彎管內(nèi)流體受到合外力公式的推導(dǎo)及應(yīng)用

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

當(dāng)流體通過彎管時(shí),運(yùn)動方向發(fā)生了改變,則動量發(fā)生了改變,因此流體對彎管會產(chǎn)生作用力.只要推出彎管內(nèi)的流體受到合外力的公式,通過分析合外力,即可得到流體受到彎管作用力的關(guān)系式,那么根據(jù)牛頓第三定律可知流體對彎管的作用力關(guān)系式.下面首先推導(dǎo)彎管內(nèi)的流體受到合外力矢量的公式,然后用來解答兩道有關(guān)彎管內(nèi)的流體對彎管產(chǎn)生作用力的問題.

1 公式推導(dǎo)

如圖1(a)所示,液體在彎管內(nèi)穩(wěn)定流動,可視為理想流體.取橫截面a1和a2之間的液體作為研究對象,經(jīng)過很短時(shí)間Δt后,液體運(yùn)動到橫截面b1和b2之間,如圖1(b)所示.

圖1 流體通過彎管時(shí)初、末狀態(tài)對比圖

在Δt時(shí)間內(nèi)研究對象的動量增量等于b1b2段的總動量減去a1a2段的總動量.然而,對于穩(wěn)定流動,在橫截面b1和a2之間的液體各點(diǎn)的流速不隨時(shí)間而改變,即b1a2段液體的總動量保持不變,因此,研究對象在時(shí)間Δt內(nèi)動量的增量等于出口處a2b2段的總動量與入口處a1b1段的總動量之差.這兩段液柱的長度都很短,因此可視為圓柱體,并且認(rèn)為每段內(nèi)部各點(diǎn)的流速相同,那么在Δt時(shí)間內(nèi)研究對象動量的增量為

Δp=ρΔS2Δl2v2-ρΔS1Δl1v1

該研究對象可視為由液體微元組成的質(zhì)點(diǎn)組,若忽略研究對象受到的重力,則其受到的外力有3個(gè),即兩端受到其他部分液體的壓力以及背部受到管壁的壓力,如圖2所示.

圖2 對彎管內(nèi)整個(gè)流體受力分析

設(shè)在Δt內(nèi)外力的矢量和關(guān)于時(shí)間的平均值為F,根據(jù)質(zhì)點(diǎn)組的動量定理有FΔt=Δp,可知

當(dāng)Δt→0時(shí)

而且平均力為瞬時(shí)值,則合外力的瞬時(shí)值為

F=ρΔS2v2v2-ρΔS1v1v1

根據(jù)不可壓縮流體的連續(xù)性,則流量為

Q=ΔS2v2=ΔS1v1

聯(lián)立方程可得

F=ρQ(v2-v1)

(1)

式(1)即為彎管內(nèi)的流體受到合外力矢量的公式.

合外力等于各外力的矢量和,即

F=F1+F2+F3

流體的質(zhì)量流率為

由此可知,若忽略彎管內(nèi)流體受到的重力以及兩端受到的壓力,則流體受到彎管的作用力矢量為

F3=ρQ(v2-v1)

若彎管粗細(xì)均勻,則流量為

可得

F3=ρSv(v2-v1)

根據(jù)牛頓第三定律可知,流體對彎管的作用力矢量為

F′3=-ρSv(v2-v1)

在上述推導(dǎo)過程中,關(guān)鍵是分析很短一段時(shí)間內(nèi)整體的動量變化量.由于時(shí)間很短,則從入口流入的質(zhì)量與從出口流出的質(zhì)量都很小,這樣才能分別視為小圓柱體做勻速運(yùn)動,而且在它們之間的液體的動量不隨時(shí)間而改變,因此,整體動量的變化量等于很短時(shí)間內(nèi)流出液體的動量與流入液體的動量之差.把這種推導(dǎo)方法稱為流管法,是解決流體力學(xué)問題常用的方法[1].此外,在推導(dǎo)過程中,通過對時(shí)間取極限,可把平均值轉(zhuǎn)化為瞬時(shí)值.

2 公式應(yīng)用

對于流體對彎管產(chǎn)生作用力的大小和方向,既可直接利用式(1)來求解,也可利用式(1)的推導(dǎo)方法即流管法來求解.

【例1】(武漢市2019屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研測試題第18題)運(yùn)動員在水池上方做飛行表演,他操控的噴射式懸浮飛行器將軟水帶豎直送上來的水流反轉(zhuǎn)180°后從噴嘴豎直向下噴出,令自己懸浮在空中.已知運(yùn)動員和裝備的總質(zhì)量為90 kg,兩個(gè)噴嘴的直徑均為10 cm,重力加速度g=10 m/s2,水的密度ρ=1×103kg/m3,則噴嘴處噴水的速度大約為( )

A.2.7 m/s B.5.4 m/s

C.7.6 m/s D.10.8 m/s

解析:為了使水流方向改變180°,每個(gè)噴嘴都連接一段彎管,而且彎管兩端開口豎直向下,那么水流在彎管兩端的速度方向相反,如圖3所示.

圖3 彎管改變水流方向

當(dāng)水流通過彎管時(shí),由于動量方向發(fā)生了改變,因此對彎管產(chǎn)生豎直向上的彈力F.若裝備懸浮在空中,則受力平衡,可知2F=mg.

設(shè)水流的速度大小為v,以彎管內(nèi)的整個(gè)水柱為研究對象,可視為由液體微元組成的質(zhì)點(diǎn)組,在很短時(shí)間Δt內(nèi)水柱一端發(fā)生的位移Δx=vΔt,從總體效果來看,彎管內(nèi)整個(gè)水柱動量的變化量等于出口處剛流出一小段水柱的動量與入口處剛流入一小段水柱的動量之差,而小水柱的質(zhì)量m0=ρSvΔt,以豎直向下為正方向,則彎管內(nèi)整個(gè)水柱的動量變化量為

Δp=m0v2-(-m0v1)

對彎管內(nèi)整個(gè)水柱由動量定理有

F′Δt=Δp

可得水柱受到管壁的作用力為

F=2ρSv2

聯(lián)立方程可得

代入數(shù)據(jù)得

v2≈30 m2/s2

由此知v≈5.4 m/s.選項(xiàng)B正確.

點(diǎn)評：解題關(guān)鍵是理解水流對噴射式懸浮飛行器產(chǎn)生作用力的原理,即水流通過彎管時(shí)對彎管產(chǎn)生作用力.需利用題中的信息“將軟水帶豎直送上來的水反轉(zhuǎn)180°后從噴嘴豎直向下噴出”來判斷水流方向的改變.此外,在推導(dǎo)動量變化量時(shí)利用了流管法,即選擇彎管內(nèi)整個(gè)水柱為研究對象,在很短時(shí)間內(nèi),動量的變化量只與這段時(shí)間內(nèi)在彎管出口處噴出的一段小水柱和入口處進(jìn)入的一段小水柱的動量有關(guān),相當(dāng)于一小段水柱從彎管的入口處遷移到出口處,運(yùn)動方向發(fā)生改變,則動量發(fā)生改變,對彎管產(chǎn)生作用力.

【例2】如圖4所示,用一個(gè)水平放置的90°彎管輸送水流,已知彎管兩端管徑分別為d1=150 mm,d2=75 mm,左端管口處的壓強(qiáng)p1=2.06×105Pa,流量Q=0.02 m3/s.求:水流對彎管的作用力大小和方向.

圖4 例2題圖

解析:水流在彎管入口與出口處的速率分別為

設(shè)彎管出口處的壓強(qiáng)為p2,取同一流線上在入口處與出口處的兩點(diǎn),根據(jù)伯努利方程可知

由此得

設(shè)彎管內(nèi)的水流受到彎管的作用力大小為F,利用式(1)分別在x軸與y軸方向列方程為

p1S1-Fx=ρQ(0-v1)

Fy-p2S1=ρQ(v2-0)

聯(lián)立方程可得水流受到彎管作用力的分力為

Fx=3 665 NFy=958 N

由勾股定理可知水流受到的彎管的作用力大小為F=3 786 N,起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的矢量位于第二象限,與x軸反方向的夾角為

由牛頓第三定律可知,水流對彎管的作用力大小F′=3 786 N,起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的矢量位于第四象限,與x軸正方向的夾角θ=14.66°.

點(diǎn)評:該題具有很強(qiáng)的綜合性,不僅利用流量公式推導(dǎo)流速,而且應(yīng)用伯努利方程推導(dǎo)壓強(qiáng).在對彎管內(nèi)的流體應(yīng)用動量定理列方程時(shí),直接利用流體受到彎管的作用力矢量公式,但由于3個(gè)力的方向不在同一直線上,因此需利用正交分解法列方程,這樣便于計(jì)算彎管對水流產(chǎn)生作用力的大小和方向.

3 總結(jié)

綜上所述,解答有關(guān)液體通過彎管的動力學(xué)問題可有兩種方法,即流管法與公式法.對彎管內(nèi)整個(gè)液體受到合外力矢量公式的推導(dǎo)方法非常巧妙,這種方法的特點(diǎn)是整體法中含有微元法,即選擇管道內(nèi)的流體整體作為研究對象,但運(yùn)動過程是一小段時(shí)間,流體整體動量的變化量與整體無關(guān),只與很短時(shí)間內(nèi)從管道兩端流入與流出的小段流體的動量有關(guān);同理,管道內(nèi)流體整體動能的變化量與整體無關(guān),只與很短時(shí)間內(nèi)從管道兩端流入與流出的小段流體的動能有關(guān),這為解答有關(guān)流體動力學(xué)問題提供了巧妙的思路和方法.