黃 剛,萬(wàn)雨龍

(湖南工業(yè)大學(xué)軌道交通學(xué)院,株洲 412007)

0 引言

永磁同步電機(jī)(permanent magnet synchronous motor,PMSM)由于其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、功率密度高、性能高和損耗低,被廣泛應(yīng)用于機(jī)器人、運(yùn)輸、電梯和機(jī)床等工業(yè)領(lǐng)域中[1]。作為一個(gè)非線性系統(tǒng),永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)在各種條件下運(yùn)行時(shí),往往會(huì)因非線性、參數(shù)不確定性和外部擾動(dòng)而失真,從而導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)不理想的動(dòng)態(tài)響應(yīng)[2]。在這種情況下,使用傳統(tǒng)的線性反饋控制可能無(wú)法保證電機(jī)系統(tǒng)的整體性能。因此,需要一種替代方法來(lái)保持電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)器的高動(dòng)態(tài)性能。目前已有多種非線性控制方法來(lái)提高電機(jī)系統(tǒng)的控制性能,包括反步控制[3]、自適應(yīng)控制[4]、模糊邏輯控制[5]、滑?？刂芠6]和模型預(yù)測(cè)控制[7]等。在這些方法中,反步控制是一種基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的非線性系統(tǒng)的系統(tǒng)迭代和遞歸方法,它確保了全局漸近穩(wěn)定性[8]。這種方法可以將復(fù)雜的非線性控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的降階子系統(tǒng)[9]。通過(guò)遞歸設(shè)計(jì)和虛擬控制變量,可以導(dǎo)出用于電機(jī)位置跟蹤或速度調(diào)節(jié)的控制方法。然而,反步控制方法是基于模型的,不能確保PMSM系統(tǒng)在存在不確定性和外部擾動(dòng)的情況下的魯棒性[10]?；？刂?sliding mode control,SMC)因其對(duì)干擾的魯棒性、快速響應(yīng)時(shí)間和易于實(shí)現(xiàn)而日益受到關(guān)注[11]。該控制方法主要通過(guò)其非連續(xù)切換項(xiàng)獲得強(qiáng)魯棒性能,然而不適當(dāng)?shù)那袚Q增益將會(huì)引起系統(tǒng)抖振[12]。將SMC與擾動(dòng)觀測(cè)器相結(jié)合是提高基于SMC方法魯棒性的一種有效方法。擾動(dòng)觀測(cè)器可以估計(jì)未知擾動(dòng)(包括參數(shù)變化和外部擾動(dòng)),并將其前饋給SMC,從而減少抖振[13]。非線性擾動(dòng)觀測(cè)器(nonlinear disturbance observer,NDO)因其易于實(shí)現(xiàn)并產(chǎn)生可靠的擾動(dòng)估計(jì),成為目前的主流擾動(dòng)觀測(cè)器技術(shù)[4]。然而,此類研究使用的NDO大都采用固定觀測(cè)器增益,這可能導(dǎo)致觀測(cè)器在某些關(guān)鍵場(chǎng)景下提供較慢的收斂速度,例如外部負(fù)載扭矩的突然變化[13]。

本文的主要目標(biāo)是采用反步控制(Backstepping)和SMC結(jié)合的方法來(lái)設(shè)計(jì)一種反步滑?？刂破?BSMC)用于位置跟蹤控制。然而,由于反步方法的固定收斂增益,BSMC可能會(huì)在位置步長(zhǎng)分布中引起大的過(guò)沖。為了解決這個(gè)問(wèn)題,本文提出了一種包含自適應(yīng)收斂增益的自適應(yīng)反步滑模控制方法(ABSMC)。該方法,既可以將實(shí)際位置加速到目標(biāo)位置,又可以減少過(guò)沖。此外,通過(guò)改進(jìn)NDO的非線性觀測(cè)器增益函數(shù),可以估計(jì)參數(shù)不確定性和外部負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng),并為ABSMC提供前饋補(bǔ)償,保持ABSMC的魯棒性,減少穩(wěn)態(tài)誤差。

1 PMSM數(shù)學(xué)模型

假定三相PMSM為理想電機(jī),且滿足:忽略電機(jī)鐵心飽和;不計(jì)電機(jī)中的渦流與磁滯損耗;電機(jī)中的電流為對(duì)稱的三相正弦電流。則PMSM系統(tǒng)在轉(zhuǎn)子d-q參考系中的數(shù)學(xué)模型可以表示為[2]:

(1)

(2)

(3)

(4)

式中:id、iq分別為d-q坐標(biāo)系下的定子電流,vd、vq分別為d-q坐標(biāo)系下的定子電壓,Ld、Lq分別為d-q坐標(biāo)系下的定子電感,ω為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度,θ為轉(zhuǎn)子機(jī)械角度,P為磁極對(duì)數(shù),Φ為電機(jī)永磁磁通,J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,R為定子相電阻,B為粘滯摩擦系數(shù),TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

假設(shè)TL為未知,但在較小的采樣間隔內(nèi)變化緩慢。在實(shí)際操作條件下,電機(jī)經(jīng)常會(huì)受到內(nèi)部參數(shù)變化和外部擾動(dòng)的影響。根據(jù)式(3),力學(xué)方程可以改寫為:

(5)

式中:Jn和Bn分別是J和B額定值,并且J=Jn+ΔJ,B=Bn+ΔB。

2 自適應(yīng)反步滑模控制器設(shè)計(jì)

2.1 反步滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

為了便于控制器的設(shè)計(jì),把PMSM系統(tǒng)式(1)～式(4)改寫為式(6)～式(9)。

(6)

(7)

(8)

(9)

式(6)～式(8)用于構(gòu)建q軸電流控制器(圖1中的步驟1～步驟3),式(9)用于構(gòu)建d軸電流控制器(圖1中的步驟4)。

圖1 基于ABSMC+NDO的PMSM控制原理圖

(10)

根據(jù)式(10),式(7)的虛擬控制輸入被設(shè)計(jì)為:

(11)

式中:c0>0是漸近收斂速度的正常數(shù)。

(12)

(13)

然后可以將式(8)的虛擬控制輸入確定為:

(14)

(15)

式(11)和式(15)中的正增益c0和c1表示反步控制器的收斂增益。如果這些增益較大,系統(tǒng)將具有更快的響應(yīng)和優(yōu)越的魯棒性,但在階躍信號(hào)中將發(fā)生較大的過(guò)沖。如果這些增益的值很小,系統(tǒng)將響應(yīng)緩慢,過(guò)沖將減少。因此,在穩(wěn)定時(shí)間和過(guò)沖之間存在權(quán)衡。這個(gè)問(wèn)題將在2.3節(jié)中通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)自適應(yīng)算法來(lái)解決。

(16)

結(jié)合式(14)和式(15),式(16)可改寫為:

(17)

滑動(dòng)模塊的恒定比例速率趨近律[13]設(shè)計(jì)如下:

(18)

由此得到的控制系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的:

對(duì)e2求導(dǎo)可得:

(19)

式中:

(20)

結(jié)合式(7)和式(13),式(20)可改寫為:

(21)

基于上述方程,vq可表示為:

(22)

(23)

式中:α1>0,并且使用趨近律[13]得到:

(24)

并對(duì)式(23)求導(dǎo)得:

(25)

結(jié)合式(24)和式(25)可得:

(26)

2.2 非線性擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

非線擾動(dòng)觀測(cè)器(NDO)設(shè)計(jì)為:

(27)

(28)

內(nèi)部狀態(tài)量z被定義為:

(29)

(30)

本文設(shè)計(jì)了一個(gè)非線性設(shè)計(jì)函數(shù)p(x1)為:

(31)

式中:L1和L2>0是常參數(shù)。該NDO采用了結(jié)合一階和二階狀態(tài)變量的非線性設(shè)計(jì)函數(shù)p(x1)。將非線性函數(shù)p(x1)對(duì)x1進(jìn)行微分得到:

l(x1)=L1+2L2x1sgn(x1)≥L1

(32)

觀測(cè)器增益l(x1)被構(gòu)造為滿足觀測(cè)器誤差的全局指數(shù)穩(wěn)定性的條件[13]。很明顯,與文獻(xiàn)[15]中使用的恒定增益L1相比,本文的l(x1)具有更大的幅度。非線性增益l(x1)可以提供更快的收斂速度,同時(shí)也減少了觀測(cè)器誤差[13]。

2.3 自適應(yīng)反步滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

式中:f(e0)=λe-η|e0|0.5,η>0是實(shí)驗(yàn)確定的閾值。

3 仿真與結(jié)果分析

利用MATLAB/Simulink仿真軟件對(duì)PMSM系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn),仿真模型如圖1所示,電機(jī)參數(shù)選取如表1所示。

表1 PMSM的參數(shù)值

控制器參數(shù)包括BSMC的參數(shù)c0、c1、k1、k2、k3、k4、α1;以及自適應(yīng)算法的參數(shù)δ、λ、η。其中c0=c1,k1=k3,k2=k4。在恒定比例速率趨近律[13]下,參數(shù)(k1、k2)和(k3、k4)與vq和vd有關(guān)。首先,我們通過(guò)運(yùn)行具有梯形速度運(yùn)動(dòng)階躍信號(hào)但沒(méi)有NDO組合的電機(jī)來(lái)配置BSMC參數(shù)。初始值c0和c1被選擇為大于0.5an。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果確定了恒定比例速率趨近律[13]的因子k1、k2、k3、k4和α1,以便有效地減少系統(tǒng)抖振;然后,我們逐漸增加c0、c1,以將瞬態(tài)位置誤差減小到可接受的值。在預(yù)先調(diào)整BSMC的參數(shù)后,將NDO與BSMC相結(jié)合,以減少電機(jī)系統(tǒng)中的擾動(dòng)和不確定性的影響。添加NDO后,瞬態(tài)位置誤差應(yīng)減小。觀測(cè)器增益L2=0,L1首先選擇較小的值,然后L1逐漸增加以獲得可接受的位置誤差。類似地,在保持合適的L1的情況下,我們將L2配置為較小的值,并逐漸增加L2,以進(jìn)一步減少穩(wěn)態(tài)位置誤差。在選擇了BSMC和NDO的參數(shù)后,調(diào)整自適應(yīng)增益(λ和η),從而調(diào)整收斂增益c0和c1。通過(guò)進(jìn)行實(shí)驗(yàn),我們得到λ的值在1～4范圍內(nèi),η在0.1～2范圍內(nèi)時(shí)將得到更好的結(jié)果。閾值δ被配置為從一個(gè)小值開始,并逐漸增加,直到過(guò)沖減少。

(a) 位置跟蹤 (b) 自適應(yīng)收斂增益

(a) e0 (b) e1

(a) e0 (b) e1

4 結(jié)論

本研究提出了一種基于ABSMC和NDO的提高PMSM系統(tǒng)位置響應(yīng)的有效方法。ABSMC位置控制器包括BSMC和自適應(yīng)收斂增益算法,BSMC是反步和滑?？刂频慕Y(jié)合,簡(jiǎn)化了控制結(jié)構(gòu),提高了位置跟蹤的動(dòng)態(tài)響應(yīng),當(dāng)電機(jī)在當(dāng)電機(jī)在梯形階躍信號(hào)下運(yùn)行時(shí),使用自適應(yīng)收斂增益算法來(lái)減少大的過(guò)沖位置響應(yīng);并用具有非線性觀測(cè)器增益函數(shù)的NDO來(lái)估計(jì)參數(shù)和外部負(fù)載轉(zhuǎn)矩的不確定性,將其用作ABSMC的前饋補(bǔ)償。仿真對(duì)比結(jié)果證實(shí)了所提方法的有效性,表明該方法可以提高PMSM控制系統(tǒng)的整體性能,包括快速瞬態(tài)響應(yīng)、小的穩(wěn)態(tài)位置誤差、減少過(guò)沖量和對(duì)未知擾動(dòng)的魯棒性。