退化系統(tǒng)的質量控制、狀態(tài)維修與備件訂購聯(lián)合策略優(yōu)化

韓夢瑩, 馬書剛, 楊建華, 李 偉, 馬志超

(1. 河北經(jīng)貿(mào)大學 商學院,石家莊 050061; 2. 北京科技大學 經(jīng)濟管理學院, 北京 100083; 3. 北京企業(yè)低碳運營戰(zhàn)略研究基地,北京 100083; 4. 河北工程大學 管理工程與商學院,河北 邯鄲 056038)

基于狀態(tài)的維修策略可以根據(jù)狀態(tài)檢測或監(jiān)測收集到的信息建議維修活動,常被應用于實踐中[1].維修活動導致備件需求,備件是維修活動能夠順利執(zhí)行的重要保障,二者相互影響與制約.對于關鍵生產(chǎn)系統(tǒng)(單部件系統(tǒng))而言,系統(tǒng)的功能退化不僅是引發(fā)維修需求的根源,而且是導致產(chǎn)品質量下降的最主要原因[2].因此,根據(jù)關鍵生產(chǎn)系統(tǒng)的功能退化過程,確定質量控制、狀態(tài)維修及與之匹配的備件訂購策略,對于提升產(chǎn)品質量、提高設備可靠性、降低運營成本有積極意義.

延遲時間模型(Delay-Time Model, DTM)由于能夠建立系統(tǒng)狀態(tài)與維修活動之間的關系,已被廣泛應用于離散劣化系統(tǒng)的狀態(tài)維修策略模型中[3-4].如,劉勤明等[5]建立了基于周期檢測的單位時間費用模型,優(yōu)化檢測周期和預防性維修閾值;Yang等[6]將基于狀態(tài)的不完美維修策略與基于時間的預防更換策略相結合,優(yōu)化檢測周期、檢測次數(shù)和預防性更換周期;Zhang等[7]則構建了優(yōu)化兩階段檢測周期和次數(shù)的預防性維修模型.將設備維修與備件管理策略進行聯(lián)合優(yōu)化,確保維修時刻備件的可得率已被國內(nèi)外許多學者提出并研究[8-10],近年來,利用DTM對狀態(tài)維修與備件訂購策略進行聯(lián)合優(yōu)化的研究也逐漸增多.如,趙斐等[11]與韓夢瑩等[12]構建了基于時間的備件訂購與狀態(tài)維修聯(lián)合策略模型;Zhao等[13-14]則提出了基于系統(tǒng)狀態(tài)的備件訂購策略,建立了非周期檢測與備件訂購聯(lián)合策略優(yōu)化模型.

對生產(chǎn)企業(yè)而言,質量控制和設備維護這兩項運營策略必須相互協(xié)作以確保生產(chǎn)過程的產(chǎn)出率[15].上述研究雖然為設備維護以及設備維護與備件訂購聯(lián)合策略優(yōu)化分析提供了基本框架,但并未考慮系統(tǒng)劣化對產(chǎn)品質量的影響.鑒于此,Wu等[16]利用統(tǒng)計過程控制圖監(jiān)控產(chǎn)品質量,以確定最優(yōu)的檢測策略;Azimpoor等[2]以產(chǎn)品質量評估系統(tǒng)狀態(tài),認為次品率為某一固定常數(shù)時,系統(tǒng)處于正常狀態(tài),而當次品率超出該固定值時,說明系統(tǒng)已進入缺陷狀態(tài),應立即進行預防性更換,據(jù)此優(yōu)化檢測周期和產(chǎn)品質量;Han等[17]基于DTM構建了考慮缺陷品損失的狀態(tài)維修與備件訂購聯(lián)合策略優(yōu)化模型,但并未考慮產(chǎn)品質量的控制問題.

綜上,現(xiàn)有基于DTM的質量控制、設備維護和備件訂購聯(lián)合決策研究,在理論與實際應用層面尚存在以下3個方面的局限性:① 產(chǎn)品質量、系統(tǒng)維修與備件管理3個要素之間存在密切聯(lián)系,但鮮有文獻同時考慮質量控制、狀態(tài)維修與備件訂購,對三者進行整合研究;② 在系統(tǒng)狀態(tài)與產(chǎn)品質量相關時,一旦次品率超出前期固定水平就進行預防性更換[2],易導致過度維修;③ 備件訂購提前期假定為固定常數(shù),實際上由于受多種因素的影響,備件訂購之后的交付期具有隨機性特征[18].針對這些不足,本文將狀態(tài)檢測信息和質量檢驗信息作為互補,進行預防性維修決策,針對退化過程服從延遲時間理論的關鍵生產(chǎn)系統(tǒng),提出質量控制、狀態(tài)維修與備件訂購聯(lián)合策略.

1 問題描述與模型符號

1.1 問題描述

(1) 系統(tǒng)退化過程及系統(tǒng)狀態(tài)與次品率關系說明.

系統(tǒng)退化過程服從延遲時間理論,即系統(tǒng)由初始新狀態(tài)退化到故障狀態(tài)要經(jīng)歷正常階段和缺陷階段,其中X和Y分別表示正常階段和缺陷階段持續(xù)時間的隨機變量,如圖1所示.系統(tǒng)的狀態(tài)空間也因此被劃分為:正常、缺陷和故障.系統(tǒng)退化的兩個階段由Weibull分布來描述[11-15],Weibull分布的故障率函數(shù)為h(t)=απ(αt)π-1(α>0,π>0,t≥0),其中α為尺度參數(shù),π為形狀參數(shù),t為時間隨機變量.

圖1 延遲時間理論Fig.1 Concept of delay time

系統(tǒng)的運行狀態(tài)與產(chǎn)品的加工質量密切相關.系統(tǒng)處于正常狀態(tài)時,次品率固定在β1水平;一旦系統(tǒng)進入缺陷狀態(tài),次品率則是關于缺陷狀態(tài)實際持續(xù)時間,即缺陷點到達時刻與系統(tǒng)更換(預防更換或故障更換)需求發(fā)生時刻之間的時間間隔t1的單調(diào)遞增函數(shù),可用β2(t1)表示,其公式如下:

(1)

式中:β1為系統(tǒng)剛進入缺陷狀態(tài)時的次品率;λ為產(chǎn)品質量退化的邊界值;κ和ε為正常數(shù).

(2) 兩階段檢測的質量控制及狀態(tài)維修策略說明.

①在系統(tǒng)退化初期以周期T(決策變量)檢查系統(tǒng)狀態(tài),而在退化后期以周期T檢查產(chǎn)品質量,退化初期的檢測視為第一階段檢測,退化后期的檢測視為第二階段檢測.系統(tǒng)退化的前后期以檢測初次識別系統(tǒng)缺陷的時間點為基準進行劃分,并在該時間點進行質量檢測.

②對產(chǎn)品采用100%的質量檢測方法,一旦質檢結果表明產(chǎn)品次品率超出閾值RP(決策變量),則需對系統(tǒng)進行預防性更換,該活動記為基于質量的更新;若第M(M≥1,為決策變量)次進行質量檢測,次品率仍未超出閾值RP,為減少系統(tǒng)的故障發(fā)生率,需在第M+1次執(zhí)行質量檢測活動的時刻進行預防性更換(但該時刻不進行質量檢測),記為基于狀態(tài)的更新;若在檢測期內(nèi)系統(tǒng)突發(fā)故障,則需進行故障后更換,記為基于故障的更新.

③無論是狀態(tài)檢測還是質量檢測,檢測結果都是完全可靠的.

(3) 質量控制、狀態(tài)維修及備件訂購聯(lián)合策略優(yōu)化.

在檢測第1次識別系統(tǒng)缺陷狀態(tài)時,進行備件訂購,備件訂購時刻與備件交付時刻之間的時間間隔隨機,隨機訂購提前期LR服從參數(shù)為ν和σ的正態(tài)分布,即LR～N(ν,σ).由上文描述可知,系統(tǒng)存在3種更新方式:基于質量的更新、基于狀態(tài)的更新和基于故障的更新.系統(tǒng)預防性更換或故障更換需求發(fā)生時,需要考慮備件的可得性:若備件已入庫,則立即更新系統(tǒng);若備件訂購已下達但未交付,需等待備件進行交付;若備件未訂購則立即訂貨,并在備件到達后更新系統(tǒng).

1.2 模型符號

對模型構建過程中涉及的其他符號進行說明,如表1所示.

表1 主要模型符號及說明Tab.1 Main notations and illustration for the model

2 模型建立

將系統(tǒng)壽命周期內(nèi)的第n個檢測期定義為從第n-1次檢測結束時刻到第n次檢測結束時刻之間的時間間隔,若在檢測期內(nèi)需對系統(tǒng)進行更換,則此時的檢測期定義為從上一次檢測結束時刻到系統(tǒng)更換完成時刻之間的時間間隔.令CT,n表示第n個檢測期產(chǎn)生的總費用,LT,n表示第n個檢測期期長.由系統(tǒng)退化過程的隨機性、預防性更換和故障更換策略的描述可知,第n個檢測期可能發(fā)生的事件如下.

事件1第n次檢測時,識別系統(tǒng)處于正常狀態(tài),無需進行維修活動.

事件2第n次檢測時,初次識別系統(tǒng)缺陷狀態(tài),且次品率未超出閾值RP,無需進行維修活動.

事件3第n次檢測時,非初次識別系統(tǒng)缺陷狀態(tài),次品率未超出閾值RP且質量檢測次數(shù)未超出閾值M,無需進行維修活動.

事件4第n次檢測時,質量檢測次數(shù)未超出閾值M,但次品率超出閾值RP,需進行基于質量的更新.

事件5第n次檢測時刻,質量檢測次數(shù)超出閾值M,需進行基于狀態(tài)的更新.

事件6系統(tǒng)在第n個檢測期內(nèi)突發(fā)故障,需進行基于故障的更新.

2.1 第n次檢測時,識別系統(tǒng)處于正常狀態(tài),無需 進行維修活動

(2)

2.2 第n次檢測時,初次識別系統(tǒng)缺陷狀態(tài),無需 進行維修活動

(3)

2.3 第n次檢測時,非初次識別系統(tǒng)缺陷狀態(tài),無 需進行維修活動

(4)

2.4 第n次檢測需進行基于質量的更新

(5)

(6)

(7)

2.5 第n次檢測時刻需進行基于狀態(tài)的更新

因該事件下備件已進行訂購,則必然存在M≥1,同時存在2種更新場景.

(8)

(9)

2.6 系統(tǒng)在第 n 個檢測期內(nèi)突發(fā)故障, 需進行基 于故障的更新

令TF為第n-1次檢測結束至系統(tǒng)故障點的時間段,該事件下,有n-K≤M成立.考慮系統(tǒng)故障時備件的狀態(tài),存在3種更新場景.

(10)

(11)

(12)

2.7 聯(lián)合策略優(yōu)化模型

由上述分析可得,第n個檢測期產(chǎn)生的總成本為

(13)

式中:χ(k)為示性函數(shù),若事件k發(fā)生則值為1,否則值為0;χ(k,j)也為示性函數(shù),若事件k下的場景j發(fā)生則值為1,否則值為0.

同樣可得,第n個檢測期的期長為

(14)

若N為[0,Γ]時間段內(nèi)總的檢測期數(shù),則該時間段內(nèi)的平均費用率C(T,M,RP)可表示為

(15)

該聯(lián)合策略模型可概括為以下非線性、混合整數(shù)、隨機優(yōu)化問題:

minC(T,M,RP)

(16)

s.t.β1≤RP<1

T,M∈N*

3 對比模型及優(yōu)化算法

3.1 對比模型

(17)

s.t.β1≤RP<1

T∈N*

3.2 離散事件仿真算法

因模型1和2的目標函數(shù)中存在大量不確定性因素,如系統(tǒng)狀態(tài)、備件狀態(tài)及[0,Γ]時間段內(nèi)的檢測期總數(shù)等,故通過離散事件仿真算法模擬系統(tǒng)的更新過程,實現(xiàn)對式(16)～(17)的近似求解.模型1的離散事件仿真算法流程圖如圖2所示,主要步驟如下.

步驟1設置模型初始參數(shù),包括時間閾值Γ、P、CIC、CIQ、CR、CP、CF、CS、CD、CH、系統(tǒng)兩階段故障率退化參數(shù)和次品率參數(shù).

步驟2設置決策變量T、M和RP.

步驟3設置[0,Γ]時間段內(nèi)的總費用CT=0,總的時間長度LT=0.

步驟4設置更新周期內(nèi)的當前檢測期數(shù)n=0,更新周期內(nèi)的當前檢測時刻TT=0.

步驟5根據(jù)相關分布及參數(shù)生成隨機持續(xù)時間X和Y及LR.并令x表示缺陷點,y表示故障點,有x=X和y=x+Y成立.

步驟6若LT<Γ,系統(tǒng)更新周期內(nèi)的檢測期數(shù)n=n+1和檢測時刻TT=TT+T逐漸累加;否則,輸出目標函數(shù)值C(T,M,RP).

步驟7若當前檢測時刻小于缺陷點到達時刻,則表明系統(tǒng)在檢測時刻處于正常狀態(tài).因此,若TT

步驟8若當前檢測時刻TT≥y則表明系統(tǒng)在第n個檢測期內(nèi)發(fā)生故障,且故障時刻并未訂購備件,即事件6中的場景3發(fā)生,在求得TD和TF的基礎上,計算CT和LT,并返回步驟4.反之,若TT≥y不成立則意味著TT時刻檢測時初次識別系統(tǒng)的缺陷狀態(tài),此時有K=n成立并可求得TD,轉到步驟9.

步驟10若LT<Γ,則系統(tǒng)更新周期內(nèi)的檢測期數(shù)按n=n+1逐漸累加,而檢測時刻按TT=TT+T逐漸累加,并轉到步驟11;否則,輸出目標函數(shù)值C(T,M,RP).

步驟11若TT≥y,首先應計算TF,然后進一步判斷故障時刻備件所處的狀態(tài).此時若LR≤y-KT,則備件已入庫,事件6中的場景1發(fā)生,計算CT和LT,并返回步驟4;若LR>y-KT,則備件已訂購但未交付,事件6中的場景2發(fā)生,計算CT和LT,并返回步驟4.若TT

步驟12通過n-KMT,則備件已訂購但未交付,事件5中的場景2發(fā)生,計算CT和LT,并返回步驟4.

步驟14若LR≤(n-K)T,則表明質量更新需求時刻備件已入庫,事件4中的場景1發(fā)生,計算CT和LT,并返回步驟4;否則,說明質量更新需求時刻備件已訂購但未交付,事件4中的場景2發(fā)生,計算CT和LT,并返回步驟4.

值得注意的是,將圖2中n-K

3.3 目標函數(shù)的估計與優(yōu)化

對于兩個模型給定的決策變量(T,M,RP)和(T,RP),根據(jù)3.2節(jié)中離散事件仿真算法分別求得平均費用率數(shù)據(jù).通過響應曲面法,利用Design Expert軟件分別擬合模型1和2的二次平均費用率回歸方程.擬合所得二次平均費用率函數(shù)連同約束條件構成非線性約束問題,進而借助MATLAB軟件求解模型.多次重復以上過程,以獲得全局近似最優(yōu)解.

4 實驗分析

4.1 參數(shù)設置

系統(tǒng)正常階段和缺陷階段故障率的退化參數(shù)分別為:α1=0.019,π1=1.5;α2=0.031,π2=1.5.模型次品率參數(shù)為:β1=0.005,λ=0.25,κ=0.008,ε=1.2.LR服從正態(tài)分布的參數(shù)為:ν=25,σ=3.其余參數(shù)設定為P=10 t/d,Γ=10 000 d,CIC=50元/次,CIQ=150元/次,CR=600元/次,CP=2 500 元/次,CF=4 300元/次,CS=250元/ (t·d-1),CD=80元/t,CH=15元/d.

4.2 模型1結果分析

采用三因素、三水平的Box-Behnken實驗方案來擬合模型1的費用率函數(shù)C(T,M,RP).首先,利用離散仿真算法進行17組實驗,每組實驗重復200次,得出相應(T,M,RP)組合下的平均費用率.其次,借助Design Expert軟件擬合二次費用率函數(shù)c(T,M,RP),得到的二次回歸方程如下:

(18)

圖3 c(T, M, RP) 隨T和M變化曲面Fig.3 Surface of c(T, M, RP) with variation of T and M

圖4 c(T, M, RP) 隨T和RP變化的曲面Fig.4 Surface of c(T, M, RP) with variation of T and RP

表2 模型1方差分析(ANOVA)相關結果Tab.2 Correlation results of ANOVA for Model 1

4.3 模型2結果分析

因模型2具有兩個決策變量,故選用兩因素、兩水平的Central Composite實驗方案進行13組實驗,每組實驗重復200次,以擬合模型2的費用率函數(shù)C(T,RP),得到的二次回歸方程如下:

(19)

圖5 c(T, RP)隨T和RP變化曲面Fig.5 Surface of c(T, RP) with variation of T and RP

表3 模型2方差分析(ANOVA)相關結果Tab.3 Correlation results of ANOVA for Model 2

將兩個模型的最優(yōu)結果進行比較,可知:模型1的最優(yōu)結果小于模型2的最優(yōu)結果.這說明與僅考慮質量控制的預防性維修和備件訂購聯(lián)合策略相比,同時考慮質量控制和系統(tǒng)狀態(tài)的預防性維修與備件訂購聯(lián)合策略,能夠有效降低系統(tǒng)的平均費用率.

4.4 敏感性分析

由4.1節(jié)可知,影響模型最優(yōu)解的參數(shù)有很多,此處以CF為例進行敏感性分析,這是因為與其他情況相比,設備故障后的維修費用更高,給企業(yè)帶來的經(jīng)濟損失更大,選取其進行敏感性分析具有一定的代表性.表4給出了不同CF取值下,模型的最優(yōu)結果.

表4 CF敏感性分析結果Tab.4 Sensitivity analysis results of CF

5 結語

對關鍵生產(chǎn)系統(tǒng)的質量控制、狀態(tài)維修與備件訂購進行了聯(lián)合建模與優(yōu)化.利用兩階段延遲時間故障過程刻畫系統(tǒng)的退化過程,并認為系統(tǒng)狀態(tài)與產(chǎn)品質量相關:系統(tǒng)處于正常狀態(tài)時,次品率保持不變;系統(tǒng)處于缺陷狀態(tài)時,次品率是關于缺陷狀態(tài)持續(xù)時間的單調(diào)遞增函數(shù).以檢測初次識別系統(tǒng)缺陷的時間點為基準劃分系統(tǒng)退化的前后期,設計了在系統(tǒng)退化初期檢查系統(tǒng)狀態(tài),而在退化后期檢查產(chǎn)品質量的兩階段檢測策略.為了降低系統(tǒng)故障率、避免系統(tǒng)過度維修,提出將系統(tǒng)狀態(tài)檢測信息和產(chǎn)品質量檢驗信息同時作為預防性維修決策的依據(jù).以檢測周期、狀態(tài)維修閾值和質量控制閾值為決策變量,建立了有限時域內(nèi)的平均費用率模型,并設計離散仿真算法對模型快速近似求解.通過與傳統(tǒng)的僅考慮質量控制的預防性維修與備件訂購聯(lián)合策略對比,實驗分析結果表明,在既定參數(shù)下本文所提的質量控制、狀態(tài)維修與備件訂購聯(lián)合策略能夠有效降低運營成本.