利用對偶圖形計算河流斷面面積方法初探

董海濤，張?？?，劉曉鳳

（1.黑龍江省水文水資源中心哈爾濱分中心，黑龍江 哈爾濱 150010；2.黑龍江省水文水資源中心，黑龍江 哈爾濱 150001）

0 引言

水文數(shù)據(jù)是國家重要的基礎信息資源，在防汛抗旱、防災減災、水資源可持續(xù)利用、水利工程設計和社會經(jīng)濟可持續(xù)發(fā)展中有著重要的作用。流量數(shù)據(jù)是水文數(shù)據(jù)的重中之重，流量計算的一個重要參數(shù)就是河流斷面面積。實際的天然河道斷面非常復雜，斷面線也復雜多變，一般情況下，幾乎不可能直接利用其斷面曲線計算面積，所以通常是以折線代替曲線，并概化成梯形進行河道斷面面積的計算[1]，這也就導致了通過有限的測深垂線計算的斷面面積存在偏小或偏大的現(xiàn)象。當然，這種現(xiàn)象可通過增加測深垂線數(shù)量以滿足要求，但在實際當中會耗費大量的人力、物力。

為了提高斷面面積的計算精度，除了增加測深垂線，還可以從計算方法上去探尋解決辦法。本文以呼蘭河蘭西站為實際算例，引進對偶圖形[2]，通過外切多邊形進行面積計算，以提高斷面面積計算精度，減少面積誤差對流量的影響。

1 對偶圖形方法的簡介

在射影幾何里，把點和直線叫做對偶元素，把“過一點作一直線”和“在一直線上取一點”叫做對偶運算[2]。在射影平面上，把由點和直線所組成的一個圖形中的各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算，結果就得到另一個圖形，這兩個圖形稱為對偶圖形。

在河流斷面面積計算[3]中，水道河床斷面線是一條曲線，通常以有限的測點連接成一條折線來代替曲線（見圖1 實測線）。通過對偶計算，將此曲線通過測點的切線組成另一條折線以代替曲線（見圖1 切折線），這兩條折線就是對偶圖形。為方便起見，稱以實際測點連接的折線為點折線，以切線段組成的折線為切折線。

圖1 呼蘭河蘭西斷面切折線與實測點斷面圖

只用一條折線去代替曲線，且以有限的測點計算面積，面積偏大或偏小的概率非常大。以連續(xù)上凹斷面為例，常規(guī)面積計算是利用內(nèi)接多邊形從一側逼近曲線斷面面積的真實值。對偶面積計算方法則是利用外切多邊形，從另一側逼近曲線斷面面積。

2 斷面面積的計算

一般地，河流斷面線是一條曲線，有的呈現(xiàn)窄深形，有的呈現(xiàn)起伏變化的寬淺形，還有的是兩種或更多種疊加形等，斷面線的變化用起點距和水深/高程兩個變量以函數(shù)的形式表示。

2.1 點折線面積的計算

由于斷面線復雜多變，幾乎無法找到具體的函數(shù)表達式，這就使得通過曲線的形式來計算斷面面積的方式難以實現(xiàn)。在實際應用中，只能通過有限的實測點數(shù)據(jù)繪制點折線代替曲線，并概化成梯形來計算河道斷面面積，這是目前面積計算普遍使用的方法。

2.2 切折線面積的計算

由于斷面線復雜、測點有限，在做實測點切線時，取實測點左右相鄰兩點的連線為切線方程的斜率，再代入切點得出切線方程[4]，具體方法如下。

根據(jù)已知起點距和相應水深的實測數(shù)據(jù)，令一個斷面起點距即橫坐標x為x0，x1，x2，x3，……，xn-1，xn，xn+1，其對應的縱坐標y（水深）為y0，y1，y2，y3，……，yn-1，yn，yn+1，則除兩個邊點（x0，y0）（xn+1，yn+1）外，建立其他各測點（xi，yi）處的切線方程：

式中：yi為第i點水深，m；xi為第i點起點距，m；f′(xi)為第i點處切線斜率。

利用拉格朗日中值定理，以曲線某一個點前、后相鄰的兩個點連線作為該點曲線切線的平行線，求得各點曲線的切線斜率ki：

式中：yi+1，yi-1分別為第i+1、第i-1 測點的起點距，m；xi+1，xi-1分別為第i+1、第i-1 的測點水深，m。

由式（2）和式（3）求各切線截距：

式中：hi為通過第i測點切線的截距，m。

由式（3）和式（4）計算出每條切線方程中的截距和斜率，就可以確定通過曲線上各個測點的切線方程。相鄰兩切線交點利用下列方程組求得：

因為兩岸水邊點僅有一點，無法計算出斜率，從而無法確定切線，故原水邊點仍作為切折線的水邊點，而過該點與相鄰切線的交點由以下方程求得：

由式（5）（6）（7）即可求得切折線的交點，從而得出切折線圖形。

3 方法的改進

對于連續(xù)上凹的水道斷面，利用相鄰切線交點求得起點距和水深能夠達到預期效果，而實際上，天然河流斷面曲線變化起伏不定、非常復雜，并非是一個連續(xù)上凹的曲線，且測點高低變化不均勻，使得相鄰兩切線相交不在兩個切點之內(nèi)，導致切折線雜亂無序（見圖1 切折線），利用切線相交無法得到預期效果，因而采用切線段的方式來取得切折線。取相鄰兩實測點起點距的平均值作為切折線的切線段端點的起點距，分別帶入兩實測點對應的切線方程，得其相應水深。由于相鄰切線段同一起點距的兩端點處水深不等，會出現(xiàn)兩個數(shù)值，致使切折線不相交，無法形成連續(xù)的斷面圖，采用將兩端點垂直連接的方法可以得到一個間斷式的切折線（見圖2 改進的切折線）。

4 面積計算實例

4.1 單次大斷面計算

運用改進的切折線方法，選取該站測深線間距不是均勻相等的測次斷面進行面積計算，并與點折線斷面面積計算值進行比較，其中，點折線計算結果為59.8 km2，切折線計算結果為60.3 km2，相對誤差為0.8%。

圖2 呼蘭河蘭西斷面改進的切折線與點折線圖

4.2 多次大斷面計算

選取該站暢流期共58 次流量斷面面積計算成果，并與原有斷面面積進行比較：相對誤差為正有8 次，占總測次的14.0%；相對誤差為負有5 次，占總測次的9.0%；相對誤差為零有45 次，占總測次的77.0%；最大相對誤差的絕對值不超1.0%，滿足斷面面積誤差限（±3.0%）的規(guī)定。從相對誤差為正的稍多于負的可以說明，該斷面線雖然起伏變化，但上凹比重稍大。

5 結語

文中引進了對偶圖形計算河流斷面面積，在同一斷面及相同測深垂線條件下，對偶面積計算方法較常規(guī)方法精度更高，可以減少面積誤差對流量的影響。在實際工作中，該方法能夠代替使用加倍測深垂線數(shù)的方式來檢驗測深垂線數(shù)目布設的合理性，從而減少日常工作量。