對導(dǎo)數(shù)求參數(shù)取值范圍問題解法的探究
——基于全國甲卷理科第21題的分析

孫 璪 王宇航

(1.遵義四中,貴州 遵義 563006;2.遵義市新浦中學(xué),貴州 遵義 563103)

近年高考導(dǎo)數(shù)壓軸題中求參數(shù)取值范圍問題的題目出現(xiàn)頻次較高,其中以特殊函數(shù)ex與lnx為背景的題目考查較多,但是2023年全國甲卷的導(dǎo)數(shù)壓軸題以三角函數(shù)為背景,大有反套路、考能力的趨勢.因此,如何找到求導(dǎo)數(shù)取值范圍問題的通性通法顯得尤為重要.

1 解法概述

分類討論常常是解決該問題的一種通法.該方法一般是構(gòu)造函數(shù),然后通過求導(dǎo)、分類討論、分析其單調(diào)性.

分離參數(shù)往往是解決該問題的一種重要方法,分離參數(shù)在解決恒成立問題時可以有兩個角度:全分離和半分離.全分離是將含參表達式中的參數(shù)從表達式中完全分離出來,使所研究的函數(shù)由動態(tài)變?yōu)槎☉B(tài),進而可得到新函數(shù)的圖象、性質(zhì)(最值),將求參數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域問題.半分離是將不等式變形為ax+b≥f(x)或ax+b≤f(x)的形式(其中a為參數(shù),b為常數(shù)),然后畫出圖象,由圖象的上下位置關(guān)系得到不等式,從而求得參數(shù)的取值范圍.

必要性探路是解決該問題的一種妙法.必要性探路是指對某些與函數(shù)有關(guān)的恒成立問題,通過選取函數(shù)定義域內(nèi)的某些特殊值,先得到一個必要條件,初步獲得參數(shù)的范圍,再在該范圍內(nèi)進行討論,或去驗證其充分性,進而得到參數(shù)的準確范圍的方法.在驗證其充分性的時候,往往需要結(jié)合“矛盾區(qū)間”進行說明.

泰勒展開是解決該問題的一種優(yōu)法,許多高考題的命制如含有ex與lnx的題目,通常都是把其函數(shù)的泰勒展開式的幾項進行直接變形,或取倒數(shù)、對數(shù)進行演繹變形,然后再結(jié)合添加參數(shù)設(shè)計而成.具有泰勒公式背景的高考數(shù)學(xué)試題大致可以分成兩類問題,一類是根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍,一類是證明不等式恒成立[1].

2 解法探討

(1)當a=8時,討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)

2.1 分類討論,直面問題

本題的背景是三角函數(shù),可通過構(gòu)造函數(shù)用含參討論法,討論a在不同取值范圍函數(shù)的單調(diào)性,從而知道所構(gòu)造函數(shù)在定義域的最大值和零的大小關(guān)系.

又00.故h(t)在(0,1)上單調(diào)遞增,則h(t)

所以當a∈(-∞,3],f(x)

當t∈(t0,1),h(t)>0,即t00,即g(x)單調(diào)遞增.所以當x∈(0,x0),g(x)>g(0).又g(0)=0即g(x)>0,不合題意.

綜上,a的取值范圍為(-∞,3].

2.2 分離參數(shù),數(shù)形結(jié)合

本題采用“半分離參數(shù)”法較為合適,可把條件f(x)

又3-2cos4x>0,故m′(x)>0.

2.3 必要性探路,降低討論

必要性探路是先考慮函數(shù)的端點,再結(jié)合“矛盾區(qū)間”得出參數(shù)的取值范圍的方法.“端點效應(yīng)+矛盾區(qū)間”是一個完整的解題過程,其重點在于“矛盾”而非“端點”.缺少“矛盾區(qū)間”說明的解法,得到的僅僅是一個必要條件,顯然過程是不完整的.

所以g′(x)≥0,即3-a≥0.

2.4 泰勒展開,揭示本質(zhì)

由泰勒展開式,我們可以得到:

由sin2x>f(x),得sin2x+tan3x+tanx-ax>0.

即sin2x+tan3x+tanx-ax>3x-ax.

②若a>3,同必要性探路解法.

3 結(jié)束語

處理導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)取值范圍問題有四個層次,正如本題的不同解法反映了不同的思維水平一樣.學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的第一層次是“直接求導(dǎo),分類討論”,第二層次是“參變分離,數(shù)形結(jié)合”,第三層次是“端點效應(yīng),降低討論”,第四層次是“泰勒展開,揭示本質(zhì)”.如果學(xué)生解題總是只停留在第一層次就會自我設(shè)限,畫地為牢,沒有探究到導(dǎo)數(shù)的精髓.因此,我們倡導(dǎo)去探究通法通解,不被題目背景的表象所迷惑,去接近問題的本質(zhì).