侯 曉，李晨松

（內蒙古民族大學數學科學學院，內蒙古 通遼 028043）

神經網絡是一門新興的邊緣交叉學科［1］。神經網絡節(jié)點的動態(tài)由時滯動態(tài)方程刻畫時，構成了時滯神經網絡。此外，時滯動態(tài)網絡由拓撲連接決定。在現有的神經網絡研究中，拓撲結構一般以切換的形式變化。文獻［2-3］研究了切換拓撲下的時滯神經網絡無源性。

無源性作為耗散性的特例，它可以保持系統(tǒng)的內部穩(wěn)定性。文獻［4］提出了有限時間無源性的概念。文獻［5］研究了切換非線性系統(tǒng)的有限時間無源性。文獻［6］研究了多智能體的有限時間無源性。文獻［7-8］研究了神經網絡的有限時間無源性。受文獻［5］的啟發(fā)，在文獻［7］的基礎上研究切換拓撲下的時滯神經網絡有限時間無源性。主要工作如下：1）通過設計切換信號和控制器得到在切換拓撲下時滯神經網絡具有有限時間無源性，進而得到有限時間鎮(zhèn)定；2）當2個時滯神經網絡系統(tǒng)都具有有限時間無源性時，證明它們的系統(tǒng)也具有有限時間無源性。

1 預備知識

符號說明：Rn為n維歐幾里得空間；Rm×n為m×n階實數矩陣空間；?表示非負整數集；表示向量x=(x1,x2,…,xn)T范數；表示矩陣A=(aij)n×n范數；diag(·)表示對角矩陣；?表示克羅內克積；Jn表示元素都為1 的n×n階矩陣；In表示單位矩陣；K類函數α:[0,+∞)→[0,+∞)是連續(xù)的，具有嚴格遞增性，且滿足α(0)=0。

引理1［5］對于切換非線性系統(tǒng)

假設存在C1正定函數Vi(x):Rn→R≥0，函數βij:Rn×Rm×Rm→(-∞,0]和K類函數γi(z):R≥0→R≥0，i,j=1,2,…,l，其中l(wèi)為子系統(tǒng)的個數，對所有的x和u滿足以下條件

并且對于一些εi＞0，使得＜+∞，則在狀態(tài)依賴型切換信號，即σ(x)=i，的條件下，系統(tǒng)（1）有限時間無源。

引理2［5］如果系統(tǒng)（1）是有限時間無源的，當u=0 時，它是有限時間穩(wěn)定的。此外，如果Vi(x(t)),i=1,2,…,l是徑向無界的，那么它是全局有限時間穩(wěn)定的。

引理3［9］對于任意向量x,y∈Rn，正數ε和正定矩陣Q∈Rn×n，有

引理4［10］對每一個x∈Rn，有θ1xTQ1x+…+θmxTQmx≤0 成立，其中θk≥0，k=1,2,…,m，Qk為對稱矩陣，則Ω1?…?Ωm=Rn，其中Ωk={x∈Rn:xTQkx≤0}。

引理5［11］對任意的xk∈R，k=1,2,…,n，0＜p≤1，則有

2 問題描述

考慮由N個節(jié)點構成的變時滯神經網絡模型

其中xi(t)=(xi1(t),xi2(t),…,xin(t))T∈Rn為第i個節(jié)點的狀態(tài)，N表示網絡中節(jié)點個數。Ci=diag(c1,…,cn)＞0，Ai=(aij)n×n，Bi=(bij)n×n和Ei=(eij)n×n為n×n階常數矩陣。Ci和Ai是第i個節(jié)點的神經元連接權重矩陣，Bi和Ei是相應的延遲神經元連接矩陣。d(t)和τ(t)是時變連續(xù)函數，0 ≤d(t)≤τ，0 ≤τ(t)≤τ。第i個節(jié)點的外部輸入為ωi(t)=(ωi1(t),ωi2(t),…,ωin(t))T。輸出為yi(t)=(yi1(t),yi2(t),…,yin(t))T，Li與Hi為相應n×n階常數矩陣。切換信號σ(t):[0,∞)→M={1,2,…,m}是一個分段常值函數，m是子系統(tǒng)的個數，切換控制輸入為uiσ(t)。神經元激活函數為f(xi)=(f1(xi1),f2(xi2),…,fn(xin))T：Rn→Rn和g(xi)=(g1(xi1),g2(xi2),…,gn(xin))T：Rn→Rn，并且f和g滿足下列假設1的條件。

假設1［9］對于神經元激活函數fk，gk，滿足fk(0)=gk(0)=0，k=1,2,…,n，且存在正的常數μk，ρk使得|fk(θ1)-fk(θ2) |≤μk|θ1-θ2|，|gk(θ1)-gk(θ2) |≤ρk|θ1-θ2|都成立。

3 主要結果

3.1 切換時滯神經網絡的有限時間無源性

下面研究切換拓撲下時滯神經網絡的有限時間無源問題，設計狀態(tài)反饋控制器為

其中：常數ki＞0，b＞0，0＜α＜1；U=diag(μ1,μ2,…,μn)，P=diag(ρ1,ρ2,…,ρn)，符號函數sign(xi(t))=diag。

將式（3）代入式（2）可得

下面研究設計切換信號σ(t)后系統(tǒng)（4）關于輸入ω與輸出y有限時間無源及有限時間鎮(zhèn)定問題。

定理1對于系統(tǒng)（4），若成立，其中，且。設計狀態(tài)依賴型切換信號

則該系統(tǒng)（4）在切換信號（5）下是關于輸入ω與輸出y有限時間無源的，其中，ω(t)=(ω1(t)T,ω2(t)T,…,ωN(t)T)T，y(t)=(y1(t)T,y2(t)T,…,yN(t)T)T。此外，當ω=0 時，系統(tǒng)（4）是有限時間鎮(zhèn)定的。

證明選取李雅普諾夫函數為V=。它沿著系統(tǒng)（4）的軌線導數為

根據引理3，有

根據假設1有

將式（8）代入式（7）得

再根據假設1可得

同理可得

將式（9）、式（10）、式（11）代入式（6）整理可得

又由引理5得

故通過引理1可得系統(tǒng)（4）在切換信號（5）下具有有限時間無源性。根據引理2，令ω(t)=0，故可以得到系統(tǒng)（4）在切換信號（5）的條件下有限時間鎮(zhèn)定。定理1得證。

3.2 反饋互聯(lián)系統(tǒng)的有限時間無源性

下面考慮當2個時滯神經網絡系統(tǒng)都具有有限時間無源性時，它們的反饋互聯(lián)系統(tǒng)也具有有限時間無源性。

考慮2個變時滯神經網絡系統(tǒng)

對系統(tǒng)Hl設計控制器為

系統(tǒng)H1與系統(tǒng)H2的反饋互聯(lián)形成反饋互聯(lián)系統(tǒng)H。其中ω1=r1-y2，ω2=r2+y1。系統(tǒng)H的輸入與輸出為。

假設2［5］對于系統(tǒng)H，有dimω1=dimr1=dimy2，dimω2=dimr2=dimy1。，即σ*(t)：[0,+∞)→M1×M2。下面考慮反饋互聯(lián)系統(tǒng)H的有限時間無源性。

定理2若具有控制器（14）的系統(tǒng)Hl(l=1,2)滿足定理1的條件，則在切換信號σ*(t)下，反饋互聯(lián)系統(tǒng)H是關于輸入r與輸出y有限時間無源的。

證明根據定理1可知，具有控制器（14）的系統(tǒng)Hl在切換信號σl(t)下是關于輸入ωl和輸出yl有限時間無源的，選取V(x1,x2)=V1(x1)+V2(x2) ，其中

成立。定義b3=min{b1,b2} ，故有

通過式（15）、式（16）、式（17）和引理4，引理5與切換信號σ?(t)可得

所以根據引理1，反饋互聯(lián)系統(tǒng)H在切換信號σ?(t)下是關于輸入r與輸出y有限時間無源的。定理2得證。接下來在參考文獻［13］的基礎上，進行數值仿真分析。

4 數值仿真分析

例考慮一個由5個節(jié)點組成的具有切換拓撲的時滯神經網絡系統(tǒng)（4），假設網絡中的每個節(jié)點是一個2維的時滯神經網絡，其中xi(t)=(xi1(t),xi2(t))T，i=1,2,3,4,5。當i=1時，C1=，A1=，B1=，E1=；當i=2 時，C2=，A2=，B2=，E2=；當i=3 時，C3=，A3=，B3=，E3=；當i=4 時，C4=，A4=，B4=，E4=；當i=5 時，C5=，A5=，B5=，E5=。

選擇激活函數為f(x)=sinx，g(x)=(|x+1|-|x-1|)，時滯函數為d(t)=1-sint，τ(t)=2-2 sint。為滿足假設1 的條件，故取U=diag(1,1)，P=diag(1,1)。當i=1 時，k1=0.148 2；當i=2 時，k2=0.163 5；當i=3時，k3=0.110 1；當i=4 時，k4=0.144 6；當i=5 時，k5=0.038 0。

對于控制器（3），取α=0.5，b=1.5，并且當i=1時=1.9=1.4；當i=2 時，=2.8=1；當i=3 時，=3.5=4.5；當i=4 時，=1.7=4.2；當i=5 時，=0.9=1。

對于系統(tǒng)輸出yi(t)=Lixi+Hiωi，當i=1 時，L1=，H1=；當i=2 時，L2=，H2=；當i=3 時，L3=，H3=；當i=4 時，L4=，H4=；當i=5 時，L5=，H5=。

切換信號σ(t)=arg{xT(Gk?Γ)x} ，令θ1=2，θ2=1.5，Γ=diag(2,1)。拓撲結構為

初始值選擇為x1(0)=(-5,-1)T，x2(0)=(-3,-4)T，x3(0)=(6,2)T，x4(0)=(4,-5)T，x5(0)=(4,2)T。狀態(tài)向量第一個分量的仿真結果見圖1，第二個分量的仿真結果與圖1一致。切換信號的仿真結果見圖2。

圖1 當ω(t)=0 時狀態(tài)x(t)的軌跡Fig. 1 The trajectories of the state x(t) while ω(t)=0

圖2 切換信號Fig. 2 The switching signal

5 結論

研究了切換拓撲下的時滯神經網絡有限時間無源性。1）通過設計控制器與切換信號，證明了切換拓撲下的時滯神經網絡具有限時間無源性，并在此基礎上得到了有限時間鎮(zhèn)定。2）當2個時滯神經網絡系統(tǒng)都具有有限時間無源性時，它們構成的反饋互聯(lián)系統(tǒng)也具有有限時間無源性。在接下來的工作中，將繼續(xù)研究切換時滯神經網絡的其他問題。