初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題技巧研究

黃曉勇

(福建省龍巖初級(jí)中學(xué),福建 龍巖 364000)

應(yīng)用題是通過(guò)語(yǔ)言或者文字對(duì)有關(guān)事實(shí)進(jìn)行敘述,反映出某種數(shù)學(xué)關(guān)系,如數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系等,且求解未知數(shù)量的一類(lèi)題目,每道應(yīng)用題中都包含有已知條件與所求結(jié)論.在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,應(yīng)用題的題型較多,不同類(lèi)型的應(yīng)用題需要用到不同的解題思路與技巧,教師應(yīng)通過(guò)多元化的訓(xùn)練,使學(xué)生能根據(jù)實(shí)際情況采用相應(yīng)的解題技巧[1].

1 二元一次方程類(lèi)應(yīng)用題的解題技巧

二元一次方程類(lèi)應(yīng)用題在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題訓(xùn)練中較為常見(jiàn).解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是認(rèn)真審題,充分理解題意,找到題目中相關(guān)條件之間的邏輯關(guān)系與數(shù)量之間的等量關(guān)系,據(jù)此設(shè)出未知數(shù),建立二元一次方程組,最終使用二元一次方程組的相關(guān)知識(shí)把未知數(shù)求出來(lái).需要注意的是,解決此類(lèi)應(yīng)用題時(shí),應(yīng)保證最終結(jié)果同實(shí)際情況相契合,讓學(xué)生學(xué)會(huì)全面考慮問(wèn)題,使其掌握解答此類(lèi)應(yīng)用題的一些技巧[2],提高其解題能力.

例1王軍同學(xué)為本班購(gòu)買(mǎi)課外書(shū),回校后向班主任匯報(bào):我購(gòu)買(mǎi)兩種課外書(shū),一共是30本,單價(jià)分別是20元與24元,買(mǎi)書(shū)前的700元還余下38元.班主任說(shuō)他肯定搞錯(cuò)了.

(1)班主任說(shuō)王軍搞錯(cuò)的原因是什么?結(jié)合所學(xué)知識(shí)解釋;

(2)后來(lái)王軍發(fā)現(xiàn)的確錯(cuò)了,還購(gòu)買(mǎi)了另外一本課外書(shū),但是單價(jià)不清楚,只能辨認(rèn)出是不滿10元的整數(shù),假如單價(jià)是20元的課外書(shū)比單價(jià)是24元的課外書(shū)多,求外一本課外書(shū)的單價(jià).

解析本題理解起來(lái)難度不大,第一問(wèn)比較簡(jiǎn)單,建立二元一次組后不難解答,第二問(wèn)難度稍大,學(xué)生應(yīng)大膽設(shè)出參數(shù),且依據(jù)題意找準(zhǔn)參數(shù)之間的大小關(guān)系,再通過(guò)分析、計(jì)算確定最終答案.

2 分式方程類(lèi)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題技巧

分式方程是一類(lèi)比較特殊的方程,當(dāng)遇到此類(lèi)應(yīng)用題時(shí),教師首先要求學(xué)生仔細(xì)閱讀題目?jī)?nèi)容,了解題干所描述的情境,使其結(jié)合個(gè)人所學(xué)與生活經(jīng)驗(yàn)找到題目中參數(shù)之間的潛在關(guān)系,明確圍繞哪個(gè)參數(shù)來(lái)列方程.解完方程后,學(xué)生還要檢查結(jié)果的準(zhǔn)確性.在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,不少應(yīng)用題都能夠利用分式方程解決.

例2 張華家距離動(dòng)物園1 900 米,一天他步行去看動(dòng)物表演,走到路程的一半時(shí)發(fā)現(xiàn)沒(méi)有攜帶門(mén)票,這時(shí)距離表演開(kāi)始還有23 分鐘,于是他馬上步行回家取票,然后騎自行車(chē)去動(dòng)物園,假如張華騎自行車(chē)到動(dòng)物園比步行少用20 分鐘,且速度是步行的5倍,進(jìn)家取票花費(fèi)4 分鐘,那么他是否可以在表演開(kāi)始之前到達(dá)動(dòng)物園?通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.

解析通過(guò)審題發(fā)現(xiàn),本題應(yīng)構(gòu)建一個(gè)有關(guān)路程、速度與時(shí)間的分式方程,先求出張華騎自行車(chē)與步行的速度,再根據(jù)路程、速度與時(shí)間之間的關(guān)系,計(jì)算所需時(shí)間,最后結(jié)合計(jì)算結(jié)果進(jìn)行準(zhǔn)確判斷.

3 一元一次不等式應(yīng)用題的解題技巧

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程,所學(xué)習(xí)的不等式知識(shí)以一元一次不等式為主,相應(yīng)地會(huì)圍繞一元一次不等式安排應(yīng)用題.這類(lèi)應(yīng)用題的題干描述往往與眾不同,會(huì)出現(xiàn)“不超過(guò)”“不少于”“不多于”“最少”“最多”等特殊詞,把握好這些詞是解決一元一次不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵.

例3 某商店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品,其中甲的進(jìn)價(jià)單價(jià)比乙多5 元,且用800 元購(gòu)進(jìn)的甲商品和用400 元購(gòu)進(jìn)的乙商品數(shù)量相同,現(xiàn)在要一共購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品100 件,進(jìn)貨資金不少于800 元,不多于850 元,那么有多少種進(jìn)貨方案?如果甲商品的利潤(rùn)是m元,乙商品的利潤(rùn)是(6-m)元,如何進(jìn)貨才可以確保獲得的利潤(rùn)最大?

解析本題需先求出甲、乙兩種商品的進(jìn)價(jià)單價(jià),再根據(jù)總進(jìn)價(jià)資金的范圍找到不等關(guān)系,確定參數(shù)取值范圍,并寫(xiě)出關(guān)于總利潤(rùn)的表達(dá)式,分析式子中各個(gè)參數(shù)的取值范圍,然后結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤(rùn).

4 三角函數(shù)類(lèi)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題技巧

三角函數(shù)是初中生接觸到的一類(lèi)特殊數(shù)學(xué)知識(shí),初中階段以學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)為主,包括正弦、余弦、正切.解決此類(lèi)應(yīng)用題的步驟如下:(1)認(rèn)真審題與讀圖,確定題設(shè)所求的問(wèn)題;(2)根據(jù)題意,利用所學(xué)的幾何知識(shí)嘗試構(gòu)造直角三角形,必要時(shí)添加輔助線;(3)求解未知量的值時(shí),需要注意不同三角函數(shù)中線段之間的關(guān)系是不一樣的,以免因?yàn)殛P(guān)系弄錯(cuò)而計(jì)算出錯(cuò)誤的結(jié)果.

圖1 例4題圖

解析解決本題時(shí),應(yīng)以所求結(jié)論為前提展開(kāi)逆向推理,尋找要求解的未知量,再結(jié)合解題經(jīng)驗(yàn)添加輔助線就能進(jìn)行分析,尋找角度和線段之間的關(guān)系,認(rèn)真計(jì)算后即可得出準(zhǔn)確結(jié)果.

5 二次函數(shù)類(lèi)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題技巧

二次函數(shù)應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中的一類(lèi)難點(diǎn)題型.因?yàn)槎魏瘮?shù)是初中階段難度最大、知識(shí)點(diǎn)最多和關(guān)系最復(fù)雜的一部分內(nèi)容,處理此類(lèi)應(yīng)用題時(shí)對(duì)學(xué)生的解題能力要求更高,要以仔細(xì)審題為基礎(chǔ),結(jié)合題干描述與解題經(jīng)驗(yàn)準(zhǔn)確找到二次函數(shù)關(guān)系,使其根據(jù)二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解題.

例5 一種土特產(chǎn)的生產(chǎn)成本是每個(gè)60元,為了解市場(chǎng)行情,準(zhǔn)備先試銷(xiāo)一段時(shí)間,在試銷(xiāo)期間銷(xiāo)售單價(jià)不能比成本價(jià)低,利潤(rùn)不能高于40%,銷(xiāo)售量y(萬(wàn)個(gè))和銷(xiāo)售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)圖象如圖2所示,那么當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)定為多少時(shí)有最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?

圖2 例5題圖

解析解答本題時(shí),學(xué)生需以充分理解題意為基礎(chǔ),先根據(jù)圖象聯(lián)系一次函數(shù)知識(shí),明確銷(xiāo)售量和售價(jià)之間的關(guān)系,再根據(jù)成本、利潤(rùn)與銷(xiāo)售量建立二次函數(shù),最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤(rùn).

具體解題過(guò)程如下:根據(jù)一次函數(shù)圖象,可以運(yùn)用待定系數(shù)法求出銷(xiāo)售單價(jià)和銷(xiāo)售量之間的函數(shù)關(guān)系,再結(jié)合題目信息找到自變量的取值范圍.從圖象中找到兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(70,50)、(63,57),代入到一次函數(shù)解析式=kx+b中得到一個(gè)方程組,求出k=-1,b=120,即為y=-x+120,根據(jù)題意確定x的取值范圍是60≤x≤60(1+40%),即為60≤x≤84,則利潤(rùn)Q=(x-60)(-x+120)=-x2+180x-7 200=-(x-90)2+900(60≤x≤84),該二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是x=90,開(kāi)口方向向下,取值范圍在其左側(cè),利潤(rùn)Q隨著x的增大而增大,所以當(dāng)x=84時(shí)有最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是Q=-(84-90)2+900=-36+900=864(萬(wàn)元).

6 結(jié)束語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,應(yīng)用題解題訓(xùn)練是極為重要的一部分,在考試中做好應(yīng)用題,不讓大題失分過(guò)于嚴(yán)重,往往就能夠取得優(yōu)異成績(jī).因此,教師應(yīng)適當(dāng)加強(qiáng)應(yīng)用題解題練習(xí),通過(guò)解題示范傳授技巧,幫助學(xué)生掌握一些不同應(yīng)用題的不同解題技巧,全力提高學(xué)生解答不同類(lèi)型應(yīng)用題的能力.