章鳳

【摘要】數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，即通過具體數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的學(xué)習(xí)幫助學(xué)生逐步鍛煉思維，特別是努力提升思維的品質(zhì).所以作為教師，要貫穿知識(shí)點(diǎn)，深入研究知識(shí)，錘煉學(xué)生思維.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；解題技巧；角平分線

1 試題呈現(xiàn)

（2023南京九下）“關(guān)聯(lián)”是解決數(shù)學(xué)問題的重要思維方式．角平分線的有關(guān)聯(lián)想就有很多……

1.1 問題提出

如圖1，PC是△PAB的角平分線，

求證PA/PB=AC/BC.

小明思路：關(guān)聯(lián)“平行線、等腰三角形”，利用“三角形相似”．

小紅思路：關(guān)聯(lián)“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，利用“等面積法”．

請(qǐng)根據(jù)小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明．

1.2 作圖應(yīng)用

如圖2，AB是⊙O的弦，在⊙O上作出點(diǎn)P，使得PA/PB＝3．

要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明．

1.3 深度思考

如圖3，PC是△PAB的角平分線，若AC＝3，BC＝1，則△PAB的面積最大值是．

2 特色解讀

2.1 立足教材，梯度設(shè)問，簡約而不凡

本題考查角平分線在相似中的應(yīng)用，而角平分線貫穿了整個(gè)初中幾何教學(xué).分別是定義、性質(zhì)、判定及尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)，并且在平行線、等腰三角形、特殊四邊形、圓等幾何圖形中都有添加角平分線進(jìn)行再探究.本題將角平分線放到三角形中用相似進(jìn)行性質(zhì)的再探究，學(xué)生要在有限的時(shí)間完成三個(gè)問題，而這三問是三個(gè)方向，難度逐層增加，對(duì)學(xué)生而言還是比較困難的，所以對(duì)解題能力的要求比較高.問題立足教材，但高于教材，呈現(xiàn)方式為得出結(jié)論，畫出結(jié)論，找到極端情況，這種梯度設(shè)問，重在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和綜合能力的考查，又發(fā)揮對(duì)初中數(shù)學(xué)的導(dǎo)向作用，簡約而不凡.

2.2 關(guān)注思維路徑，滲透數(shù)學(xué)思想

本題設(shè)置三小問，關(guān)注幾何推理的思考過程，層次分明.思維路徑層層疊進(jìn)，第（1）問是角平分線性質(zhì)的證明，給了解題思路，這兩種思路也是在平時(shí)教學(xué)中要滲透的數(shù)學(xué)思想，不同的選擇也體現(xiàn)了思維層次的不同.第（2）問是尺規(guī)作圖，讓學(xué)生用第1問的結(jié)論作圖，而用第1問的結(jié)論對(duì)中等學(xué)生不難，但要用相似圓來做難度較大.第（3）問要把固定的點(diǎn)看運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，找到極端值，這要比第2問更難，但第（2）問如能用圓來畫，那么第3問就不難了.一個(gè)相似的題要用圓來解決，這種數(shù)學(xué)思想的關(guān)聯(lián)、滲透，讓不同能力水平的學(xué)生展示不同的探究過程，體現(xiàn)試題的難度和效度，彰顯試題的選拔功能，也同時(shí)逼著教師探究、思考，業(yè)務(wù)能力也有很大提高.

2.3 思維遞進(jìn)，凸顯素養(yǎng)，深遠(yuǎn)而雋永

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的根本與精髓.從知識(shí)層面看，本題主要考查相似、面積法、尺規(guī)作圖、動(dòng)點(diǎn)、圓等知識(shí).從能力層面看，本題體現(xiàn)對(duì)學(xué)生邏輯推理、幾何直觀等綜合能力的考查.這些知識(shí)和能力相輔相成，著意于考查學(xué)生的思維和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本題從“形”（三角形角平分線）的角度研究“數(shù)”（比例），借助幾何直觀構(gòu)建基本圖形，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化.

3 解法挖掘

第（1）問根據(jù)小明的思路，其實(shí)在平時(shí)的教學(xué)中也滲透了用相似、平行得到比例線段，而相似可以用平行得到，所以就有了過點(diǎn)C作AP的平行線交PB于點(diǎn)M，因?yàn)槠叫械玫紹C/AC=BM/PM，又因?yàn)镻C是△PAB的角平分線，CM∥AP，所以PM=CM，即BC/AC=BM/CM，由△CBM∽△ABP得到BM/CM=BP/AP，通過等量代換得到PA/PB=AC/BC.

根據(jù)小紅思路，將△ACP的面積分別用AP，AC為底表示，同樣△PCB的面積分別用PB，BC為底表示，因?yàn)楦呦嗟瓤傻帽壤匠闪?

第（2）問尺規(guī)作圖的方法多樣，旨在讓不同層次的學(xué)生都能學(xué)有所得，學(xué)有所會(huì)，有所發(fā)展.要在⊙O上作出點(diǎn)P，使得PA/PB=3，那就要用第（1）問的知識(shí)，聯(lián)想到做∠P的角平分線將線段AB分成3∶1.

思路1：用尺規(guī)作線段AB的垂直平分線將AB分成4等份.

思路2：用尺規(guī)通過作平行線將線段AB分成3∶1.

思路3：用尺規(guī)作以AB為邊的三角形，使另外兩邊的比為3∶1.

思路4：發(fā)現(xiàn)了點(diǎn)P的軌跡，找到與⊙O的交點(diǎn).這比較難，但不會(huì)漏掉點(diǎn)C.延長AP，作∠APB外角角平分線得∠CPD=90°.

由第1問可延伸出外角角平分線也BD/AD=PB/AP=1/3，BD/AD=PB/AP=1/3，所以CD=AC.所以點(diǎn)P在以CD為直徑的圓上.通過這個(gè)分析就能挖掘出思路4的做法.

第（3）問若用代數(shù)方法做，即作高，用勾股定理加二次函數(shù)來求最值.對(duì)學(xué)生能力要求太高而且時(shí)間花費(fèi)多，所以用幾何方法是最好的，于是在圖4的基礎(chǔ)上做了研究.如下.

研究1 延長AP，做∠APB外角角平分線得∠CPD=90°（初一內(nèi)容）.

由第1問可延伸出外角角平分線也有BD∶AD =PB∶AP =1∶3，

由AC＝3，BC＝1得BD=2，所以CD=3.所以點(diǎn)P在以CD為直徑的圓.這樣就能確定△PAB的面積最大值.

研究2 構(gòu)造∠DPB=∠A，

得△PAD∽△BPD，BD∶PD=BP∶PA=1∶3.

因?yàn)椤螾CA=∠A+∠APC，∠DPC=∠DPB+∠CPB，

所以PD=CD，所以點(diǎn)P在以CD為半徑的圓上.

這樣就能確定△PAB的面積最大值.

通過以上兩種研究再去思考第2問的作圖，

思路4就是發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C是AD的中點(diǎn)，圓心是CD的中點(diǎn).

因此也想到思路5：出AD∶BD=3∶1，線段CD的垂直平分線交AB的延長線于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作圓，即為點(diǎn)P的軌跡.

4 結(jié)語

學(xué)生對(duì)1、2問還能做，但第3問能做出來的就鳳毛麟角了，主要還是沒有想到內(nèi)外角的角平分線互相垂直，出現(xiàn)了垂直聯(lián)想圓還是比較常規(guī)的.總之，作為初中數(shù)學(xué)教師要用三年的時(shí)間通過每節(jié)數(shù)學(xué)課的教學(xué)，使學(xué)生能生成知識(shí)、能鍛煉思維，能遷移知識(shí).除了要對(duì)課本教學(xué)知識(shí)的積累，還要努力做到“數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解”，通過在教學(xué)過程中對(duì)遇到題目多研究，多與同行交流，多反思，把題目研究透，加深自己對(duì)知識(shí)的理解.學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)文化繼承的行為，主要依賴于他們?cè)趯W(xué)校中的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，更離不開教師的直接指導(dǎo)和引領(lǐng).數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)應(yīng)是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，即通過具體數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的學(xué)習(xí)幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)思維，特別是努力提升思維的品質(zhì).所以作為教師，要貫穿知識(shí)點(diǎn)，深入知識(shí)研究，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)活動(dòng)本質(zhì)進(jìn)行深入思考，以及有對(duì)理想課堂與教師自身價(jià)值的深切理解與執(zhí)著追求.

參考文獻(xiàn)：

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