多路絕對(duì)激光測(cè)距儀精密三維控制網(wǎng)的建立與解算

黃 赫,范百興,段童虎,陳 哲,鄒方星

(信息工程大學(xué),鄭州 450001)

現(xiàn)代工業(yè)的飛速發(fā)展對(duì)大尺寸精密測(cè)量技術(shù)的測(cè)量精度、測(cè)量范圍、測(cè)量效率等要求越來越高[1-5]。而全局測(cè)量對(duì)整體測(cè)量的性能和適用性起決定作用,是控制精密測(cè)量精度的基礎(chǔ)[6],故建立高精度的控制網(wǎng)在粒子加速器準(zhǔn)直及預(yù)準(zhǔn)直階段磁鐵定位[7-9]、飛機(jī)零部件裝配定位[10-11]、大型望遠(yuǎn)鏡定位校準(zhǔn)[12-13]等工程及裝備制造領(lǐng)域十分必要。以高能同步輻射光源(high energy photon source,HEPS)儲(chǔ)存環(huán)預(yù)準(zhǔn)直單元實(shí)驗(yàn)研究項(xiàng)目的磁鐵高精度定位需求為背景和出發(fā)點(diǎn),其預(yù)準(zhǔn)直階段中優(yōu)于±30 μm磁鐵定位精度要求點(diǎn)位測(cè)量精度優(yōu)于±10 μm,要使點(diǎn)位測(cè)量精度達(dá)到該需求就必須要求控制網(wǎng)的平均點(diǎn)位精度優(yōu)于±5 μm,而如今以全站儀、激光跟蹤儀為主體建立的控制網(wǎng)很難滿足這一精度需求。目前激光測(cè)距類儀器測(cè)距精度最高可達(dá)±0.3 μm/m,遠(yuǎn)高于測(cè)角精度(目前最高可達(dá)±0.5″),僅通過測(cè)距建立精密三維測(cè)邊控制網(wǎng),無需引入角度測(cè)量,可以避免角度測(cè)量所帶來的誤差,具有很高的理論精度。

目前,使用激光跟蹤儀建立高精度控制網(wǎng)是大尺寸全局測(cè)量精密控制的有效手段。由于激光跟蹤儀測(cè)距精度遠(yuǎn)高于測(cè)角精度,近年來,許多學(xué)者在激光多邊法精密測(cè)量方面進(jìn)行了大量研究[14-20],取得了較為可觀的研究進(jìn)展。

多路絕對(duì)激光測(cè)距儀在0.2～30 m的測(cè)量范圍內(nèi)可直接測(cè)量點(diǎn)間距離,其測(cè)距不確定度小于±0.5 μm/m且最高可達(dá)±0.3 μm/m;可實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)直器與目標(biāo)反射鏡之間的絕對(duì)測(cè)距[21-22],如圖1所示。該儀器具有測(cè)量精度高、操作方便、直接量距等優(yōu)點(diǎn),突破了現(xiàn)有的測(cè)距模式和精密三維控制網(wǎng)的布網(wǎng)方法。

圖1 準(zhǔn)直器與反射鏡間絕對(duì)測(cè)距

本文基于多路絕對(duì)激光測(cè)距儀高精度的絕對(duì)測(cè)距性能,測(cè)量所有控制點(diǎn)間的距離,利用高精度的測(cè)距值建立精密三維測(cè)邊控制網(wǎng),并建立了對(duì)應(yīng)的僅含控制點(diǎn)間距離的秩虧自由網(wǎng)平差模型。在平差之前,利用改進(jìn)的LM(levenberg-marquardt)算法解超定非線性方程組迭代求解的方法,在未知數(shù)任意取值的前提下實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)概算;并選用數(shù)量及布局不同的控制點(diǎn)設(shè)計(jì)了三維測(cè)邊網(wǎng)的建網(wǎng)方案,對(duì)照方案,在整體范圍為8 m×3.5 m×2.5 m的大理石標(biāo)定場(chǎng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn),建立了高精度的三維測(cè)邊控制網(wǎng),最后通過坐標(biāo)反算距離與原始測(cè)距數(shù)據(jù)對(duì)比,驗(yàn)證了控制網(wǎng)精度的可靠性。

1 僅含控制點(diǎn)間距離的三維測(cè)邊網(wǎng)平差模型

如圖2所示,設(shè)三維測(cè)邊控制網(wǎng)中共有n個(gè)相互通視的控制點(diǎn),用多路絕對(duì)激光測(cè)距儀測(cè)量第i(i=1,2,…,n)個(gè)控制點(diǎn)與第j(j=1,2,…,n且j≠i)個(gè)控制點(diǎn)之間的測(cè)距值為Sij(1≤i≤n,1≤j≤n,i≠j),則得到式(1)所示的n(n-1)個(gè)觀測(cè)方程:

圖2 多路絕對(duì)激光跟蹤干涉儀建立三維測(cè)邊網(wǎng)

圖3 LM算法迭代求解流程

(i≠j).

(1)

對(duì)觀測(cè)方程式(1)線性化,可得到如式(2)所示的n(n-1)個(gè)誤差方程:

(2)

式(2)中的自由項(xiàng)為:

(3)

(i≠j).

(4)

若使整個(gè)控制網(wǎng)可解,觀測(cè)方程個(gè)數(shù)應(yīng)大于等于未知參數(shù)個(gè)數(shù),即n(n-1)≥3n,進(jìn)一步可得n≥4,故控制點(diǎn)不得少于4個(gè)且可以相互通視觀測(cè)。

2 隨機(jī)初值的控制網(wǎng)坐標(biāo)概算

控制網(wǎng)進(jìn)行平差解算前,需得到所有未知參數(shù)的近似值,而近似值的選取會(huì)直接影響平差結(jié)果[24-25]。若近似值選取不當(dāng),即如果控制點(diǎn)間相對(duì)位置關(guān)系與實(shí)際關(guān)系存在質(zhì)的差異,整個(gè)三維測(cè)邊控制網(wǎng)就無法得到正確的平差解。因此完成三維測(cè)邊控制網(wǎng)的坐標(biāo)概算是一項(xiàng)十分重要的工作。

目前,多臺(tái)或多站位激光跟蹤儀建立的三維測(cè)邊網(wǎng)以高效率、高精度等優(yōu)勢(shì)被廣泛使用,其坐標(biāo)概算是基于激光跟蹤儀的極坐標(biāo)定位原理,通常以測(cè)站1坐標(biāo)系為概算坐標(biāo)系,直接測(cè)量控制點(diǎn)的坐標(biāo)作為平差所需坐標(biāo)近似值[26]。而多路絕對(duì)激光測(cè)距儀不含坐標(biāo)測(cè)量功能,引入多種儀器聯(lián)合測(cè)量勢(shì)必會(huì)大大減弱建網(wǎng)的便捷性。

式(1)所列方程組,方程數(shù)遠(yuǎn)大于未知數(shù),屬于超定方程組。故可以將坐標(biāo)概算轉(zhuǎn)化為超定方程組求解問題。本文采用改進(jìn)的LM算法迭代求解非線性超定方程組,通過隨機(jī)取一組初值X0∈Rn實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)概算。

2.1 觀測(cè)方程組

當(dāng)n滿足n≥4的解算條件時(shí),根據(jù)式(1)可建立含n(n-1)個(gè)觀測(cè)方程的超定方程組F(x1,y1,z1,…,xn,yn,zn)=0,如下所示:

(5)

2.2 改進(jìn)的LM算法迭代求解非線性超定方程組

超定方程組F(x1,y1,z1,…,xn,yn,zn)=0記為F(X)=0,該方程組由觀測(cè)方程組成,故式(5)至少存在一組滿足條件的非空解集X*。

牛頓迭代法是一種非線性方程組的有效解法,其通過計(jì)算每次迭代所使用的搜索方向,即牛頓步,進(jìn)行迭代求收斂解[27]。但牛頓步的計(jì)算需要非奇異的雅各比矩陣,而超定方程組的雅各比矩陣屬于奇異陣,故牛頓法在求解該超定方程組時(shí)不再適用[28]。

Levenberg和Marquardt提出的LM算法有效解決了雅各比矩陣屬于奇異陣的問題。本文在LM算法基礎(chǔ)上,基于信賴域技術(shù),通過修改迭代參數(shù),得到了一種能有效求解非線性方程組的改進(jìn)的LM算法。算法改進(jìn)后具有超線性收斂性,故可通過隨機(jī)取初值X0迭代求解,進(jìn)而應(yīng)用在解決三維測(cè)邊網(wǎng)坐標(biāo)概算的問題上。

應(yīng)用改進(jìn)的LM法可以解決超定非線性方程組的雅各比矩陣不可逆的問題,通過式(6)計(jì)算每次迭代的搜索方向,即每次迭代的試探步,記第k次迭代的試探步為dk,并通過式(8)判斷是否接受dk,進(jìn)而迭代得到收斂解。

(6)

式中:F(Xk)為方程組F在第k次迭代解集Xk處的值,Jk為F(X)在X=Xk處的雅各比矩陣,λk為迭代參數(shù),I為單位陣。

λk的選取對(duì)使用LM算法得到非線性方程組的收斂解至關(guān)重要。本文選取λk為:

(7)

由式(7)可知,在迭代求解過程中,如果在k次迭代中,當(dāng)Xk遠(yuǎn)離X*時(shí),||F(Xk)||較大,||F(Xk)||δ/(1+||F(Xk)||δ)趨近于1,此時(shí)λk≈μk;當(dāng)Xk接近X*時(shí),||F(Xk)||趨近0,此時(shí)λk≈μk||F(Xk)||δ,因此可以將隨機(jī)值賦予初始值集X0。

聯(lián)合式(6)和式(7)即可計(jì)算出第k次迭代求解集的試探步dk,根據(jù)式(8)判斷是否采用試探步對(duì)解集進(jìn)行改正。

(8)

如式(8)所示,是否接受試探步dk,主要由比率rk的值決定。

對(duì)于rk的求解,本文定義價(jià)值函數(shù)ψ(X)= ||F(X)||2,以及該函數(shù)在第k次迭代中的預(yù)測(cè)變化量(Predk)及實(shí)際變化量(Aredk)為:

(9)

則有:

(10)

同時(shí),利用rk對(duì)迭代中μk做出判定如下:

(11)

迭代求X*的步驟見圖 3。

2.3 坐標(biāo)概算有效性驗(yàn)證

(12)

3 三維測(cè)邊網(wǎng)平差解算及精度評(píng)定

當(dāng)控制點(diǎn)個(gè)數(shù)滿足n≥4條件時(shí),式(2)的誤差方程可以寫成矩陣形式:

(13)

其中:

因多路絕對(duì)激光測(cè)距儀測(cè)量的是控制點(diǎn)間的距離,故不存在i=j的觀測(cè)方程及誤差方程,故A為n(n-1)×3n的矩陣。

(14)

由于空間三維測(cè)邊網(wǎng)缺少必要的起算數(shù)據(jù),造成了系數(shù)矩陣A的秩虧,故A為秩虧陣,進(jìn)而求解所得的法方程矩陣為奇異陣,測(cè)邊網(wǎng)屬于秩虧網(wǎng),本文采用秩虧自由網(wǎng)附加重心基準(zhǔn)約束進(jìn)行平差解算[29]。

考慮到多路絕對(duì)激光測(cè)距儀測(cè)距誤差受測(cè)量距離的影響,故應(yīng)將測(cè)距誤差隨距離的變化考慮在內(nèi),采用測(cè)距加權(quán)的方法定權(quán)。設(shè)多路絕對(duì)激光測(cè)距儀的標(biāo)稱測(cè)距精度為σl,則從第i個(gè)控制點(diǎn)觀測(cè)第j個(gè)控制點(diǎn)的距離值Sij對(duì)應(yīng)的權(quán)值為:Pij=(σlSij)-2,可構(gòu)建權(quán)陣為:

(15)

(16)

在誤差方程的基礎(chǔ)上,增加約束條件:

(17)

(18)

解算的關(guān)鍵是確定約束矩陣G。A秩虧數(shù)即缺少的基準(zhǔn)個(gè)數(shù)為d=u-t,其中u為控制點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)量,t為必要觀測(cè)量。在傳統(tǒng)的控制網(wǎng)平差中,控制網(wǎng)起算條件包括控制網(wǎng)的位置(一個(gè)固定點(diǎn)的三維坐標(biāo))、控制網(wǎng)的方向(一個(gè)固定方向的三軸余弦值)和一個(gè)尺度基準(zhǔn)。由于多路絕對(duì)激光測(cè)距儀測(cè)距精度高,尺度基準(zhǔn)可由距離觀測(cè)值確定,缺少的基準(zhǔn)個(gè)數(shù)為6,因此附加約束矩陣G的維數(shù)為6[30],即:

(19)

按照最小二乘原理構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)得到法方程如下:

(20)

式(20)左乘GT可得K=0,即法方程可變化為:

(21)

結(jié)合式(21)與式(17),可得控制點(diǎn)三維坐標(biāo)參數(shù)及未知參數(shù)的權(quán)逆陣為:

PXGGTPX)-1.

(22)

(23)

(24)

(25)

4 實(shí)例分析

本次實(shí)驗(yàn)在中國(guó)科學(xué)院高能物理研究所恒溫實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的大理石標(biāo)定場(chǎng)上進(jìn)行,大理石標(biāo)定場(chǎng)的整體空間為8 m×3.5 m×2.5 m,實(shí)驗(yàn)全程用一套球形發(fā)射器和1.5英寸角隅棱鏡(red-ring reflector,RRR)。在大理石標(biāo)定場(chǎng)的大理石柱上,共選取8個(gè)空間位置分布均勻且可以相互通視的控制點(diǎn),相鄰兩個(gè)控制點(diǎn)間的高差在1.5 m左右,實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地、控制點(diǎn)布局及三維測(cè)邊網(wǎng)網(wǎng)形的模型圖及實(shí)物圖如圖4所示。

圖4 實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地、控制點(diǎn)布局及三維測(cè)邊網(wǎng)網(wǎng)形

基于多路絕對(duì)激光測(cè)距儀測(cè)量每個(gè)控制點(diǎn)與其余控制點(diǎn)之間的距離(見圖5),利用對(duì)應(yīng)的n(n-1)個(gè)距離測(cè)量值建立三維測(cè)邊控制網(wǎng)。

圖5 控制點(diǎn)間絕對(duì)測(cè)距

在8個(gè)控制點(diǎn)間共測(cè)量56個(gè)距離觀測(cè)值,由于存在對(duì)向觀測(cè)且多路絕對(duì)激光測(cè)距儀標(biāo)稱精度較高,實(shí)驗(yàn)中根據(jù)同一距離本應(yīng)相等或差異不大的原則,對(duì)存在偶然誤差的測(cè)距值進(jìn)行了復(fù)測(cè),復(fù)測(cè)率小于10%。最終得到的經(jīng)加常數(shù)改正的測(cè)距原始數(shù)據(jù)中,同一邊長(zhǎng)對(duì)向觀測(cè)的差值最大為±3.6 μm,最小小于±0.1 μm,觀測(cè)值可靠性強(qiáng)。

根據(jù)控制點(diǎn)數(shù)量及分布的不同,對(duì)實(shí)測(cè)的56條邊長(zhǎng)觀測(cè)值進(jìn)行分組分析,共有如下5種方案:

方案1,選取P3、P4、P5、P64個(gè)控制點(diǎn)間共12個(gè)距離觀測(cè)值建網(wǎng);

方案2,選取P2、P3、P4、P5、P65個(gè)控制點(diǎn)間共20個(gè)距離觀測(cè)值建網(wǎng);

方案3,選取P1、P2、P3、P6、P7、P86個(gè)控制點(diǎn)間共30個(gè)距離觀測(cè)值建網(wǎng);

方案4,選取P2、P3、P4、P5、P6、P7、P87個(gè)控制點(diǎn)間共42個(gè)距離觀測(cè)值建網(wǎng);

方案5,選取P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7、P88個(gè)控制點(diǎn)間共56個(gè)距離觀測(cè)值建網(wǎng)。

4.1 未知數(shù)隨機(jī)取值坐標(biāo)概算

表1 方案1未知數(shù)不同取值區(qū)間坐標(biāo)概算結(jié)果

表2 方案2未知數(shù)不同取值區(qū)間坐標(biāo)概算結(jié)果

表3 方案3未知數(shù)不同取值區(qū)間坐標(biāo)概算結(jié)果

表4 方案4未知數(shù)不同取值區(qū)間坐標(biāo)概算結(jié)果

表5 方案5未知數(shù)不同取值區(qū)間坐標(biāo)概算結(jié)果

通過表1～5分析可得,控制點(diǎn)固定的情況下,利用改進(jìn)的LM算法進(jìn)行坐標(biāo)概算,無論未知數(shù)初值在任何區(qū)間選取,只會(huì)影響迭代的次數(shù),而不會(huì)影響解的精度和一致性,說明所有控制點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系可以固定且精度較高,即解算結(jié)果作為平差解算的坐標(biāo)初始值的有效性強(qiáng)。

4.2 三維測(cè)邊網(wǎng)平差分析

通過4.1節(jié)的分析,驗(yàn)證了對(duì)未知數(shù)任意取值進(jìn)行坐標(biāo)概算方法的可行性,概算所得的三維坐標(biāo)值精度高、一致性強(qiáng),可作為三維測(cè)邊網(wǎng)的坐標(biāo)初值進(jìn)行平差。為了驗(yàn)證多路絕對(duì)激光測(cè)距儀所建三維測(cè)邊網(wǎng)的精度,結(jié)合所建立的秩虧自由網(wǎng)平差模型,對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,5種方案平差結(jié)果見表6和圖6。

表6 三維測(cè)邊網(wǎng)平差結(jié)果 μm

圖7 距離反算與原始測(cè)距數(shù)據(jù)差值結(jié)果

表6和圖 6結(jié)果可得,基于多路絕對(duì)激光測(cè)距儀高精度絕對(duì)測(cè)距性能,通過雙向觀測(cè)值對(duì)比進(jìn)而復(fù)測(cè)排除測(cè)距偶然誤差,可得到準(zhǔn)確度及精確度較高的測(cè)距值以建立高精度的三維測(cè)邊網(wǎng)。同時(shí),對(duì)5種不同方案得到的控制點(diǎn)精度進(jìn)一步對(duì)比分析可得,在所選控制點(diǎn)高差較大、點(diǎn)位分布較均勻、通視條件好的基礎(chǔ)上,控制點(diǎn)數(shù)量對(duì)點(diǎn)位精度的影響較小,三維測(cè)邊控制網(wǎng)的控制點(diǎn)的平均點(diǎn)位精度優(yōu)于±1.14 μm,滿足HPES預(yù)準(zhǔn)直階段磁鐵定位對(duì)控制網(wǎng)精度的需求。

4.3 距離反算精度驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所建立的三維測(cè)邊控制網(wǎng)的精度可靠性,利用平差解算所得坐標(biāo)對(duì)兩點(diǎn)間距離進(jìn)行反算,并與經(jīng)加常數(shù)改正后的原始測(cè)量值進(jìn)行對(duì)比。為了記錄方便,對(duì)測(cè)距值進(jìn)行編號(hào),56個(gè)邊長(zhǎng)測(cè)量值為SP1P2～SP8P7,設(shè)與其對(duì)應(yīng)反算值的差值為Δd1～Δd56。經(jīng)計(jì)算,5種方案中,距離測(cè)量值與反算值差值絕對(duì)值最大為2.732 6 μm,最小為0.001 5 μm,結(jié)果如圖 7所示。

由圖 7及計(jì)算數(shù)據(jù)分析可得,方案1所建控制網(wǎng)采用的12條邊長(zhǎng)中,距離觀測(cè)值與反算值差值的絕對(duì)值在0～0.5 μm、0.5～1 μm、1～2 μm、大于2 μm,分別占測(cè)量數(shù)的50%、33.3%、16.7%、0%;方案2采用的20條邊長(zhǎng)中,占比分別為55%、20%、25%、0%;方案3采用的30條邊長(zhǎng)中,占比分別為53.3%、20%、26.7%、0%;方案4采用的42條邊長(zhǎng)中,占比分別為52.4%、21.4%、26.2%、0%;方案5采用的56條邊長(zhǎng)中,占比分別為51.8%、19.6%、26.8%、1.79%?？梢?僅利用測(cè)距值進(jìn)行坐標(biāo)概算和秩虧自由網(wǎng)平差后,得到的控制點(diǎn)的平均點(diǎn)位精度優(yōu)于±1.14 μm,可靠性強(qiáng)。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)基于多路絕對(duì)激光測(cè)距儀建立精密三維測(cè)邊控制網(wǎng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究,完成了以下工作:

1)根據(jù)多組范圍不同的隨機(jī)初值選取,采用改進(jìn)的LM算法對(duì)未知數(shù)進(jìn)行迭代計(jì)算,得到了高穩(wěn)定性和高精度的概算結(jié)果,實(shí)現(xiàn)了任意初值的坐標(biāo)概算。

2)建立了僅含控制點(diǎn)間距離的秩虧自由網(wǎng)平差模型,基于該儀器的測(cè)距特性及標(biāo)稱精度,設(shè)計(jì)了控制點(diǎn)數(shù)量不同的5種建網(wǎng)方案,在恒溫間內(nèi)整體范圍為8 m×3.5 m×2.5 m的大理石標(biāo)定場(chǎng)上,采集了不同方案的距離數(shù)據(jù);利用對(duì)應(yīng)的秩虧自由網(wǎng)平差模型進(jìn)行解算,建立了控制點(diǎn)數(shù)量不同的高精度三維測(cè)邊網(wǎng)。通過對(duì)5種不同方案得到的控制點(diǎn)精度進(jìn)一步對(duì)比分析可得,在實(shí)驗(yàn)環(huán)境及選點(diǎn)合理的基礎(chǔ)上,通過排除測(cè)距偶然誤差得到高精度的測(cè)距值,可建立控制點(diǎn)平均點(diǎn)位精度優(yōu)于±1.14 μm、點(diǎn)位精度最優(yōu)可達(dá)±0.55 μm的三維測(cè)邊控制網(wǎng),且控制點(diǎn)數(shù)量在4～8個(gè)范圍內(nèi)時(shí),控制點(diǎn)數(shù)量增多對(duì)建網(wǎng)所得控制點(diǎn)的精度影響較小。在實(shí)際工程應(yīng)用上,為了能在多路絕對(duì)激光測(cè)距儀測(cè)距范圍內(nèi)建立該精度的控制網(wǎng),控制點(diǎn)的選取應(yīng)滿足高差盡可能大、穩(wěn)定性好、通視效果好、點(diǎn)位分布均勻等條件。

3)通過平差結(jié)果坐標(biāo)反算控制點(diǎn)間距離與實(shí)測(cè)原始數(shù)據(jù)對(duì)比,兩者差值的絕對(duì)值幾乎均在2 μm以內(nèi),最小為0.0015 μm,其中優(yōu)于0.5 μm的邊長(zhǎng)數(shù)超過建網(wǎng)所用邊長(zhǎng)數(shù)的一半。故基于該儀器該方法建立的平均點(diǎn)位精度優(yōu)于±1.14 μm,且點(diǎn)位精度最優(yōu)可達(dá)±0.55 μm的三維測(cè)邊網(wǎng)精度具有可靠性。

研究結(jié)果滿足實(shí)驗(yàn)要求,在粒子加速器預(yù)準(zhǔn)直階段、大型飛機(jī)部件數(shù)字化對(duì)接裝配、高精度坐標(biāo)測(cè)量、天線位姿測(cè)量、固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)推力線測(cè)量等現(xiàn)代工業(yè)應(yīng)用方面具有實(shí)用價(jià)值。