賴永強

摘?要：文章以接觸物系的速度、加速度關(guān)聯(lián)性探討為例，提倡 “一題多解、多題類比”的習(xí)題講評模式，立足于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)其通過知識的分析、歸納、遷移，進行深度學(xué)習(xí).

關(guān)鍵詞：接觸物系；深度學(xué)習(xí)；關(guān)聯(lián)速度；關(guān)聯(lián)加速度

中圖分類號：G632???文獻標(biāo)識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）15-0079-03

深度學(xué)習(xí)指向核心知識的掌握、關(guān)鍵技能的培養(yǎng)，是學(xué)科核心素養(yǎng)達成的有效途徑.高中物理課堂不僅在科學(xué)探究課中關(guān)注學(xué)生深度學(xué)習(xí)，在習(xí)題講評課中也同樣應(yīng)該滲透深度學(xué)習(xí)的意識.

1 理論依據(jù)

深度學(xué)習(xí)的概念國內(nèi)外還沒有統(tǒng)一的界定.深度學(xué)習(xí)是針對機械記憶、被動接受的淺層學(xué)習(xí)方式而提出的，下表[1]是深度學(xué)習(xí)與淺層學(xué)習(xí)的簡單對比.

從表中看出，深度學(xué)習(xí)以培養(yǎng)高階思維為目標(biāo)，注重知識整合，反對將知識零散、孤立地簡單處理，強調(diào)主動學(xué)習(xí)、批判接受新知識，著眼于知識的遷移和問題的解決.學(xué)生要深度學(xué)習(xí)，反過來我們老師要“深度教學(xué)”.郭元祥教授論證了從深度學(xué)習(xí)走向深度教學(xué)的必然性，認(rèn)為深度教學(xué)不是無限增加知識難度和知識量，而是克服對知識的表層學(xué)習(xí)、機械訓(xùn)練的局限性，基于知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，通過對知識完整處理，引導(dǎo)學(xué)生從符號學(xué)習(xí)走向?qū)W科素養(yǎng)的學(xué)習(xí)[2].

2 問題背景

對于有約束條件下的物系相關(guān)性，高中階段僅要求掌握繩（桿）約束情況下兩端的速度關(guān)聯(lián)，而對于接觸物系接觸點的速度、加速度的關(guān)聯(lián)性問題高中階段基本不作要求，但此類關(guān)聯(lián)問題在歷年的高校自主招生、物理競賽考試中卻屢見不鮮.下面分別以接觸面為平面、圓弧面為例，分別探討它們接觸點的速度、加速度的關(guān)聯(lián)性.

3 典例分析

3.1 接觸面為平面的物系相關(guān)性探討

3.1.1 速度關(guān)聯(lián)性探討

例1?如圖1，某時刻三角形斜面A的速度為v0，加速度為a0，已知θ，求豎直桿B上升的速度大小vB.

解法1?利用速度關(guān)聯(lián)法，培養(yǎng)學(xué)生矢量分解意識.

由于剛體不可形變，根據(jù)A、B相互接觸不分離的約束性可知，沿接觸面的法線方向，兩接觸物A、B必須有相同的分速度.所以可以將斜面A、桿B的速度沿斜面方向和垂直斜面方向分解，如圖2.則有：

v0sinθ=vBcosθ

∴vB=v0tanθ

這種方法的關(guān)鍵點是：（1）正確找到合速度，即物體的實際速度；（2）正確分解速度，即沿接觸面法線方向和切線方向分解速度；（3）根據(jù)法線方向分速度相等列式.

解法2?利用數(shù)學(xué)求導(dǎo)法，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力.

根據(jù)物系間的約束關(guān)系，利用數(shù)學(xué)方法進行推導(dǎo)，如圖3，斜面向右運動位移大小和桿向上運動位移大小滿足關(guān)系：

h=xtanθ

dhdt=ddt（x tanθ

∴vB=v0tanθ

此方法通過尋找相互接觸的兩物體之間的位移幾何關(guān)系，從而建立函數(shù)關(guān)系式，再利用數(shù)學(xué)求導(dǎo)來尋找兩接觸物系的速度關(guān)聯(lián)，這種方法讓學(xué)生更深刻理解物理基本概念（速度的定義），同時運用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力也是物理高考五大能力要求之一.學(xué)會這種方法，能夠解決更多更復(fù)雜的物理問題，真正提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

3.1.2 加速度關(guān)聯(lián)性探討

針對上面例1，求此時刻桿的加速度與斜面加速度關(guān)系.

利用數(shù)學(xué)求導(dǎo)的方法進行求解：

∵vB=v0tanθ

∴dvBdt=ddt（v0tanθ

∴aB=a0tanθ（或vBcosθ=v0sinθ

以上分析可知，沿接觸面垂直的方向上具有相同的加速度，即對于接觸面為平面的接觸系，不僅速度具有關(guān)聯(lián)性，兩物體的加速度也具有關(guān)聯(lián)性.

3.2 接觸面為圓弧面的物系相關(guān)性探討

3.2.1 速度關(guān)聯(lián)性探討

例2?如圖5，某時刻半球面A的速度為v0，加速為a0，已知θ，求豎直桿B上升的速度大小vB.

由于桿和球面始終接觸，根據(jù)接觸面的速度關(guān)聯(lián)，沿法線方向速度相等，則：

v0sinθ=vBcosθ

∴vB=v0tanθ

當(dāng)然，本例題也可以類似例1，采用數(shù)學(xué)求導(dǎo)方法、相對運動法、功率相等法來找到兩者速度關(guān)系，在此就不再贅述了.

3.2.2 加速度關(guān)聯(lián)性探討

針對上面例2，求此時豎直桿的加速度aB與a0關(guān)系.

不少同學(xué)認(rèn)為桿與球面相接處，加速度具有關(guān)聯(lián)性，即沿著法線方向具有相同的分加速度，所以得到兩者關(guān)系： a0sinθ=aBcosθ

∴aB=a0tanθ

這種計算方法對不對呢？如果接觸面是平面的情況下，桿的加速度求解直接從速度求解方法中遷移過來，但對于接觸面是曲面的情況，桿的加速度求解能不能簡單地從速度求解方法中遷移過來呢？兩者的加速度是否具有關(guān)聯(lián)性？下面通過數(shù)學(xué)、物理兩個不同角度來求解這兩者間加速度的關(guān)系.

解法1?數(shù)學(xué)方法，對速度進行求導(dǎo).

根據(jù)桿與球面的速度關(guān)聯(lián)有：

vB=v0tanθ

∴dvBdt=ddt（v0tanθ

∴aB=a0tanθ+v0ddt（tanθ

=a0tanθ+v0ddθ（tanθ）dθdt

=a0tanθ+v01cosθ2dθdt

式中dθdt大小等于接觸點P繞圓心O逆時針轉(zhuǎn)動的角速度大小ω，根據(jù)角速度與線速度關(guān)系有ω=vτR，線速度vτ是以半球面為參考系，接觸點P相對于圓心O的速度，如圖5.

圖5?速度關(guān)聯(lián)

dθdt=ω=vτR=v0Rcosθ

因為θ在減小，所以dθdt為負(fù)值，

即dθdt=-v0Rcosθ ， 所以：

aB=a0tanθ-v20Rcosθ3

解法2?根據(jù)接觸物系加速度關(guān)聯(lián)性求解

以半球面為參考系，接觸點P相對于圓心O做圓周運動，線速度大小為：vτ=v0cosθ，該速度產(chǎn)生向心加速度大小為：a向=v2τR=v20Rcosθ2 ，方向指向圓心O.

如圖6，根據(jù)接觸物系接觸點法向加速度分量相等可以列式：

aBcosθ=a0sinθ-a向

∴aB=a0tanθ-v20Rcosθ3

圖6?加速度關(guān)聯(lián)

由此看出，對于接觸面是曲面的情況，接觸系的加速度關(guān)聯(lián)并不能簡單地將兩個加速度沿法向、切向方向分解，認(rèn)為沿法向加速度相等得到兩者的關(guān)系，這里還必須考慮曲線運動時產(chǎn)生向心加速度，所以在列加速度關(guān)聯(lián)式時必須結(jié)合向心加速度將等式進行“修正”.

4 結(jié)束語

兩道看起來相似的題目，其實不大一樣，不少學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，沒有深入理解接觸面的物系關(guān)聯(lián)原理，對知識、解題方法生搬硬套，盲目“遷移”，就很容易出錯.通過兩道例題的深入剖析，不僅能夠澄清修正自己原有的錯誤認(rèn)識，也能對接觸面的物系關(guān)聯(lián)有更清晰的理解.在解題過程中提倡“一題多解，多題類比”，綜合利用數(shù)學(xué)、物理方法進行深入分析，學(xué)生體會到物理方法解題方便簡潔的同時，也感受到數(shù)學(xué)知識解決物理問題帶來的美妙.

高中物理有很強的邏輯性和系統(tǒng)性，在物理習(xí)題教學(xué)過程中很有必要通過“一題多解、多題類比”教學(xué)方式引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)、深度思考，將原有知識方法進行歸納、遷移、提升，并不斷提出問題、思考問題、解決問題.這是一個知識、經(jīng)驗與心智融合的過程，是一個不斷提升科學(xué)思維能力的過程，在培養(yǎng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)能力上起到事半功倍的效果.

參考文獻：

［1］曾志旺.物理教學(xué)中促進“深度學(xué)習(xí)”的教學(xué)設(shè)計[J].物理通報，2017（5）：70-73.

[2] 郭元祥.論深度教學(xué)：源起、基礎(chǔ)與理念[J].教育研究與實驗，2017（3）： 1-11.

［責(zé)任編輯：李?璟］