賀輝 郝霖霏 譚平 游春華 向越

摘要： 調(diào)諧黏滯質(zhì)量阻尼器（Tuned Viscous Mass Damper， TVMD）是一種有效的被動慣容減震裝置，本文針對地震作用下建筑結(jié)構(gòu)TVMD阻尼比增效效應(yīng)與優(yōu)化設(shè)計展開研究。將TVMD對結(jié)構(gòu)自身阻尼耗能功率的控制效果歸納為TVMD等效附加阻尼比，并基于隨機振動理論推導(dǎo)了等效附加阻尼比的理論表達式。為了使TVMD更具實際應(yīng)用價值，TVMD理論上應(yīng)取得比同阻尼系數(shù)的黏滯阻尼器（VD）更大的等效附加阻尼比，這一現(xiàn)象定義為TVMD阻尼比增效效應(yīng)，并定義了阻尼比增效系數(shù)來量化評估阻尼比增效效應(yīng)。將等效附加阻尼比和阻尼比增效系數(shù)均作為優(yōu)化目標，提出了TVMD最優(yōu)設(shè)計參數(shù)理論解。參數(shù)分析結(jié)果表明，本文解具有良好的穩(wěn)定性和適用性，為了更高效地發(fā)揮阻尼比增效效應(yīng)，推薦TVMD質(zhì)量比不超過0.3或阻尼比不超過0.1。以某七層標準鋼框架結(jié)構(gòu)作為工程算例展示了TVMD設(shè)計流程，并驗證了本文解的有效性和優(yōu)越性。算例分析結(jié)果表明，使用本文解設(shè)計TVMD能顯著放大其阻尼元件變形，表現(xiàn)出了理想的阻尼比增效效應(yīng)。與傳統(tǒng)解相比，本文解還具有另一個明顯優(yōu)勢，即保證TVMD的減震效果優(yōu)于同阻尼系數(shù)的VD，不存在減震效率問題。

關(guān)鍵詞： 調(diào)諧黏滯質(zhì)量阻尼器； 阻尼比增效效應(yīng)； 等效附加阻尼比； 理論解

中圖分類號： TU352.1； TU318??? 文獻標志碼： A??? 文章編號： 1004-4523（2024）05-0812-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.05.009

引 言

地震是危及建筑結(jié)構(gòu)安全的主要自然災(zāi)害之一，振動控制技術(shù)能有效減輕結(jié)構(gòu)地震破壞程度、提高結(jié)構(gòu)安全性［1?4］。調(diào)諧黏滯質(zhì)量阻尼器（TVMD）是一種有效的被動慣容減震控制裝置，近年來，其已成為國內(nèi)外眾多學(xué)者關(guān)注的焦點［5］。TVMD一般由慣容元件、剛度元件和阻尼元件組成，其中，慣容元件與阻尼元件并聯(lián)后，再與剛度元件串聯(lián)。根據(jù)其內(nèi)部聯(lián)結(jié)形式，潘超等［6?8］將TVMD稱為混聯(lián)Ⅱ型慣容減震系統(tǒng)。與傳統(tǒng)質(zhì)量元件不同的是，慣容元件的慣性力與其兩端點之間的相對加速度成比例，可以得到遠大于其物理質(zhì)量的慣容系數(shù)，表現(xiàn)出顯著的質(zhì)量增效與負剛度效應(yīng)，從而使添加慣容元件后的調(diào)諧質(zhì)量減震裝置大幅輕量化［9］。

TVMD作為一種典型的調(diào)諧類阻尼器，其減震性能與設(shè)計參數(shù)息息相關(guān)［5］。Ikago等［10］基于定點理論提出了TVMD的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)理論解，并對TVMD的減震性能進行了小尺寸振動臺試驗驗證。Huang等［11］考慮簡諧激勵對線性與非線性阻尼TVMD進行了優(yōu)化設(shè)計，研究表明，相對于線性阻尼TVMD，非線性阻尼TVMD能獲得相近甚至更好的減震效果，且激勵幅值對其減震性能也會有影響?？紤]到地震動的隨機性，Chen等［12］基于高斯白噪聲激勵研究了TVMD的優(yōu)化設(shè)計問題，研究發(fā)現(xiàn)，TVMD能在更小的阻尼系數(shù)和物理質(zhì)量前提下，獲得與TMD類似甚至更好的減震效果，發(fā)揮了慣容元件的質(zhì)量放大效應(yīng)。Lu等［13］對連體結(jié)構(gòu)?TVMD體系進行了隨機優(yōu)化設(shè)計，得到了TVMD最佳布置方案及最優(yōu)設(shè)計參數(shù)，研究結(jié)果表明TVMD是一種有效的連體建筑結(jié)構(gòu)減震裝置。從TVMD理論模型來看，相較于傳統(tǒng)黏滯阻尼器（Viscous Damper，VD），TVMD包含慣容元件與剛度元件，具備了調(diào)諧功能。由于慣容元件和剛度元件通常會使阻尼器工作原理更加復(fù)雜且造價更高，為了使其在工程應(yīng)用中更具有實用價值，TVMD理論上應(yīng)取得比同阻尼系數(shù)的VD更好的減震效果。然而，He等［14］研究發(fā)現(xiàn)，使用傳統(tǒng)定點理論解設(shè)計TVMD可能存在減震效果不及同阻尼系數(shù)的VD的情況，暴露出傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計方法的減震效率較低的問題。

鑒于此，本文將TVMD對結(jié)構(gòu)自身阻尼耗能功率的減震效果歸納為等效附加阻尼比，并提出TVMD阻尼比增效效應(yīng)來描述其減震效率。以減震效果和減震效率同時達到最優(yōu)狀態(tài)作為優(yōu)化目標，提出TVMD的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)理論解。本文將從結(jié)構(gòu)?TVMD體系理論模型、TVMD等效附加阻尼比理論表達式、阻尼比增效效應(yīng)基本概念、阻尼比增效系數(shù)的定義以及TVMD的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)理論解等方面逐一展開研究。

1 結(jié)構(gòu)?TVMD體系理論模型

1.1 體系運動方程

基于模態(tài)分解法將主結(jié)構(gòu)簡化為如圖1所示的單自由度模型［12，14］，則地震地面加速度作用下的結(jié)構(gòu)?TVMD體系運動方程可表示為：

式中，和分別為主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度系數(shù)；，和分別為TVMD的慣容、阻尼和剛度系數(shù)；為主結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)；為TVMD慣容元件兩端的相對位移響應(yīng)。

為便于分析，定義系統(tǒng)參數(shù)如表1所示，并進一步將式（1）簡化為以下形式：

1.2 功率平衡方程

根據(jù)功率平衡原理，將主結(jié)構(gòu)運動方程表示成功率形式［15］：

（3）

式中和分別為主結(jié)構(gòu)的動能和彈性勢能功率；為主結(jié)構(gòu)的自身阻尼耗能功率；為轉(zhuǎn)移到TVMD系統(tǒng)的功率，簡稱轉(zhuǎn)移功率；為地震輸入功率。

由式（4）可知，主結(jié)構(gòu)的地震輸入功率部分轉(zhuǎn)移至TVMD系統(tǒng)中，從而減小了其自身阻尼耗能功率，進而可減少結(jié)構(gòu)損傷。因此，本文將作為主要性能評價指標之一，對TVMD進行減震性能評估與優(yōu)化設(shè)計。

此時，可將主結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)均方值表示為［16］：

式中為地震動頻率，則主結(jié)構(gòu)速度頻響函數(shù)可表示為：

分母可通過下式確定：

2 TVMD阻尼比增效效應(yīng)

2.1 TVMD等效附加阻尼比

在建筑結(jié)構(gòu)中安裝TVMD，主要是為了增加結(jié)構(gòu)的振動阻尼，達到控制結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的目的。TVMD減震效果越好，結(jié)構(gòu)增加的阻尼也就越大，結(jié)構(gòu)增加的這部分阻尼比可稱為TVMD等效附加阻尼比。為了推導(dǎo)的理論表達式，可將結(jié)構(gòu)?TVMD體系替換為一個阻尼比為的等效結(jié)構(gòu)，則等效結(jié)構(gòu)的速度頻響函數(shù)可表示為：

等效結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)均方值可進一步表示為：

為確保等效過程中主結(jié)構(gòu)自身阻尼耗能功率保持一致，存在［17］：

由此可得：

其中：

其中：

TVMD等效附加阻尼比可表示為等效結(jié)構(gòu)阻尼比與主結(jié)構(gòu)阻尼比的差值：

從上述理論表達式的推導(dǎo)過程中不難發(fā)現(xiàn)，越大，TVMD對主結(jié)構(gòu)自身阻尼耗能功率的控制效果越好。因此，為了讓TVMD的減震效果更加顯著，TVMD優(yōu)化設(shè)計應(yīng)盡可能使取最大值。

2.2 TVMD阻尼比增效系數(shù)

相較于VD而言，TVMD包含慣容元件與剛度元件，具備了調(diào)諧功能。由于慣容元件和剛度元件通常會使阻尼器工作原理更加復(fù)雜且造價更高，為了使其工程應(yīng)用更具有實用價值，TVMD理論上應(yīng)取得比同阻尼系數(shù)的VD更大的等效附加阻尼比，這一現(xiàn)象可定義為TVMD阻尼比增效效應(yīng)。為了量化評估阻尼比增效效應(yīng)，定義TVMD的阻尼比增效系數(shù)G為：

（16）

式中不僅是TVMD的阻尼比，也等于同阻尼系數(shù)的VD提供給結(jié)構(gòu)的等效附加阻尼比（如表1所示）。因此，大于零時，相較于VD而言，TVMD能提供給結(jié)構(gòu)更大的等效附加阻尼比，減震效果更佳，表現(xiàn)出理想的阻尼比增效效應(yīng)。而時，TVMD的減震效果弱于同阻尼系數(shù)的VD，此時使用慣容元件會降低阻尼器耗能減震效果，存在明顯的減震效率問題，無法展現(xiàn)出TVMD應(yīng)有的阻尼比增效效應(yīng)。因此，為了使TVMD的工程應(yīng)用更加高效合理，TVMD優(yōu)化設(shè)計應(yīng)在確保大于零的前提下進行。

3 TVMD最優(yōu)設(shè)計參數(shù)

3.1 最優(yōu)設(shè)計參數(shù)理論解

為了確保大于零，保障TVMD的減震效果優(yōu)于同阻尼系數(shù)的VD，展現(xiàn)出合理的阻尼比增效效應(yīng)，本文以阻尼比增效系數(shù)作為優(yōu)化目標，對TVMD進行優(yōu)化設(shè)計。同時，為了使TVMD對主結(jié)構(gòu)自身阻尼耗能功率的控制效果達到最優(yōu)，選取TVMD頻率比與質(zhì)量比作為優(yōu)化參數(shù)，則存在以下關(guān)系式：

顯然，TVMD設(shè)計參數(shù)滿足上述關(guān)系式時，其減震效果與減震效率能同時達到最優(yōu)狀態(tài)。為求解TVMD最優(yōu)設(shè)計參數(shù)理論解，假定主結(jié)構(gòu)阻尼為零（=0），由式（15）和（16）可得的解析表達式為：

通常情況下質(zhì)量比會被提前確定［10］，所以TVMD優(yōu)化設(shè)計也是確定其頻率比與阻尼比的過程。將式（18）代入式（17），整理可得TVMD的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為：

觀察式（19）可以發(fā)現(xiàn)，為了保證TVMD的各物理參數(shù)均為實數(shù)，本文提出的TVMD最優(yōu)設(shè)計參數(shù)理論解僅在的情況下成立。此外，由于理論解是基于無阻尼主結(jié)構(gòu)推導(dǎo)而來的，因此有必要分析主結(jié)構(gòu)阻尼對TVMD最優(yōu)設(shè)計參數(shù)的影響規(guī)律。

3.2 參數(shù)分析

考慮主結(jié)構(gòu)阻尼的影響，對TVMD最優(yōu)設(shè)計參數(shù)進行如圖2所示的分析驗證，圖中數(shù)值解為窮舉法計算結(jié)果?？梢钥闯?，不考慮主結(jié)構(gòu)阻尼（時，理論解與數(shù)值解基本一致，驗證了本文推導(dǎo)的TVMD最優(yōu)設(shè)計參數(shù)理論解的正確性。和均與質(zhì)量比呈正相關(guān)關(guān)系，這是因為越大，轉(zhuǎn)移功率理論上就越大，這就要求TVMD有足夠大的剛度和阻尼系數(shù)來消耗。從圖2中還可以觀察到，時，主結(jié)構(gòu)阻尼比對TVMD最優(yōu)設(shè)計參數(shù)的影響較小。例如且時，理論解與數(shù)值解相差小于1.4%，的理論解與數(shù)值解差距也不超過2.3%。由于一般情況下較?。ㄍǔ?img alt="" height="17" src="file：///C：/Users/examp/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image116.gif" width="47"/>）［12］，因此可認為對于有阻尼主結(jié)構(gòu)而言，本文推導(dǎo)的TVMD最優(yōu)設(shè)計參數(shù)理論解也具有良好的適用性。時，隨著的進一步增大，對的增大變得敏感，理論解的誤差也會不斷增加，可能導(dǎo)致使用理論解設(shè)計的TVMD無法達到或接近其最優(yōu)工作狀態(tài)。

為了進一步檢驗根據(jù)本文理論解設(shè)計的TVMD的工作性能，以等效附加阻尼比和阻尼比增效系數(shù)作為評價指標，對TVMD的減震效果與效率進行如圖3所示的對比分析。圖中，為便于展示TVMD阻尼比增效效應(yīng)，將橫坐標設(shè)置為。從圖3中可以看出，且的情況下，雖然和與理論解的誤差較大，但使用理論解設(shè)計的TVMD工作性能依然接近其最優(yōu)狀態(tài)，再次驗證了本文所提理論解良好的穩(wěn)定性和適用性。

從圖3（a）中不難發(fā)現(xiàn)，對的影響較小，表明主結(jié)構(gòu)阻尼對TVMD減震效果的影響不大。然而，如圖3（b）所示，對的影響較為顯著。時，與呈負相關(guān)關(guān)系，即增大主結(jié)構(gòu)阻尼會削弱TVMD的阻尼比增效效應(yīng)。但是，時，與呈正相關(guān)關(guān)系，此時增大主結(jié)構(gòu)阻尼對增強TVMD的阻尼比增效效應(yīng)是有益的。由以上分析結(jié)果可知，時，將TVMD與其他耗能裝置組合使用是合理的，并且能在提高TVMD減震效率的前提下，進一步加強對結(jié)構(gòu)自身阻尼耗能功率的控制效果。

結(jié)合圖2（b）和圖3可以發(fā)現(xiàn)，隨著和的增大，和均增大，說明增大TVMD的質(zhì)量和阻尼能有效提升其工作性能。然而，或時，繼續(xù)增大和無法明顯改善TVMD阻尼比增效效應(yīng)。因此，從主結(jié)構(gòu)自身阻尼耗能功率的角度出發(fā)，為了更高效地發(fā)揮TVMD阻尼比增效效應(yīng)，本文推薦TVMD的質(zhì)量比不超過0.3或阻尼比不超過0.1。

觀察圖3（b）可以發(fā)現(xiàn)，和取不同值時，均大于零，說明使用本文所提理論解設(shè)計的TVMD可確保大于零，保證TVMD的減震效果優(yōu)于同阻尼系數(shù)的VD，不存在減震效率問題。從的定義也可以看出，阻尼比增效效應(yīng)本質(zhì)上描述的是TVMD的減震效率問題。以使用理論解設(shè)計的TVMD為例，且時，，表明相對于同阻尼系數(shù)的VD而言，TVMD的等效附加阻尼比從0.1提高到了0.195，此時可認為其減震效率提升了95%。

3.3 理論解對比分析

Ikago等［10］基于傳統(tǒng)定點理論推導(dǎo)的TVMD最優(yōu)設(shè)計參數(shù)理論解為：

為便于描述，將式（20）稱為TVMD最優(yōu)設(shè)計參數(shù)傳統(tǒng)解。為了進一步展示本文理論解的優(yōu)越性，將本文解與傳統(tǒng)解進行了對比分析，結(jié)果如圖4和5所示。從圖4中可以看出，最優(yōu)頻率比的本文解與傳統(tǒng)解均與質(zhì)量比成正比，且本文解大于傳統(tǒng)解。類似地，最優(yōu)阻尼比的本文解與傳統(tǒng)解也與呈正相關(guān)關(guān)系，但隨著的增大，本文解會小于傳統(tǒng)解。

圖5對比分析了不同理論解時TVMD的工作性能。從圖5（a）中可以看出，時，使用本文解設(shè)計TVMD的等效附加阻尼比與傳統(tǒng)解基本一致，說明二者對主結(jié)構(gòu)自身阻尼耗能功率的控制效果差別不大。時，相較于傳統(tǒng)解，本文解設(shè)計的TVMD能獲得更大的，且隨著的進一步增大，二者的差距會越來越顯著。因此，可認為使用本文解設(shè)計的TVMD減震效果優(yōu)于傳統(tǒng)解，且隨著的增大，本文解在減震效果方面的優(yōu)勢會越來越明顯。

通過觀察圖5（b）可以發(fā)現(xiàn)，使用本文解設(shè)計TVMD的阻尼比增效系數(shù)大于傳統(tǒng)解，且隨著的增大，二者的差距會變得更加顯著。結(jié)合圖4（b）可知，這是因為相對于傳統(tǒng)解，本文解能在TVMD自身阻尼比較小的情況下，達到更大的，從而獲得更大的阻尼比增效系數(shù)，體現(xiàn)出更好的減震效率。隨著的增大，使用傳統(tǒng)解設(shè)計的TVMD阻尼比增效系數(shù)會先增大后減小。需要特別注意的是，使用傳統(tǒng)解設(shè)計的TVMD可能會使其值小于零，此時TVMD的減震效果弱于同阻尼系數(shù)的VD，暴露出明顯的減震效率問題。而使用本文解設(shè)計的TVMD能保證大于零，不存在減震效率問題。

根據(jù)以上分析結(jié)果可知，本文解能在TVMD自身阻尼系數(shù)最小的情況下，獲得最大的等效附加阻尼比，從而達到最優(yōu)的阻尼比增效效應(yīng)。因此，使用本文解設(shè)計TVMD能使其減震效果和減震效率均達到最優(yōu)狀態(tài)。值得一提的是，與傳統(tǒng)解相比，本文解還具有另一個明顯優(yōu)勢，即保證TVMD減震效果優(yōu)于同阻尼系數(shù)的VD，不存在減震效率問題。

4 工程算例

以某七層鋼框架結(jié)構(gòu)作為工程算例［18］，展示TVMD設(shè)計流程，并從地震時程響應(yīng)角度驗證本文所提TVMD最優(yōu)設(shè)計參數(shù)理論解的有效性。算例結(jié)構(gòu)數(shù)值模型如圖6所示，圖中，TVMD的質(zhì)量比取為0.2，結(jié)構(gòu)各階模態(tài)阻尼比均為0.02。通常情況下，為了使TVMD安裝方便且減震效果突出，可將其安裝在結(jié)構(gòu)底層［19?20］。假定TVMD安裝在結(jié)構(gòu)底層用于控制結(jié)構(gòu)一階模態(tài)響應(yīng)，此時地震地面加速度作用下的結(jié)構(gòu)?TVMD體系運動方程可表示為：

（22）

需要注意的是，此處表示結(jié)構(gòu)底層位移響應(yīng)。由此可得TVMD運動方程為：

（23）

類似地，將式（21）左右兩側(cè)同時乘以，可得系統(tǒng)各部分功率表達式為：

假定使用本文解與傳統(tǒng)解設(shè)計的TVMD分別為TVMD1和TVMD2，設(shè)計結(jié)果如表2所示。同時，為了研究阻尼比增效效應(yīng)，假定與TVMD1和TVMD2阻尼系數(shù)相同的黏滯阻尼器分別為VD1和VD2，二者均安裝在結(jié)構(gòu)底層。值得一提的是，由于TVMD最優(yōu)設(shè)計參數(shù)理論解是基于單自由度結(jié)構(gòu)推導(dǎo)而來的，使用模態(tài)分解法計算結(jié)構(gòu)模態(tài)質(zhì)量前需將模態(tài)進行歸一化處理［19］。由表2可知，在質(zhì)量比相等的情況下（），相對于TVMD2而言，TVMD1的剛度系數(shù)增大了14.10%，阻尼系數(shù)減小了70.64%，這與圖4的計算結(jié)果是一致的。

為了更直觀地展示TVMD對結(jié)構(gòu)自身阻尼耗能功率的控制效果與阻尼比增效效應(yīng)，選取一組白噪聲地震動［8］和兩組經(jīng)典地震記錄［21］（1940 El Centro N?S分量和1952 Taft N?S分量）作為輸入，進行時程響應(yīng)分析，結(jié)果如圖7～10所示。

圖7表示結(jié)構(gòu)自身阻尼耗能功率的時程，可以看出，TVMD和VD均展現(xiàn)出了較好的控制效果。表3整理了結(jié)構(gòu)自身阻尼耗能功率均值減震率分析結(jié)果。以白噪聲地震動為例，VD1，VD2，TVMD1和TVMD2控制下的結(jié)構(gòu)均值減震率分別為62.91%，73.41%，74.79%和69.31%，顯然TVMD1的控制效果最佳。相較于VD1，TVMD1的控制效果提升了11.88%，表現(xiàn)出優(yōu)良的阻尼比增效效應(yīng)和減震效率。需要注意的是，TVMD2減震效果稍弱于VD2，無法體現(xiàn)出TVMD應(yīng)有的阻尼比增效效應(yīng)，一定程度上暴露出其減震效率問題。

圖8對比了不同工況下結(jié)構(gòu)的樓層位移響應(yīng)，圖中，白噪聲地震動作用下僅統(tǒng)計結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)均方值，El Centro和Taft地震作用下計算結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)峰值?？梢杂^察到，TVMD1的減震效果最好且明顯優(yōu)于VD1，而TVMD2與VD2的減震效果接近。綜合圖7和8的分析結(jié)果可知，傳統(tǒng)解設(shè)計的TVMD可能存在減震效率問題，本文解設(shè)計的TVMD減震效果更佳且展現(xiàn)出了優(yōu)良的阻尼比增效效應(yīng)，不存在減震效率問題，驗證了本文解的有效性和優(yōu)越性。

以El Centro地震記錄為例，從體系功率響應(yīng)的角度分析TVMD的減震機理，結(jié)果如圖9所示。從圖9中可以看出，TVMD能有效降低主結(jié)構(gòu)的地震輸入功率。此外，部分轉(zhuǎn)移至TVMD系統(tǒng)中，不僅能減小結(jié)構(gòu)自身阻尼耗能功率，還能有效控制結(jié)構(gòu)彈性勢能功率和結(jié)構(gòu)動能功率，進而減少結(jié)構(gòu)損傷。相較于TVMD2而言，TVMD1的轉(zhuǎn)移功率更大，這是TVMD1減震效果更好的主要原因之一。需要注意的是，VD的轉(zhuǎn)移功率大于零，而TVMD的可能小于零，說明地震作用下不僅存在結(jié)構(gòu)向TVMD轉(zhuǎn)移功率的現(xiàn)象，同時TVMD也可能會向結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)移功率。這是因為TVMD慣容元件與剛度元件僅具備能量轉(zhuǎn)移功能，在轉(zhuǎn)移的能量無法完全流入其阻尼元件的情況下，會反向流回結(jié)構(gòu)中，從而導(dǎo)致小于零。換言之，如果TVMD設(shè)計不當，導(dǎo)致其大部分時間小于零，則TVMD無法有效耗散結(jié)構(gòu)振動能量，甚至可能會放大結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)（例如結(jié)構(gòu)在12 s時刻和的響應(yīng)），這使得TVMD優(yōu)化設(shè)計成為其實現(xiàn)實際工程應(yīng)用的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一。顯然，使用本文解優(yōu)化設(shè)計的TVMD轉(zhuǎn)移功率最大且大部分時間大于零，減震效果顯著。

為進一步研究TVMD的耗能效率，圖10給出了El Centro地震作用下不同減震裝置阻尼元件的力與變形曲線。從圖10中可以看出，相較于VD2，TVMD2阻尼元件變形并沒有明顯放大，表明傳統(tǒng)解設(shè)計的TVMD無法顯著改善其耗能效率。而TVMD1阻尼元件的最大變形相比于VD1增大了23.22%，說明使用本文解設(shè)計的TVMD能很好地提高其阻尼元件耗能效率，展現(xiàn)出合理的阻尼比增效效應(yīng)，兼顧了減震效果與減震效率。上述分析結(jié)果也側(cè)面反映出，本文解能在TVMD自身阻尼系數(shù)最小的情況下獲得最好的減震效果，從而達到理想的阻尼比增效效應(yīng)，解決了傳統(tǒng)解可能存在的減震效率問題，使得TVMD更具實際工程應(yīng)用價值。

5 結(jié) 論

（1）將TVMD對結(jié)構(gòu)自身阻尼耗能功率的控制效果歸納為TVMD等效附加阻尼比，并推導(dǎo)了TVMD等效附加阻尼比的理論表達式，由此提出了阻尼比增效效應(yīng)的基本概念，并定義了阻尼比增效系數(shù)。

（2）提出了TVMD最優(yōu)設(shè)計參數(shù)理論解，該解僅在質(zhì)量比的情況下成立。分析結(jié)果表明，本文解具有良好的穩(wěn)定性和適用性，且為了更高效地發(fā)揮TVMD阻尼比增效效應(yīng)，本文推薦TVMD質(zhì)量比不超過0.3或阻尼比不超過0.1。

（3）本文解能在TVMD自身阻尼系數(shù)最小的情況下獲得最大的等效附加阻尼比，從而達到最優(yōu)的阻尼比增效效應(yīng)。因此，使用本文解設(shè)計的TVMD能極大地提高其阻尼元件耗能效率，展現(xiàn)出合理的阻尼比增效效應(yīng)，兼顧了減震效果與減震效率。與傳統(tǒng)解相比，本文解還具有另一個明顯優(yōu)勢，即保證TVMD的減震效果優(yōu)于同阻尼系數(shù)的VD，不存在減震效率問題。

（4）如果TVMD設(shè)計不當，可能導(dǎo)致其轉(zhuǎn)移功率大部分時間小于零，則TVMD無法有效耗散結(jié)構(gòu)振動能量，甚至可能會放大結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)，這使得TVMD優(yōu)化設(shè)計成為其實現(xiàn)實際工程應(yīng)用的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一。時程分析結(jié)果表明，使用本文解優(yōu)化設(shè)計的TVMD轉(zhuǎn)移功率最大且大部分時間大于零，減震效果顯著。

參考文獻：

［1］Soong T T， Dargush G F. Passive Energy Dissipation Systems in Structural Engineering［M］. New York： John Wiley＆Sons， 1997．

［2］歐進萍. 結(jié)構(gòu)振動控制：主動、半主動和智能控制［M］. 北京： 科學(xué)出版社， 2003.

［3］Housner G W， Bergman L A， Caughey T K， et al. Structural control： past， present， and future［J］. Journal of Engineering Mechanics， 1997， 123（9）： 897-971.

［4］Spencer B F Jr， Nagarajaiah S. State of the art of structural control［J］. Journal of Structural Engineering， 2003， 129（7）： 845-856.

［5］Ma R， Bi K， Hao H. Inerter-based structural vibration control： a state-of-the-art review［J］. Engineering Structures， 2021， 243：112655.

［6］潘超，劉媛，張瑞甫，等.慣容減震系統(tǒng)性能成本控制解析設(shè)計方法［J］.建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報，2022，43（11）：107-116.

PAN Chao， LIU Yuan， ZHANG Ruifu， et al. Performance-cost design method of inerter system based on closed-form formulae［J］. Journal of Building Structures，2022，43（11）：107-116.

［7］潘超，張瑞甫，王超，等.單自由度混聯(lián)Ⅱ型慣容減震體系的隨機地震響應(yīng)與參數(shù)設(shè)計［J］. 工程力學(xué)， 2019， 36（1）： 129-137.

PAN Chao， ZHANG Ruifu， WANG Chao， et al. Stochastic seismic response and design of structural system with series-parallel-Ⅱ inerter system［J］. Engineering Mechanics， 2019， 36（1）：129-137.

［8］潘超，韓笑，張瑞甫，等.耗能增效慣容系統(tǒng)的自適應(yīng)權(quán)重粒子群優(yōu)化［J］.振動工程學(xué)報， 2022， 35（5）： 1233-1241.

PAN Chao， HAN Xiao， ZHANG Ruifu， et al. Adaptively weighted particle swarm optimization for damping enhanced inerter system［J］. Journal of Vibration Engineering， 2022， 35（5）： 1233-1241.

［9］Cao Liyuan， Li Chunxiang. A high performance hybrid passive base-isolated system［J］. Structural Control and Health Monitoring， 2022， 29（3）： e2887.

［10］Ikago K， Saito K， Inoue N. Seismic control of single-degree-of-freedom structure using tuned viscous mass damper［J］. Earthquake Engineering & Structural Dynamics， 2012， 41（3）：453-474.

［11］Huang Z W， Hua X G， Chen Z Q， et al. Optimal design of TVMD with linear and nonlinear viscous damping for SDOF systems subjected to harmonic excitation［J］. Structural Control and Health Monitoring， 2019， 26（10）： e2413.

［12］Chen H T， Tan P. Optimal design of TVMD with linear and nonlinear viscous damping subjected to white-noise excitation［J］. Structural Control and Health Monitoring， 2021， 28（4）： e2694.

［13］Lu L， Xu J Q， Zhou Y， et al. Viscous inertial mass damper （VIMD） for seismic responses control of the coupled adjacent buildings［J］. Engineering Structures， 2021， 233： 111876.

［14］He H， Tan P， Hao L F， et al. Optimal design of tuned viscous mass damper for acceleration response control of civil structures under seismic excitations［J］. Engineering Structures， 2022， 252（7）：113685.

［15］李祥秀，譚平，劉良坤，等.基于功率法的TMD系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化與減振性能分析［J］.振動與沖擊， 2014， 33（17）：6-11.

LI Xiangxiu， TAN Ping， LIU Liangkun， et al. Parametric optimization and aseismic performance of a TMD system based on power method［J］. Journal of Vibration and Shock， 2014， 33（17）：6-11.

［16］Crandall S H， Mark W D. Random Vibration in Mechanical Systems［M］. New York： Academic Press， 1963： 127-139.

［17］賀輝， 譚平， 林松偉， 等. 隨機地震作用下TMD等效附加阻尼比研究［J］. 振動與沖擊， 2022， 41（1）： 107-115.

HE Hui， TAN Ping， LIN Songwei， et al. Equivalent additional damping ratio of TMD under random earthquake［J］. Journal of Vibration and Shock， 2022， 41（1）： 107-115.

［18］張瑞甫，吳明瑞，周方圓，等.利用慣容隔震系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)層間隔震研究［J］. 世界地震工程， 2020， 36（4）： 8-16.

ZHANG Ruifu， WU Mingrui， ZHOU Fangyuan， et al. Research on mid-story isolation of structure using inerter isolation system［J］. World Earthquake Engineering， 2020， 36（4）： 8-16.

［19］Shen W， Niyitangamahoro A， Feng Z， et al. Tuned inerter dampers for civil structures subjected to earthquake ground motions： optimum design and seismic performance［J］. Engineering Structures， 2019， 198： 109470.

［20］Lazar I F， Neild S A， Wagg D J. Using an inerter-based device for structural vibration suppression［J］. Earthquake Engineering & Structural Dynamics， 2014， 43（8）： 1129-1147.

［21］譚平，蘭李，賀輝，等.懸吊結(jié)構(gòu)體系優(yōu)化設(shè)計及減震性能研究［J］.建筑科學(xué)與工程學(xué)報，2021，38（1）：51-60.

TAN Ping， LAN Li， HE Hui， et al. Optimal design and damping performance research of suspension structural system［J］. Journal of Architecture and Civil Engineering， 2021， 38（1）： 51-60.

Effective damping ratio enhancement effect and optimal design of tuned viscous mass damper under seismic excitations

Abstract： Tuned viscous mass damper （TVMD） is widely recognized as one of the promising inerter-based devices. This study focused on investigation of the effective damping ratio enhancement effect and optimal design of TVMD for building structures under seismic excitations. The TVMD control performance for the structural inherent damping energy dissipation power was regarded as an effective damping ratio added to the primary structure. Further， a theoretical expression of the TVMD effective damping ratio was derived based on the random vibration theory. To make the application of TVMD more valuable， TVMD was expected to obtain a larger effective damping ratio compared to the viscous damper （VD） with the same damping coefficient， which was defined as the effective damping ratio enhancement effect. The effective damping ratio enhancement factor was introduced for the quantitative evaluation of the enhancement effect on the? damping ratio. Both the effective damping ratio and the effective damping ratio enhancement factor were considered as optimization objectives， and a closed-form solution of TVMD optimum design parameters was therefore proposed. Analysis results showed that the proposed closed-form solution had an excellent applicability and stability. The TVMD mass ratio and damping ratio were recommended to be less than 0.3 and 0.1， respectively， for the sake of the best efficiency of the damping ratio enhancement effect. A 7-story steel benchmark model was taken as an engineering example to illustrate the TVMD optimal design process and to verify the validity and superiority of the proposed closed-form solution. It was found that the deformation of the damping element for TVMD designed by the proposed closed-form solution was amplified remarkably， demonstrating the desired effective damping ratio enhancement effect. Most importantly， compared to the traditional closed-form solution， the best advantage of the proposed closed-form solution is to ensure that TVMD control performance is better than VD with the same damping coefficient， regardless of control efficiency problem.

Key words： tuned viscous mass damper；effective damping ratio enhancement effect；effective damping ratio；closed-form solution