喬世東

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西 大同 037009)

研究時(shí)間模T上的一維p-Laplacian兩-點(diǎn)邊值問(wèn)題

設(shè)p＞1，q＞1，且滿足另外，設(shè)

解方程得

故

亦即

而

由邊值條件得到

因此

定義全連續(xù)積分算子A：P→P，

AP?P,則A全連續(xù)積分算子，令δx∈(0,1),則則（5）為

由邊值條件得到

所以將A全連續(xù)積分算子表示為

則邊值問(wèn)題(1)有解u=u(t)，當(dāng)且僅當(dāng)u是對(duì)應(yīng)A在P中的不動(dòng)點(diǎn)。

引理1設(shè)全連續(xù)算子由（6）給出，設(shè)u∈P，則

‖Au‖=(Au)(δx)。

證明?t∈(0,δx),

故‖Au‖=(Au)(δx)。[1]

定理1（Krasnoselskii）設(shè)E是一個(gè)巴拿赫空間，P?E是錐，Ω1,Ω2∈E為非空相對(duì)開(kāi)集，且為全連續(xù)算子，滿足：

(1)‖Au‖≤‖u‖,?u∈P∩?Ω1；‖Au‖≥‖u‖,?u∈P∩?Ω2,或

(2)‖Au‖≥‖u‖,?u∈P∩?Ω2；‖Au‖≤‖u‖,?u∈P∩?Ω2,則A在上有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。[2]

定理2設(shè)條件(H)成立,又設(shè)存在常數(shù)

證明定義一個(gè)錐P滿足條件（4），引理知AP?P，全連續(xù)積分算子A：P→P，如果u∈P，‖u‖=a，有

及

故‖Au‖≤‖u‖。

如果u∈P，‖u‖=b，t∈[δ,1-δ],不妨設(shè)有

因此，‖Au‖≥‖u‖，

由定理1知，結(jié)論成立。