初中數(shù)學(xué)解題能力培養(yǎng)的基本策略
——以人教版“圓”的相關(guān)知識(shí)為例

劉艾芳

(日照市新?tīng)I(yíng)中學(xué),山東 日照 276800)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,培養(yǎng)學(xué)生的解題能力至關(guān)重要.筆者以具體的幾何問(wèn)題為例,探索培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的基本策略,旨在為初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)提供堅(jiān)實(shí)的理論和實(shí)踐基礎(chǔ),以促進(jìn)學(xué)生全面而深入地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1].

1 利用基本定義和公式直接解決問(wèn)題

圖1 例1題圖

點(diǎn)評(píng)本題的解決,體現(xiàn)了學(xué)生利用基本定義和公式直接解決問(wèn)題的能力.在解決本題的過(guò)程中,學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)△ABC是等腰三角形,這是根據(jù)等腰三角形的定義得出的.進(jìn)一步,△ABC實(shí)際上是等邊三角形,因?yàn)樗囊粋€(gè)內(nèi)角等于60°,根據(jù)等邊三角形的判定即可得出結(jié)論.利用三角形的內(nèi)角和定理可以計(jì)算出未知角的度數(shù),利用圓周角定理可以推斷出圓心角∠AOC的度數(shù),這體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)圓和三角形性質(zhì)的基本理解[2].

2 利用輔助線(xiàn)解決問(wèn)題

例2 如圖2所示,⊙O為△ABC的外接圓,AB是⊙O的直徑,作OD∥BC,與過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)交于點(diǎn)D,連接DC并延長(zhǎng),交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.求證：DE是⊙O的切線(xiàn).

圖2 例2題圖

解析如圖3,連接OC.因?yàn)锳D為⊙O的切線(xiàn),所以∠DAO=90°.因?yàn)镺C和OB均為⊙O的半徑,所以O(shè)B=OC,AO=CO,所以⊙OCB為等腰三角形,所以∠OCB=∠OBC.因?yàn)镺D//BC,所以∠OBC=∠DOA,∠OCB=∠DOC,所以∠DOC=∠DOA,所以△ADO≌△CDO,所以∠DAO=∠DCO=90°.因?yàn)镺C為⊙O的半徑,所以DE是⊙O的切線(xiàn).

圖3 例2解法圖

點(diǎn)評(píng)在這個(gè)問(wèn)題中,引入輔助線(xiàn)OC是關(guān)鍵步驟.它建立起了已知條件與所證結(jié)論之間的邏輯關(guān)系,從而使問(wèn)題得以解決.問(wèn)題中運(yùn)用了圓的半徑相等、切線(xiàn)與半徑垂直、等腰三角形兩底角相等基本幾何性質(zhì),這些都是初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)點(diǎn),通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的解決,加深了對(duì)這些性質(zhì)的理解.通過(guò)這個(gè)例子,可以使學(xué)生了解如何在解決幾何問(wèn)題時(shí)靈活運(yùn)用基本定理和性質(zhì),鼓勵(lì)學(xué)生在遇到難題時(shí)嘗試引入輔助線(xiàn),為問(wèn)題解決創(chuàng)造條件[3].

3 利用轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題

例3 如圖4,水平放置的圓柱形水管道的截面半徑是0.8 m,其中水面高0.4 m,求截面上有水部分的面積(結(jié)果保留π).

圖4 例3題圖

圖5 例3解法圖

點(diǎn)評(píng)在解題過(guò)程中,展現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的巧妙運(yùn)用,將復(fù)雜的弓形面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為扇形面積與三角形面積之差,彰顯了將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單形式的策略,為培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題能力提供了有力的范例.

這種方法為教學(xué)實(shí)踐中培養(yǎng)學(xué)生解題能力、數(shù)學(xué)思維能力提供了有益的經(jīng)驗(yàn),也適用于初中數(shù)學(xué)其他類(lèi)型的題目.例如,復(fù)雜圖形面積的計(jì)算問(wèn)題,在計(jì)算由不同形狀圖形組合而成的復(fù)雜圖形的總面積時(shí),可將復(fù)雜圖形拆分為三角形、矩形、梯形等基本圖形,分別計(jì)算各個(gè)基本圖形的面積,然后根據(jù)圖形面積關(guān)系即可求得總面積.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)確定圖形間的相似性或等價(jià)性,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形進(jìn)行求解.

4 利用發(fā)散思想解決問(wèn)題

例4 已知圓O的半徑是6,弦AB=10,弦CD=8,且AB∥CD,求AB與CD之間的距離d.

解析此題分兩種情況討論.

點(diǎn)評(píng)在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,分類(lèi)討論思想是一個(gè)非常重要的解題策略,它對(duì)學(xué)生解題能力的培養(yǎng)具有深遠(yuǎn)的影響.通過(guò)解決這道與圓有關(guān)的幾何問(wèn)題,可以發(fā)現(xiàn)分類(lèi)討論思想發(fā)揮了重要作用,它防止了漏解.其實(shí),分類(lèi)討論思想不僅適用于幾何問(wèn)題,還廣泛應(yīng)用于代數(shù)、概率、函數(shù)等多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域.

5 利用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題

例5 如圖6所示,在平面直角坐標(biāo)系中,以(m,0)為圓心的⊙O′與x軸相交于C、D兩點(diǎn),與y軸相交于A、B兩點(diǎn),連接AC、BC.

圖6 例5題圖

(2)在(1)的結(jié)論下,延長(zhǎng)EC到P點(diǎn),連接PB,若PB=PE,請(qǐng)證明PB與⊙O′相切;

(3)如果m=1,⊙O′的半徑為2,求(2)中直線(xiàn)PB的解析式.

(2)如圖7所示,連接O′B,則∠CO′B=2∠CAB.因?yàn)镻B=PE,∠PBE=∠PEB=2∠CAB=∠CO′B,所以∠PBO′=∠PBE+∠EBO′=∠CO′B+∠EBO′=90°,所以PB⊥O′B,所以PB與⊙O′相切.

圖7 例5解析圖

點(diǎn)評(píng)本題借助數(shù)形結(jié)合思想,將圓的相關(guān)知識(shí)、直線(xiàn)方程、三角形及數(shù)學(xué)運(yùn)算相結(jié)合,涉及初中數(shù)學(xué)多方面知識(shí),其綜合性較強(qiáng),具有一定的難度.在訓(xùn)練此類(lèi)問(wèn)題時(shí),教師要運(yùn)用多媒體數(shù)字化工具,將數(shù)形結(jié)合過(guò)程演示給學(xué)生,以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)其解決問(wèn)題的能力.

6 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)與圓有關(guān)問(wèn)題的深入探討,不僅揭示了基本數(shù)學(xué)概念和解題策略的重要性,還強(qiáng)調(diào)了在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的必要性.這些教學(xué)方法和思維訓(xùn)練將為學(xué)生打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),為其未來(lái)的學(xué)習(xí)奠定基石.希望通過(guò)本文的討論,能夠?yàn)槌踔袛?shù)學(xué)教學(xué)提供有益的參考和啟發(fā),助力學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)道路上取得更大的成就,不斷提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).