趙志文,于 月,姜 珊

(吉林師范大學 數(shù)學與計算機學院,吉林 四平 136000)

0 引言

隨著大數(shù)據(jù)時代的到來,數(shù)據(jù)也變得更加多元化,對于一些實際問題,所獲得的觀測數(shù)據(jù)通常只能用某一取值范圍來表示,例如某城市一天的氣溫和濕度的變化范圍、股票的漲幅情況等,該數(shù)據(jù)稱之為區(qū)間數(shù)據(jù).區(qū)間數(shù)據(jù)的統(tǒng)計推斷一直也是統(tǒng)計學家關心的熱點問題之一.

針對區(qū)間型數(shù)據(jù)的建模及模型的統(tǒng)計推斷問題,尹遜汝[1]研究了區(qū)間數(shù)據(jù)下線性模型的參數(shù)估計問題,同時證明了估計量的相合性;王金嬋等[2]針對區(qū)間數(shù)據(jù)建立了區(qū)間數(shù)據(jù)回歸模型并給出了模型參數(shù)的估計方法;鄧文麗等[3]討論了區(qū)間數(shù)據(jù)下指數(shù)分布參數(shù)的矩估計問題,通過矩方法得到了區(qū)間截斷情況下參數(shù)的兩個矩估計,并通過這兩個矩估計的關系得到了一個更優(yōu)的估計,最后利用矩估計的漸近性質,進一步得到了兩種區(qū)間截斷情況在大樣本下參數(shù)的置信區(qū)間;Blanco-Fernández等[4]討論了自變量和因變量均為區(qū)間值數(shù)據(jù)時簡單線性回歸模型的參數(shù)估計問題,并給出了模型參數(shù)的最小二乘估計,同時證明了估計量的強相合性;Calcagnì等[5]基于符號回歸分析方法,提出用新的回歸模型來對區(qū)間值變量進行分析;2012年,Blanco-Fernández等[6]基于最小二乘估計的漸近分布,討論了區(qū)間值線性回歸模型參數(shù)置信集的構造問題;此外,Sinova等[7]基于區(qū)間值數(shù)據(jù)的運算性質建立了區(qū)間值回歸模型,并且利用最小二乘方法考慮模型參數(shù)的估計問題.

由于在實際觀測中經(jīng)常存在數(shù)據(jù)缺失,因此缺失數(shù)據(jù)的估計和檢驗問題一直是統(tǒng)計學家們關心的熱點問題之一.田萍等[8-9]利用EM算法,研究了缺失數(shù)據(jù)條件下零均值AR(p)模型和ARMA(1,1)模型的參數(shù)估計問題;馬明月等[10]討論了部分缺失數(shù)據(jù)兩個雙參數(shù)指數(shù)總體的參數(shù)估計問題;趙志文等[11]研究了具有部分缺失數(shù)據(jù)的兩個幾何分布總體中的參數(shù)估計問題以及兩總體參數(shù)相等的假設檢驗問題;陳菲等[12]討論了部分數(shù)據(jù)缺失時兩個Weibull總體的參數(shù)估計和關于總體相同的似然比檢驗問題;龍兵等[13]研究了在樣本數(shù)據(jù)缺失下Pareto分布的參數(shù)估計和假設檢驗問題;劉銀萍等[14]針對于缺失數(shù)據(jù)情形下兩個泊松總體的參數(shù)估計問題以及兩總體參數(shù)相等的假設檢驗問題進行了進一步的討論;徐圣楠等[15-16]利用矩估計的方法,研究在缺失部分數(shù)據(jù)的情況下混合瑞利分布總體及混合拉普拉斯分布中總體參數(shù)的估計問題;王敏會[17]在此基礎上,討論了具有部分缺失數(shù)據(jù)混合幾何分布總體的參數(shù)估計問題.本文進一步考慮數(shù)據(jù)存在缺失并且缺失概率未知時的區(qū)間數(shù)據(jù)均值的估計與檢驗問題.

1 缺失數(shù)據(jù)下區(qū)間均值的估計

設X是隨機區(qū)間總體,{X1,…,Xn}是獨立同分布的隨機樣本,令

證明由獨立同分布的大數(shù)定律可知

(1)

同理可證

(2)

下面的引理給出了證明極限分布為正態(tài)分布的隨機向量函數(shù)依分布收斂于正態(tài)分布的方法.

E(Wi)=(P,PμC,PμR).

由獨立同分布的多元中心極限定理可知

記

其中

易知

令

θ=(θ1,θ2,θ3)=(p,pμC,pμR),

注意到

進而可得

利用引理1,經(jīng)過簡單的代數(shù)運算可知

2 缺失數(shù)據(jù)下區(qū)間均值的檢驗

檢驗ⅢH0:μ=μ0?H1:μ≠μ0,

檢驗Ⅰ和檢驗Ⅱ分別考慮區(qū)間中心和區(qū)間半徑是否等于某一常數(shù)的檢驗問題,檢驗Ⅲ則是同時考慮區(qū)間中心和區(qū)間半徑是否等于某一常數(shù)的檢驗問題.

利用Cramer-wold定理易知推論1、推論2和推論3成立.為對上述檢驗問題構造檢驗統(tǒng)計量,考慮C的估計,令

首先考慮區(qū)間中心是否等于某一常數(shù)的檢驗問題Ⅰ.構造檢驗統(tǒng)計量

其次考慮區(qū)間半徑是否等于某一常數(shù)的檢驗問題Ⅱ.構造檢驗統(tǒng)計量

最后同時考慮區(qū)間中心和區(qū)間半徑是否等于某一常數(shù)的檢驗問題Ⅲ.構造檢驗統(tǒng)計量

3 隨機模擬

對于檢驗問題Ⅰ,表1給出了原假設為真時接受原假設的概率,表2給出了備擇假設為真時拒絕原假設的概率.對于檢驗問題Ⅱ,表3給出了原假設為真時接受原假設的概率,表4給出了備擇假設為真時拒絕原假設的概率.對于檢驗問題Ⅲ,表5給出了原假設為真時接受原假設的概率,表6給出了備擇假設為真時拒絕原假設的概率.

表1 缺失概率為0.1時原假設成立的條件下接受原假設的概率

表2 缺失概率為0.1時備擇假設為真時拒絕原假設的概率

表3 缺失概率為0.1時原假設成立的條件下接受原假設的概率

表4 缺失概率為0.1時備擇假設成立的條件下拒絕原假設的概率

表5 缺失概率為0.1時原假設成立的條件下接受原假設的概率

表6 缺失概率為0.1時備擇假設成立的條件下拒絕原假設的概率

從表1—6的模擬結果可以看出,隨著參數(shù)取值的變化,無論原假設成立的條件下接受原假設的概率還是備擇假設成立的條件下拒絕原假設的概率都是接近1的,因此說明上述三個檢驗方法具有可行性.此外,從模擬結果可以看出,模擬結果不受參數(shù)變化的影響,這說明所給出的檢驗方法具有一定的穩(wěn)健性.

4 結語

本文討論了缺失數(shù)據(jù)下區(qū)間數(shù)據(jù)均值的估計與檢驗問題,利用矩估計方法給出區(qū)間中心和半徑均值的估計,在此基礎上進一步對區(qū)間中心均值、區(qū)間半徑均值相關的檢驗問題進行研究,與以往研究不同的是該統(tǒng)計推斷方法可以在數(shù)據(jù)存在缺失的條件下使用.該研究結果進一步豐富和發(fā)展了區(qū)間數(shù)據(jù)的統(tǒng)計推斷理論,為進一步研究缺失數(shù)據(jù)下區(qū)間數(shù)據(jù)的統(tǒng)計推斷問題奠定了基礎.