726，^GCD（e3）=0.9745

3位專家的群共識(shí)水平：

GCD（e1，e2，e3）=0.9721gt;δ0

經(jīng)過調(diào)整后， 滿足群共識(shí)要求， 最終群優(yōu)先權(quán)重向量為：

ω*=ω^{（c）（1）}=^{（0.2548，0.3142，0.2857，0.1454）}T

可得備選項(xiàng)方案的優(yōu)劣順序?yàn)閄2＞X3＞X1＞X4。因此， X2是最佳方案。

5 分析比較

5.1 聚合算子比較

聚合算子是群決策問題中的常用工具， 它是聚合方法的形式化表示。1988年， Yager^［27］提出了有序加權(quán)平均算子（OWA）， 由于OWA算子具有許多良好的性質(zhì)， 可以根據(jù)決策者對(duì)聚合參數(shù)的不同偏好來(lái)賦予權(quán)重， 被廣泛應(yīng)用于決策理論中。 1999年， Yager 和Filev^［28］ 進(jìn)一步提出誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子（IOWA）， 隨后研究了IOWA算子的相關(guān)性質(zhì)， 并將其應(yīng)用于決策理論等領(lǐng)域中。

下面， 我們考慮有序加權(quán)平均（OWA）算子和誘導(dǎo)有序加權(quán)平均（IOWA）算子來(lái)聚合個(gè)體優(yōu)先權(quán)重向量ω1，ω2，ω3， 并與我們的方法進(jìn)行比較， 所得結(jié)果見表1和圖1。 顯然， 我們的方法和以上兩種算子聚合后所得到的排序結(jié)果相同， 但3種方法所得到的群優(yōu)先權(quán)重向量不同， 基于聚合算子方法所得到的優(yōu)先權(quán)重向量更接近一些。 本文的方法， 考慮了群共識(shí)達(dá)成過程， 該模型更加科學(xué)合理。

5.2 與其他方法的比較

本節(jié)中， 我們將本文的方法與文［26］、［29］的相關(guān)研究比較分析。 具體的比較結(jié)果見表2?？梢钥闯觯?文［3］未考慮猶豫模糊環(huán)境下的決策問題， 文［7］只能處理基于數(shù)值類型的HHPRs的群決策問題， 而不能處理基于語(yǔ)言的偏好關(guān)系。 本文所提出的模型， 不僅可以處理模糊猶豫環(huán)境下含有語(yǔ)言的異構(gòu)偏好關(guān)系， 同時(shí)考慮了群共識(shí)達(dá)成過程， 使決策結(jié)果更為大多數(shù)決策者所接受。 在共識(shí)達(dá)成過程中， 通過不斷的調(diào)整， 專家可以看到逐漸調(diào)整達(dá)成共識(shí)水平， 這使得決策結(jié)果更容易被專家接受， 獲得的結(jié)果更有說服力。 同時(shí)， 文中考慮多重自信水平定義了猶豫偏好關(guān)系， 稱為基于自信的猶豫模糊偏好關(guān)系、

基于自信的猶豫乘法偏好關(guān)系和基于自信的猶豫模糊語(yǔ)言偏好關(guān)系。 此外，本文還提出了調(diào)整決策專家權(quán)重的方法， 根據(jù)動(dòng)態(tài)調(diào)整后的偏好信息， 可以確定新的專家權(quán)重。 決策者動(dòng)態(tài)調(diào)整如圖2所示。 從圖2中可以看出， 決策者的權(quán)重在偏好調(diào)整過程中變化不大。 這與文［26］、［29］中相關(guān)研究的決策過程中決策者的權(quán)重值不變基本相符。

5.3 本文的主要研究與貢獻(xiàn)

隨著社會(huì)的飛速發(fā)展， 決策問題的復(fù)雜性不斷增加， 單個(gè)專家所得到的決策結(jié)果很難說服大家。 這種情況下， 群決策更具有科學(xué)性和合理性。 基于自信的異構(gòu)猶豫偏好關(guān)系， 根據(jù)決策中的實(shí)際情況， 決策者能夠更加靈活有效地表達(dá)對(duì)所比較對(duì)象的偏好信息。 顯然， 文中提出的基于自信的異構(gòu)猶豫偏好關(guān)系群決策模型， 擴(kuò)展了現(xiàn)有異構(gòu)猶豫偏好關(guān)系的群決策研究。

本研究重點(diǎn)建立了一個(gè)決策模型， 該模型基于自信異構(gòu)猶豫偏好關(guān)系， 同時(shí)考慮群共識(shí)達(dá)成度。 通過該研究， 對(duì)決策理論和實(shí)踐做出了一定貢獻(xiàn)。

1）定義了3種基于自信的猶豫偏好關(guān)系， 及其一致性， 拓展了猶豫偏好關(guān)系的表達(dá)外延。

2）分別建立了3種處理異構(gòu)猶豫偏好關(guān)系的優(yōu)化模型。 通過相應(yīng)模型， 可以很容易得到備選方案的優(yōu)化權(quán)重。 進(jìn)一步， 根據(jù)決策者的一致性程度， 可以得到?jīng)Q策者的權(quán)重。

3）考慮決策者的群共識(shí)度， 提出了一種反饋機(jī)制， 通過調(diào)整決策者的偏好信息， 逐步達(dá)到預(yù)定的群共識(shí)水平， 使得決策結(jié)果更加合理， 科學(xué)更具有說服力。

4）基于決策者提供的偏好信息的一致性水平， 構(gòu)建了一種動(dòng)態(tài)調(diào)整決策者權(quán)重的機(jī)制。

5）通過對(duì)三江源自然保護(hù)區(qū)保護(hù)治理方案選擇這個(gè)具體實(shí)例的研究， 說明文中所提出的異構(gòu)猶豫偏好關(guān)系群決策模型的適用性。 同時(shí)， 通過對(duì)比分析， 進(jìn)一步闡明該決策模型的優(yōu)點(diǎn)。

6 結(jié) 論

本文研究了基于自信度的異構(gòu)猶豫模糊偏好關(guān)系， 并應(yīng)用于群決策問題中。 首先， 分別定義了3種猶豫偏好關(guān)系的一致性， 并建立3個(gè)優(yōu)化模型以獲得備選方案的權(quán)重向量。 同時(shí)， 考慮群共識(shí)水平，建立了一個(gè)群決策模型。 基于備選方

案的權(quán)重向量和個(gè)體決策者的一致性水平， 構(gòu)建群共識(shí)達(dá)成過程，并通過反饋機(jī)制為決策者提供調(diào)整方向， 通過逐步調(diào)整偏好關(guān)系， 達(dá)到滿意的決策結(jié)果和群共識(shí)水平。 最后， 利用該模型解決了三江源自然保護(hù)區(qū)保護(hù)治理方案的選擇問題， 進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所建立的模型在復(fù)雜決策環(huán)境中的適用性。

文中所考慮的異構(gòu)猶豫偏好關(guān)系包含3種， 也可以考慮更多異構(gòu)偏好結(jié)構(gòu)， 建立群決策模型。 此外， 本文所提出的決策模型也可用于復(fù)雜的決策場(chǎng)景， 例如風(fēng)險(xiǎn)投資、緊急救援等。

參 考 文 獻(xiàn)：

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（編輯：溫澤宇）

基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金（12261071，61862055，12371459）;國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目（2020YFC1523300）;科技援青合作專項(xiàng)（2022-QY-203）.

作者簡(jiǎn)介：馮 雪（1989—），女，博士，講師.

通信作者：耿生玲（1970—），女，博士，教授，博士研究生導(dǎo)師，E-mail：geng_sl@126.com.