幾何符號語言訓(xùn)練初探

耿 征

(徐州市第十三中學(xué),江蘇 徐州 221006)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出,學(xué)生要會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)和描述現(xiàn)實(shí)世界.在這種理念的指導(dǎo)下,筆者先對兩個(gè)案例進(jìn)行分析,指出學(xué)生學(xué)習(xí)幾何符號語言存在的困難,再針對困難從宏觀和微觀兩個(gè)方面給出解決策略.

1 案例分析

例1 如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,AE是角平分線,CD是高,AE、CD相交于點(diǎn)F.求證：∠CFE=∠CEF.

圖1 例1題圖

由此可以看出,在證明幾何命題時(shí),學(xué)生需根據(jù)已知條件和所證結(jié)論選擇合適的幾何定理作為推理的依據(jù),并將幾何定理或概念用符號語言表示出來,這是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何符號語言的第一個(gè)困難.

例2 如圖2,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M、N分別是AC、BD的中點(diǎn),連接BM,DM,MN.求證：MN⊥BD.

圖2 例2題圖

解析根據(jù)已知條件∠ABD=∠ADC=90°,易得△ABD和△ADC都是直角三角形.根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征,BD是△ABD的斜邊,AC是△ABC的斜邊.又因?yàn)镸、N分別是AC、BD的中點(diǎn),根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得BM=AM=MC,DM=AM=MC,所以BM=DM,即△BMD是等腰三角形.由等腰三角形“三線合一”性質(zhì)可知MN⊥BD.

顯然,本題主要考查直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)和等腰三角形“三線合一”的性質(zhì),這是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》規(guī)定的最基礎(chǔ)最核心的內(nèi)容,是學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)知識.從圖形方面來看,本題涉及直角三角形和等腰三角形,這學(xué)生最常見的基本圖形.學(xué)生見到這個(gè)圖形很多遍了,但是仍然存在困難,不知道該如何下手.為什么會(huì)這樣呢?筆者認(rèn)為,符號語言的學(xué)習(xí),歸根結(jié)底就是對每個(gè)定理的符號語言的學(xué)習(xí).符號語言表達(dá)能力的訓(xùn)練,本質(zhì)上是對文字語言的理解,就是用圖形和符號理解幾何命題.而符號語言表達(dá)的本質(zhì),就是圖形和符號的聯(lián)想,即由圖形想到相應(yīng)的符號語言.由此可以看出,學(xué)生缺少文字語言和圖形語言、符號語言之間的互相轉(zhuǎn)化的能力,是幾何符號語言學(xué)習(xí)的第二個(gè)困難,是影響學(xué)生幾何推理能力的關(guān)鍵.

2 解決策略

2.1 從宏觀方面而言,需建構(gòu)知識體系

學(xué)生對幾何圖形的認(rèn)識,是一個(gè)由簡單到復(fù)雜的過程.先是認(rèn)識點(diǎn)、線,再到形、體;先是每種圖形的定義、表示方法,再到每種圖形的性質(zhì)和判定;先是孤立學(xué)習(xí)每個(gè)圖形,再到圖形之間的聯(lián)系和結(jié)合.

2.1.1建立圖形體系

對于點(diǎn)而言,初中階段僅僅認(rèn)識其表示方法;對于線而言,包括直線、射線和線段,根據(jù)直線的位置關(guān)系,有相交線和平行線兩種,而相交線又會(huì)產(chǎn)生角;對于形而言,初中階段主要研究三角形、四邊形和圓三種圖形,如圖3所示.

圖3 基本幾何圖形體系圖

2.1.2建立圖形性質(zhì)和判定體系

以四邊形為例,初中階段主要從旋轉(zhuǎn)角度研究特殊的四邊形,包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形,而每一種圖形的性質(zhì)和判定研究的過程又很相似,具體見表1和圖4.

表1 特殊四邊形性質(zhì)判定體系表

2.2 從微觀上而言,需建立不同語言相互轉(zhuǎn)化的橋梁

數(shù)學(xué)語言包括文字語言、圖形語言和符號語言.在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,所有的數(shù)學(xué)問題基本是通過這三種語言來描述的,許多數(shù)學(xué)問題的解決也是依靠數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)的[1].

2.2.1明確每個(gè)命題的本質(zhì)——條件和結(jié)論

在學(xué)習(xí)“三角形內(nèi)角和定理”時(shí),教師可提出問題：你能將其改寫為“如果…,那么…”的形式嗎?學(xué)生思考并回答：如果一個(gè)圖形是三角形,那么它的三個(gè)內(nèi)角的和是180°.教師總結(jié),此命題的條件就是“一個(gè)三角形”,結(jié)論就是“三個(gè)內(nèi)角的是180°”.教師由此引導(dǎo)根據(jù)條件畫出幾何圖形,并根據(jù)條件和結(jié)論,用符號語言描述這個(gè)命題,然后利用所學(xué)知識進(jìn)行證明.學(xué)生完成后,教師總結(jié),得到三角形內(nèi)角和定理,如表2所示.

表2 三角形內(nèi)角和定理三種語言表

每個(gè)命題都是由條件和結(jié)論組成的,而這也正是每個(gè)命題的本質(zhì),明確了條件和結(jié)論,學(xué)生就不會(huì)再出現(xiàn)條件和結(jié)論分離的情況.因此,每個(gè)命題的學(xué)習(xí),都需先引導(dǎo)學(xué)生明確條件和結(jié)論.

2.2.2有意識強(qiáng)化三種語言之間的聯(lián)系

對于每一個(gè)命題,文字語言、圖形語言和符號語言是不可分割的.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師需有意識引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化三種語言之間的相互轉(zhuǎn)化.

例3 如圖5,在△ABC中,AC=5,BC=4,AB的垂直平分線DE分別交AB、AC于點(diǎn)E、D.求△BCD的周長.

圖5 例3題圖

解析根據(jù)已知條件可知DE是線段AB的垂直平分線,由線段垂直平分線的性質(zhì)可知DA=DB.從而△BCD的周長為BC+CD+DB=BC+CD+AD=BC+AC=9.

顯然,本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì),即線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.解決本題的關(guān)鍵是實(shí)現(xiàn)文字語言、圖形語言、符號語言之間的相互轉(zhuǎn)化,從而建立已知條件與所求結(jié)論之間的邏輯關(guān)系,為問題解決創(chuàng)造條件.在解決本題時(shí),教師可引導(dǎo)學(xué)生在圖5中標(biāo)注已知條件中的垂直平分線,并根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)表達(dá)推理過程.即“因?yàn)镋D垂直平分AB,所以DA=DB”.顯然,當(dāng)學(xué)生在圖形中標(biāo)注垂直平分線時(shí),就自然能夠?qū)懗鱿鄳?yīng)的符號語言.

因此,對學(xué)生而言,每一道幾何命題都是強(qiáng)化訓(xùn)練的一次機(jī)會(huì).每遇到一個(gè)問題,教師都要引導(dǎo)學(xué)生借助關(guān)鍵詞找到相應(yīng)的圖形.這樣就能夠?qū)⑽淖终Z言、圖形語言和符號語言緊緊聯(lián)系在一起.

3 結(jié)束語

在日常教學(xué)中,有意識地從宏觀方面構(gòu)建幾何圖形體系,從微觀方面關(guān)注每個(gè)定理三種語言之間的轉(zhuǎn)化,可以有效提高學(xué)生幾何符號語言表達(dá)能力,從而提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力,提升學(xué)生的幾何推理能力.