王 琦,沃維豐

（寧波大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,浙江 寧波 315211）

單調(diào)性公式由Almgren 于1979 年在文獻(xiàn)[1]中首次提出,橢圓方程解的單調(diào)性公式是關(guān)于橢圓方程的重要研究?jī)?nèi)容之一.Garofalo 等[2-3]首次提出了頻率函數(shù)方法,通過(guò)建立方程解的單調(diào)性公式得到具有散度形式的二階Laplace 方程解的唯一延拓性.之后,為了解決分?jǐn)?shù)階Laplacian 算子非局部性帶來(lái)的研究困難,Caffarelli 等[4]提出了一種延拓技術(shù),用于討論分?jǐn)?shù)階Laplacian 算子的相關(guān)問(wèn)題,即將非局部問(wèn)題簡(jiǎn)化為更高一維的局部問(wèn)題.基于此方法,Fall 等[5]建立了分?jǐn)?shù)階Laplace 方程與帶有權(quán)重的奇異或退化局部方程兩者之間的關(guān)聯(lián)性,進(jìn)而獲得了方程解的單調(diào)性公式.隨后,Luca等[6]研究了在Dirichlet 邊界條件下分?jǐn)?shù)階橢圓方程在邊界點(diǎn)上的單調(diào)性公式,并結(jié)合爆破分析得到了方程解的定性性質(zhì).

Fall 等[7]基于延拓方程解的單調(diào)性公式,證明了具有Hardy 勢(shì)的分?jǐn)?shù)階橢圓算子解的唯一延拓性,即算子表達(dá)式為:

其中:s? (0,1),m≥ 0,a?C1(Sn-1),且對(duì)Ch＞0和χ? (0,1)使得:

盡管在建立非局部問(wèn)題解的單調(diào)性公式方面已取得了部分成果,但是目前大多數(shù)工作都集中在非局部的分?jǐn)?shù)階Laplacian 算子條件下,對(duì)于更一般的非局部算子,如分?jǐn)?shù)階p-Laplacian 算子,相關(guān)單調(diào)性公式的研究報(bào)道較少.

本文研究了更一般的分?jǐn)?shù)階p-Laplacian 算子解的單調(diào)性公式.

其中:s? (0,1),p? (1,∞),n＞ 2,Cn,sp是一個(gè)依賴于n,s,p的正常數(shù);P.V.代表柯西主值.

與分?jǐn)?shù)階Laplacian 算子不同,當(dāng)p≠2 時(shí),分?jǐn)?shù)階p-Laplacian 算子是一個(gè)非線性非局部算子,因此,研究此類算子顯然更為復(fù)雜.結(jié)合相關(guān)的研究成果可知,針對(duì)分?jǐn)?shù)階p-Laplacian 算子的研究,一種方法是積分方程法[8],即建立分?jǐn)?shù)階 p-Laplace 方程與積分方程的等價(jià)性,通過(guò)運(yùn)用積分形式的移動(dòng)平面法研究方程解的相關(guān)性質(zhì).另一種方法是采用Caffarelli-Silvestre 延拓技術(shù)[9],得到分?jǐn)?shù)階p-Laplacian 算子相應(yīng)的局部方程,將相應(yīng)的擴(kuò)展問(wèn)題表述為半空間中具有奇異或退化權(quán)重的局部方程.此外,文獻(xiàn)[9]還證明了分?jǐn)?shù)階p-Laplacian 算子的另外兩種表達(dá)公式.而當(dāng)p=2時(shí),分?jǐn)?shù)階Laplacian 算子作為一種特殊形式,其單調(diào)性公式在文獻(xiàn)[10]中已得到證明.文獻(xiàn)[11]研究了分?jǐn)?shù)階Hardy-Hénon 算子正解的漸近行為和爆破估計(jì),得到了方程

在單位球中正解的單調(diào)性公式,其中s?(0,1),-2s＜α＜2s,(n+α)/(n-2s)＜p＜ (n+2s)/(n-2s),且n≥ 2.此外,文獻(xiàn)[12]研究了高階分?jǐn)?shù)Laplacian算子,并運(yùn)用Pohozaev 恒等式得到了四階橢圓方程解的單調(diào)性公式.因此,針對(duì)單調(diào)性公式的研究逐漸趨于豐富[13-16].

本文受Laplace 方程和分?jǐn)?shù)階Laplace 方程解的單調(diào)性公式啟發(fā),研究了分?jǐn)?shù)階p-Laplacian 算子解的單調(diào)性公式,將分?jǐn)?shù)階Laplacian 算子解的單調(diào)性公式推廣到更一般的應(yīng)用范圍.采用基于非線性非局部算子的Caffarelli-Silvestre 線性延拓技術(shù),通過(guò)定義一個(gè)合適的Dirichlet 邊界條件,證明了分?jǐn)?shù)階p-Laplacian 算子與局部方程之間的等價(jià)性,即將相應(yīng)的擴(kuò)展問(wèn)題表述為半空間中具有奇異或退化權(quán)重的局部方程.在分?jǐn)?shù)階p-Laplacian算子(-Δ)取s?(0,1)和p? (1,∞)情況下,將具有線性算子解的單調(diào)性公式推廣到非線性算子中.依托Caffarelli-Silverstre 的延拓技術(shù),通過(guò)現(xiàn)有結(jié)果建立方程的頻率函數(shù),并結(jié)合相關(guān)積分估計(jì)獲得具有非線性非局部方程解的單調(diào)性公式.與此同時(shí),討論了p＞ 1情況下的分?jǐn)?shù)階p-Laplace 方程解的單調(diào)性公式,從而更大程度上拓展了非局部分?jǐn)?shù)階Laplace 方程的研究成果.

1 準(zhǔn)備工作

在給出本文的主要定理前,首先引入一些記號(hào)以便后續(xù)書(shū)寫(xiě).

對(duì)于任何r＞ 0,定義

Sn=｛z? Rn+1:|z|=1｝表示一個(gè) Rn+1中單位為n維的球體.

dS表示n維球體上的體積元素.

dz=dxdy,z=(x,y) ? Rn×R 表示(n+1)維的體積元素.

接著引入有關(guān)分?jǐn)?shù)階p-Laplacian 算子相應(yīng)的延拓性質(zhì).

文獻(xiàn)[9]給出了引理1 的證明過(guò)程,并討論了分?jǐn)?shù)階p-Laplacian 算子其他定義形式的表示方法.引理1 對(duì)我們主要結(jié)果的證明至關(guān)重要.

引理1令s?(0,1)和p? (1,∞),設(shè)U x0(x,y)是下面邊值問(wèn)題的解:

且對(duì)p? (1,2/(2-s))需額外假設(shè) ?u(x0) ≠ 0,則對(duì)于u?(Rn),使得:

其中:x0?Rn,(x,y) ? Rn× (0,+∞).

特別地,當(dāng)p=2時(shí),我們有:

即滿足分?jǐn)?shù)階Laplacian 算子的經(jīng)典結(jié)果.

2 主要定理

首先定義方程解的頻率函數(shù),然后通過(guò)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得到主要定理.從引理 1 可獲得U x0(x,y) 是方程(2)的一個(gè)解,我們用φ替換Ux0,且為方便之后計(jì)算,后續(xù)研究都建立在r?(0,1)的條件下.

值得注意的是,令

滿足下面延拓問(wèn)題:

為了確保完整性,給出式(3)中頻率函數(shù)的定義.令z≠ 0,r? (0,R],且R＞ 0,定義函數(shù)

則函數(shù) N(r)的表達(dá)式為:

此外,在p=2 和A(0)=id情況下,上述給出的頻率函數(shù)也可以表示分?jǐn)?shù)階橢圓方程的頻率函數(shù),并且定義是良好的.另外,隨著二階橢圓方程組研究的不斷深入,文獻(xiàn)[17]建立了一類弱耦合的二階橢圓方程組的頻率函數(shù).最后,給出關(guān)于本文的主要研究結(jié)果.

定理1令s? (0,1),p? (1,∞),n＞ 2,函數(shù)N (r)定義如式(6).

則存在一個(gè)常數(shù)C＞0,使得:

是關(guān)于r? (0,r0)的一個(gè)非減函數(shù),其中r0? (0,1)和C是依賴于空間維數(shù)的量.

一旦有了單調(diào)性質(zhì),下面的推論將順理成章.

推論1存在一個(gè)γ,使得極限成立.

3 定理1 的證明

證明不失一般性,令0＜r＜1 和z=(x,y).

首先由定義

計(jì)算出N 的導(dǎo)數(shù),得:

接著,將證明的剩余部分分為3 個(gè)步驟.

步驟1為了得到一些想法,首先給出H(r)的導(dǎo)數(shù).

對(duì)于r0? (0,R),考慮以下極限

另一方面,對(duì)于任意的r? (r0/2,R)和θ?,有:

因此,由式(7)和式(8),并利用控制收斂定理可得:

由于式(9)中H′在區(qū)間(0,R) 上具連續(xù)性,故

此外,利用φ方程式,可獲得:

將式(11)代入式(10),整理后得:

步驟2接著計(jì)算有關(guān)D(r) 的導(dǎo)數(shù).

現(xiàn)將問(wèn)題寫(xiě)成以下形式:

同時(shí),對(duì)于任意的r? (0,r0),令

式(14)利用Rellich 恒等式,對(duì)于r? (0,R)幾乎處處有:

將式(14)和式(15)代入D′ (r)表達(dá)式,同時(shí)結(jié)合式(13)得:

步驟3修正頻率函數(shù)的單調(diào)性.

結(jié)合步驟1 中H′ (r)和步驟2 中D′(r),代入N′(r)表達(dá)式,有:

由Cauchy-Schwarz 定理,可得:

因此,最終可得:

其中C是一個(gè)僅與空間維數(shù)n有關(guān)的量.

至此定理1 的結(jié)論成立.