一道習(xí)題的解法探究與反思

謝忠德

(廣東省江門市江海區(qū)外海中學(xué),廣東 江門 529080)

近期,筆者在“直線的方程”這一章節(jié)的教學(xué)中給學(xué)生布置了一道課后習(xí)題,當(dāng)時(shí)認(rèn)為它可能有不少解法,覺得會趣味無窮.于是經(jīng)過筆者對該題的認(rèn)真思考和深入研究后,確實(shí)得出了多種解法,不足之處,敬請指正.

1 題目呈現(xiàn)

題目已知點(diǎn)P(x,y)在直線2x+y-1=0上,求x2+y2的最小值.

2 解法探究

2.1 利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)

解法1 將y=1-2x代入x2+y2,得

x2+y2=x2+(1-2x)2

=5x2-4x+1

2.2 利用一元二次方程根的判別式

解法2 設(shè)x2+y2=a,則將y=1-2x代入,得

a=x2+(1-2x)2.

即5x2-4x+(1-a)=0.

2.3 從導(dǎo)數(shù)入手

解法3 將y=1-2x代入x2+y2,得

x2+y2=x2+(1-2x)2

=5x2-4x+1.

設(shè)f(x)=5x2-4x+1,求導(dǎo),得

f′(x)=10x-4.

2.4 利用點(diǎn)到直線的距離

圖1 解法4示意圖

2.5 利用三角換元法

2.6 利用柯西不等式

解法6因?yàn)?22+12)(x2+y2)≥(2x+y)2=1,

2.7 構(gòu)造等差數(shù)列

代入x2+y2,得

2.8 利用不等式

點(diǎn)評利用不等式求最值確實(shí)是比較常見的方法,但這里用到的不等式很多人沒見過,說明我們的學(xué)生在努力學(xué)習(xí)課本知識以外,需要更多地了解相關(guān)知識的延展,因?yàn)橛泻芏嗟闹R是需要我們自己去發(fā)現(xiàn)和探索的.

2.9 利用平面向量

解法9 設(shè)a=(x,y) ,b=(2,1),則由|a||b|≥|a·b|,得

因?yàn)?x+y-1=0,

2.10 利用不等式d≤r

點(diǎn)評利用圓的知識解題不太容易想到,要構(gòu)造一個(gè)圓,利用直線2x+y-1=0與圓x2+y2=m2(m>0)兩者之間的聯(lián)系,才能得到圓心到直線的距離不能超過半徑.

2.11 利用極坐標(biāo)

解法11 顯然x≠0,y≠0,不妨設(shè)x2+y2=m2(m>0),把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2+y2=m2(m>0),得ρ2=m2,即ρ=m.

因?yàn)?1≤sin(θ+φ)≤1,

點(diǎn)評其實(shí)極坐標(biāo)法跟解法5的三角換元法非常相似,兩者有異曲同工之妙.

2.12 利用方差的性質(zhì)[1]

則構(gòu)造離散型隨機(jī)變量X的分布列(見表1):

表1 離散型隨機(jī)變量X的分布列

3 結(jié)束語

對于這道題的解答,我們從多個(gè)角度進(jìn)行分析,并運(yùn)用了多種方法.事實(shí)上,學(xué)生已經(jīng)有多年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷,都打下了較扎實(shí)的基礎(chǔ),然而因?yàn)槟撤N緣故,在某些方面一直沒有得到很好的鍛煉,比如觀察、聯(lián)想、遷移、轉(zhuǎn)化.缺乏觀察、聯(lián)想、遷移、轉(zhuǎn)化意識的學(xué)生到了高中很難再輕松地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)了,總覺得心有余而力不足.我們知道,在課堂上對例題進(jìn)行分析、講解是教師教授學(xué)生解題的依據(jù),也是學(xué)生舉一反三的范本,它不僅幫助學(xué)生強(qiáng)化和鞏固記憶,掌握基礎(chǔ)知識,理解基本概念,而且在培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維能力方面也有著重要的作用,同時(shí)對形成學(xué)生的觀察、聯(lián)想、遷移、轉(zhuǎn)化能力也有很大的促進(jìn)作用,有助于提高他們的數(shù)學(xué)解題能力,激發(fā)他們對數(shù)學(xué)的熱愛和探索數(shù)學(xué)的興趣.